高校数学

[数学B編]完全攻略!高校数学の公式全部まとめてみたwww

 

ユキ
ユキ
どうも,ユキです。

高校数学の数学Bについて公式をまとめました。

どうぞ!!

数学B

第1章         平面上のベクトル

 

語句まとめ:大きさ,向き

 

逆ベクトル:

\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}\)のとき,

\(-\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{AB}\)

 

ベクトルの加法:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

 

ベクトルの加法の性質:

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\) 交換法則

\(( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )+ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\) 結合法則

 

零ベクトルの性質:

\(\overrightarrow{a}(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}\),

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\)

 

ベクトルの減法:

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\)

 

\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\),

 

ベクトルの実数倍,和の性質:

\(k(\overrightarrow{la})+(kl)\overrightarrow{a}\)

\((k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}\)

\(k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)

 

ベクトルの平行条件:

\(\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}\) \(\Longleftrightarrow\)\(\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}\)となる実数\(k\)がある

 

単位ベクトル:

\(\overrightarrow{a}\)と平行な単位ベクトルは

\(\frac{\overrightarrow{a}}{| \overrightarrow{a} |}\)と\(-\frac{\overrightarrow{a}}{| \overrightarrow{a} |}\)

 

\(\overrightarrow{a}\)の大きさ:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\)のとき

\(| \overrightarrow{a} |=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

 

実数倍,和の成分表示:

\(k(a_1,a_2)+g(b_1,b_2)=(ka_1+gb_1,ka_2+gb_2)\)

 

2点A(\(a_1,a_2\)),B(\(b_1,b_2\))について:

\(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)\), \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+

(b_2-a_2)^2}\)

 

ベクトルの内積:

\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\theta\)

ただし,\(\theta\)は\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)のなす角

 

ベクトルの垂直と内積:

\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\) \(\Longleftrightarrow\)\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=0\)

内積と成分:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\)のとき

\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)

 

 

ベクトルのなす角の余弦:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\),\(\overrightarrow{a}=(b_1,b_2)\)のなす角を\(\theta\)とする。

\(cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)

 

 

ベクトルの垂直条件:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\)

\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b} \Longleftrightarrow\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=0\)

 

内積の性質:

\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2\)

\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}・\overrightarrow{a}\)

\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})・\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}・\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}・\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}・\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}・\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}・\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{ka}・\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}・\overrightarrow{kb}=k(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b})\)  ただし,\(k\)は実数

 

 

内分点・外分点の位置ベクトル:

2点\(A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})\)に対して,線分ABを\(m,n\)に内分する点,\(m:n\)に内分する点の位置ベクトルは,

内分 \(\cdots \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\)

外分 \(\cdots \frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\)

中点 \(\cdots \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\)

 

 

3点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\)),C(\(\overrightarrow{c}\))を頂点とする\(\triangle\)ABCの重心Gの位置ベクトル\(\overrightarrow{g}\):
\(\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\)

 

 

三角形の中線:

三角形の重心は,3点の中線が交わる線で,各中線を2:1に内分する

 

1直線上にある点:

点Cが直線AB上にある \(\Longleftrightarrow\) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\) となる実数\(k\)がある

 

点A(\(x_1,y_1\))を通り,\(\overrightarrow{d}=(l,m)\)に平行な直線の方程式:

\(m(x-x_1)-l(y-y_1)=0\)

異なる2点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\))を通る直線ABのベクトル方程式:

\(\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}, s+t=1\)

 

法線ベクトル:

点A(\(x_1,y_1\))を通り,\(\overrightarrow{n}=(a,b)\)に垂直な直線の方程式は

\(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\)

ベクトル \(\overrightarrow{a,b}\) は,直線 \(ax+by+c=0\) に垂直である

 

第2章 空間ベクトル

 

語句まとめ:\(xy\)平面,\(yz\)平面,\(zx\)平面

 

原点Oと点P(\(a,b,c\))の距離は:

\(OP=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

 

ベクトルの大きさ:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\)の大きさは \(|\overrightarrow{a}|=

\sqrt{a_{1}^{2}a_{2}^{2}a_{3}^{2}}\)

 

和,実数倍の成分表示:

\( k(a_1,a_2,a_3)+g(b_1,b_2,b_3)= (ka_1+gb_1,ka_2+gb_2,ka_3+gb_3)\)

