高校数学

[数学2編]完全攻略!高校数学の公式全部まとめてみたwww

どうも,ユキです。

高校数学の数学2について公式をまとめました。

どうぞ!!

数学Ⅱ

第1章         式と証明

3次式の展開と因数分解:

\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\),\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ba^2-b^3\)

 

展開の公式:

\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\),\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)

 

因数分解の公式:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\),\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

 

二項定理:

\((a+b)^n={}_n\mathrm{C}_0a^n+{}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b+{}_n\mathrm{C}_2a^{n-2}b^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r+\cdots+{}_n\mathrm{C}_nb^n \)

 

二項定理の応用:

\((1+x)^n=+{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_1x+{}_n\mathrm{C}_2x^2+{}_n\mathrm{C}_nx^n\)

 

\((a+b+c)^n\)の展開式:

\((a+b+c)^n\)の展開式における\(a^pb^qc^r\)の項の係数は

\(\frac{n!}{p!q!r!}\) ただし \(p+q+r=n\)

 

語句まとめ:整式

 

\(A=BQ+R\):

\(A\),\(B\)が整式とすると,\(A\)を\(B\)で割った商は\(Q\)となり,余りは\(R\)となる。

とくに,

\(A=BQ\)のとき:

つまり,\(R=0\)のときは\(A\)は\(B\)で割り切れるという

 

分数式の約分:

\(\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}\) (ただし \(C \neq 0 \))

 

分数式の四則演算:

\(\frac{A}{B}\times\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}\)

 

分数式の加法・減法:

\(\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}\)

 

語句まとめ:恒等式

 

恒等式の性質:

\(ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’\)が\(x\)についての恒等式

\(\Longleftrightarrow\) \(a=a’\),\(b=b’\),\(c=c’\)

\(ax^2+bx+c=0\)が\(x\)についての恒等式

\(\Longleftrightarrow\) \(a=b=c=0\)

 

代入による恒等式の係数決定->

恒等式に関する証明->

 

\(A=B\)の証明方法:

1 \(A\)か\(B\)の一方を変形して,他方を導く

2 \(A\)と\(B\)の両方を変形して,同じ式を導く

3 \(A-B\)を変形して,0になることを示す

 

条件付きの等式の証明->

 

条件が比例式の等式の証明->

 

不等式の証明->

 

実数の大小関係:

\(a>b\), \(b>c\) \(\Rightarrow\) \((a>c)\)

\(a>b\) \(\Rightarrow\) \(a+c>b+c,a-c>b-c\)

\(a>b\), \(c>0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)

\(a>b\), \(c<0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)

 

2数の大小関係と差:

\(a>b\) \(\Longleftrightarrow\) \(a-b>0\)

\(a<b\) \(\Longleftrightarrow\) \(a-b<0\)

 

実数の平方の性質:

実数\(a\)について \(a^2 \geq 0\)

等号が成り立つのは,\(a=0\)のとき

実数\(a,b\)について \(a^2+b^2 \geq 0\)

等号が成り立つのは,\(a=b=0\)のとき

 

相加平均:

\(\frac{a+b}{2}\)を\(a\)と\(b\)の相加平均という

 

相乗平均:

\(a>0\),\(b>0\)のとき,\(\sqrt{ab}\)を\(a\)と\(b\)の相乗平均という

 

相加平均と相乗平均の大小関係:

\(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\)

等号成立は,\(a=b\)のときである

 

第2章         複素数と方程式

 

複素数の相等:

\(a+bi=c+di\) \(\Longleftrightarrow\) \(a=c\)かつ\(b=d\)

とくに\(a+bi=0\) \(\Longleftrightarrow\) \(a=0\) かつ \(b=0\)

 

語句まとめ:共役な複素数

 

負の数の平方根:

\(a>0\) \(-a\)の平方根は\(\pm \sqrt{-a}=\pm \sqrt{a}i\)である

 

2次方程式の解の公式:

\(ax^2+bx+c=0\)の解は \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

 

2次方程式の解の種類の判別:

\(ax^2+bx+c=0\)の判別式を\(D\)とすると,

\(D>0\) \(\Longleftrightarrow\) 異なる2つの実数解

\(D=0\) \(\Longleftrightarrow\) 重解

\(D<0\) \(\Longleftrightarrow\) 異なる2つの虚数解

 

解と係数の関係:

\(ax^2+bx+c=0\)の2つの解を\(\alpha\),\(\beta\)とすると

\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\),\(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)

 

\(ax^2+bx+c=0\)が2つの解\(\alpha\),\(\beta\)を持つとき

\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\)

\(\alpha\),\(\beta\)を解とする2次方程式

\(\alpha\),\(\beta\)を解とする2次方程式の1つは

\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)

 

 

2次方程式の実数解の符号:

1  \(ax^2+bx+c=0\)の2つの解\(\alpha\),\(\beta\)と判別式\(D\)について

2  \(\alpha\),\(\beta\)は異なる2つの正の解\(\Longleftrightarrow\)

\(D>0\)で,\(\alpha+\beta > 0\)かつ\(\alpha\beta>0\)

3  \(\alpha\),\(\beta\)は異なる2つの負の解\(\Longleftrightarrow\) \(D>0\)で,

\(\alpha+\beta > 0\)かつ\(\alpha\beta>0\)

\(\alpha\),\(\beta\)は符号の異なる解\(\Longleftrightarrow\) \(\alpha\beta<0\)

 

剰余の定理と因数定理:

\(P(x)=(x-k)Q(x)+R\)

\(x=k\)のとき,\(P(k)=R\)

 

剰余の定理:

整式\(P(x)\)を\((x-k)\)で割ったあまりは,\(P(k)\)に等しい

 

因数定理:

整式\(P(x)\)が\(x-k\)で割り切れる \(\Longleftrightarrow\) \(P(k)=0\)

 

組立除法->

 

高次方程式->

 

 

第3章         図形と方程式

 

語句まとめ:内分,外分,象限

 

線分の内分点・外分点:

線分\(m:n\)を内分する点をP,外分する点Q

Pの座標\(\frac{na+mb}{m+n}\),外分点Qの座標は\(\frac{-na+mb}{m-n}\)

線分ABの中点の座標は\(\frac{a+b}{2}\)

<補足>内分点の座標で\(n\)を\(-n\)に置き換えたものが,外分点の座標

 

2点間の