ただし,\(k,g\)は実数

 

2点A,Bとベクトル\(\overrightarrow{AB}\):

2点A(\(a_1,a_2,a_3\)),B(\(b_1,b_2,b_3\))について

\(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)\)

\(|\overrightarrow{AB}|\sqrt{(b_1-a_1)^2(b_2-a_2)^2(b_3-a_3)^2}\)

 

 

ベクトルの内積:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\),\(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\)のなす角\(\theta\)とするとき

\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)

\(cos\theta =\frac{\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)

 

 

ベクトルの垂直条件:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\),\(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\)のとき

\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b} \Longleftrightarrow \overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=0\)

 

 

位置ベクトル:

2点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\))

に対して \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)

2点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\))に対して,線分ABを\(m:n\)に内分する点,\(m:n\)に外分する点の位置ベクトル

内分 \(\cdots\)  \(\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\)

外分 \(\cdots\)  \(\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\)

中点 \(\cdots\)  \(\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\)

 

3点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\)),C(\(\overrightarrow{c}\))を頂点とする\(\triangle\)ABCの重心Gの位置ベクトル\(\overrightarrow{g}\):

\(\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\)

 

1直線上にある点->

同じ平面上にある点->

内積の利用->

 

同じ平面上にある点:

一直線上にない3点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\)),C\(\overrightarrow{c}\)と点P(\(\overrightarrow{p}\))について

点Pが3点A,B,Cの定める平面ABC上にある

\(\Longleftrightarrow\) \(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}\),  \(s+t+u=1\)となる実数\(s,t,c\)がある

 

 

2点間の距離と内分点・外分点の座標:

2点A\((a_1,a_2,a_3)\),B\((b_1,b_2,b_3)\)について

A,B間の距離:

\(AB=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\)

線分ABを\(m:n\)に内分する点の座標:

\((\frac{n\overrightarrow{a_1}+m\overrightarrow{b_1}}{m+n},\frac{n\overrightarrow{a_2}+m\overrightarrow{b_2}}{m+n},\frac{n\overrightarrow{a_3}+m\overrightarrow{b_3}}{m+n})\)

線分ABを\(m:n\)に外分する点の座標:

\((\frac{-n\overrightarrow{a_1}+m\overrightarrow{b_1}}{m-n},\frac{-n\overrightarrow{a_2}+m\overrightarrow{b_2}}{m-n},\frac{-n\overrightarrow{a_3}+m\overrightarrow{b_3}}{m-n})\)

 

座標平面に平行な平面の方程式:

点A(\(a\),0,0)を通り,\(yz\)平面に平行な平面の方程式は \(x=a\)

点B(0,\(b\),0)を通り,\(zx\)平面に平行な平面の方程式は \(y=b\)

点C(0,0,\(c\))を通り,\(zy\)平面に平行な平面の方程式は \(z=c\)

 

球面の方程式:

点(\(a,b,c\))を中心とする半径\(r\)の球面の方程式は\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)

とくに,原点を中心とする半径\(r\)の球面の方程式は\(x^2+y^2+z^2=r^2\)

 

平面の方程式:

点A(\(x_1,y_1,z_1\))を通り,ベクトル\(\overrightarrow{n}=(a,b,c)\)に垂直な平面\(\alpha\)上の点をP(\(x,y,z\))とすると,平面\(\alpha\)の方程式

\(a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\)

 

第3章 数列

語句まとめ:初項,一般項,公差,項数,末項

 

等差数列の一般項:

初項\(a\),公差\(d\)の等差数列\({a_n}\)の一般項は

\(a_n=a+(n-1)d\)

 

等差数列の性質:

\(a_{n+1}=a_n+d\) すなわち \(a_{n+1}-a_n=d\)

 

等差数列の和:

等差数列の初項から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とする

初項\(a\),第\(n\)項\(l\)のとき  \(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\)

初項\(a\),公差\(d\)のとき  \(S_n=\frac{1}{2}n{2a+(n-1)d}\)

 

等差数列の和の最大->

 

語句まとめ:等比数列,公比

等比数列の一般項:

初項\(a\),公比\(r\)の等比数列{\(a_n\)}の一般項

\(a_n=ar^{n-1}\)

 

等比数列の和:

初項\(a\),公比\(r\)の等比数列の初項から第\(n\)項までの和\(S_n\)は

\(r\neq 1\)のとき \(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r} または S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\)

\(r=1\)のとき \(S_n=na\)

 

複利計算->

 

いろいろな数列->

 

和の記号:

初項から第\(n\)項¥までの和を,第\(k\)項\(a_k\)と和の記号\(\sum\)を用いて

\(\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1a_2a_3+\cdots+a_n\)

 

自然数に関する和の公式:

\(\sum_{k=1}^{n}1=n\),\(\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\),

\(\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\),\(\sum_{k=1}^{n}k^3={ \frac{1}{2}n(n+1) }^2\)

 

和の記号の性質:

\(\sum_{k=1}^{n}(pa_k+qb_k)= p\sum_{k=1}^{n}a_k+q\sum_{k=1}^{n}b_k\)

ただし,\(p,q\)は\(k\)に無関係な定数

 

階差数列と一般項:

数列{\(a_n\)}の階差数列を{\(b_n\)}とすると

\(n\geq 2\)のとき \(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\)

 

数列の和と一般項:

数列{\(a_n\)}と初項\(a_1\)から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると

\(a_1=S_1\)

\(n\geq 2\)のとき \(a_n=S_n-S_{n-1}\)

 

いろいろな数列の和->

 

部分分数分解->

 

数学的帰納法->

 

 

等差数列と等比数列の漸化式:

等差数列{\(a_n\)}の漸化式は \(a_{n+1}=a_n+d\)

等比数列{\(a_n\)}の漸化式は \(a_{n+1}=ra_n\)

 

階差数列と一般項:

数列{\(a_n\)}の階差数列を{\(b_n\)}とすると

\(n\geq 2\)のとき \(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\)

 

\(a_{n+1}=pa_n+q\)を満たす数列の階差数列->

 

隣接3項間の漸化式->

 

数学的帰納法の原理:

\(n=1\)のとき(A)が成り立つ

\(n=k\)のとき(A)が成り立つと仮定すると,\(n=k+1\)のときも(A)が成り立つ

 

 

等式の証明->

 

不等式の証明->

 

整数の性質の証明->

 

第4章 確率分布と統計的な推測

語句まとめ:期待値,平均

 

確率の総和:

確率変数\(X\)のとりうる値\(x_k\)が起こる確率を\(p_k\)とすると\(p_1\)から\(p_n)までの総和は

$$\sum_{k=1}^{n} p_k=p_1+p_2+\cdots+p_n=1$$

 

 

確率変数の期待値(平均):

確率変数\(X\)の期待値\(E(X)\)は

\(E(X)=\sum_{k=1}^{n} x_kp_k=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\)

 

 

確率変数\(X^2\)の期待値\(E(X^2)\):

\(E(X^2)=\sum_{k=1}^{n}x_k^2p_k \)

 

確率変数の分散\(V(X)\):

確率変数\(X\)の期待値を\(m\)とするとき,分散\(V\)は,確率変数\((X-m)^2\)の期待値で定義され,

$$V(X)=E((X-m)^2)=\sum_{k=1}^{n}(x_k-m)^2p_k=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+\cdots+(x_n-m)^2p_n$$

 

\(aX+b\)の期待値\(E(aX+b)\):

\(X\)を確率変数,\(a,b\)を定数とすると,

$$E(aX+b)=aE(X)+b$$

 

分散と期待値の関係:

確率変数\(X\)について  \(V(X)=E(X^2)-{ E(X) }^2\)

 

標準偏差:

\(\sigma=\sqrt{V(X)}\)

 

\(aX+b\)の分散:

\(X\)を確率変数,\(a\),\(b\)を定数とするとき

\(V(aX+b)=a^2V(X)\), \(\sigma(aX+b)=| a |\sigma(X)\)

 

2つの確率変数の和の期待値:

\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)

 

\(aX+bY\)の期待値:

\(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)

 

独立な2つの確率変数の積の期待値:

2つの確率変数\(X,Y\)が互いに独立であるとき

\(E(XY)=E(X)E(Y)\)

 

独立な2つの確率変数の和の分散:

2つの確率変数\(X,Y\)が互いに独立であるとき

\(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)

 

3つ以上の確率変数の独立:

\(E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z)\)

\(V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z)\)

 

語句まとめ:二項分布,正規分布,連続型確率変数

 

 

1回の試行で事象\(A\)が起こる確率を\(p\)とする。この試行を\(n\)回行う反復試行において,\(A\)がちょうど\(r\)回起こる確率は

$${}_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}$$

 

 

二項分布に従う確率変数の期待値と分散:

確率変数\(X\)が二項分布\(B(n,p)\)に従うとき

\(E(X)=np\), \(V(X)=np(1-p)\), \(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\)

 

確率密度関数\(f(x)\)の性質:

常に\(f(x)\geq 0\)で  \(P(a \leq X \leq)=\int_a^b f(x)dx\)

\(X\)のとる範囲が\(\alpha \leq X \leq \beta\)のとき\(\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=1\)

 

正規分布の確率密度関数\(f(x)\):

確率変数\(X\)が正規分布\(N(m,\sigma^2)\)に従うとき

\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\)

 

正規分布の期待値,標準偏差:

確率変数\(X\)が正規分布\(N(m,\sigma^2)\)に従うとき

\(E(X)=m,\sigma(X)=\sigma\)

 

標準正規分布の確率密度関数\(f(z)\):

確率変数\(X\)が正規分布\(N(0,1)\)に従うとき,

\(f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\)

 

正規分布と標準正規分布:

確率変数\(X\)が正規分布\(N(m,\sigma^2)\)に従うとき

$$Z=\frac{X-m}{\sigma}$$

 

二項分布の正規分布による近似:

二項分布\(B(n,p)\)に従う確率変数\(X\)は,\(n\)が大きいとき,近似的に正規分布\(N(np,np(1-p))\)に従う

 

 

連続型確率変数\(f(x)\)の期待値と分散

連続型確率変数\(f(x)\)の期待値\(m=E(X)\)と標準偏差\(\sigma\)

連続型変数\(X\)がとり得る値の範囲が\(\alpha\leq X \leq \beta\)のとき,

$$m=E(X)=\int_{\alpha}^{\beta}xf(x) dx$$

$$V(X)=\int_{\alpha}^{\beta}(x-m)^2 f(x)dx$$

 

 

語句まとめ:母集団,標本,無作為抽出,無作為標本,復元抽出,非復元抽出,母平均,母分散,母比率,標本平均,標本分散,標本比率,

 

 

標本平均の期待値と標準偏差:

母平均\(m\),母分散\(\sigma^2\)の母集団から大きさ\(n\)の無作為標本を抽出するとき,その標本平均\(\overline{X}\)の期待値\(E(\overline{X})\)と分散\(S(\overline{X})\)は

\(E(\overline{X})=m,  S(\overline{X}=\frac{\sigma^2}{n})\)

 

標本平均の分布:

母平均\(m\),母分散\(\sigma^2\)の母集団から抽出された大きさ\(n\)の無作為標本について,標本平均\(\overline{X}\)は,\(n\)が大きいとき,近似的に正規分布

\(N(m,\frac{\sigma^2}{n})\)に従うと見なすことがある

 

標本比率の分布:

特性Aの母比率\(p\)の母集団から抽出された大きさ\(n\)の無作為標本について,標本比率\(R\)は,\(n\)が大きいとき,近似的に正規分布\(N(p,\frac{p(1-p)}{n})\)に従うと見なすことがある

 

大数の法則:

母平均\(m\)の集団から大きさ\(n\)の無作為標本を抽出するとき,\(n\)が大きくなるに従って,その標本平均\(\overline{X}\)はほとんど確実に母平均\(m\)に近づく

 

母平均の推定:

母分散を\(\sigma^2\)とする。標本の大きさ\(n\)が大きいとき,母平均\(m\)に対する信頼度95%の信頼区間は

$$[ \overline{X}-1.96・\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+1.96・\frac{sigma}{\sqrt{n}}]$$

 

母比率の推定:

標本の大きさ\(n\)が大きいとき,標本比率を\(p\)とすると,母比率\(\hat{p}\)に対する信頼度95%の信頼区間は

$$[ p-1.96・\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},p+1.96・\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} ]$$

数学B演習問題リンク集

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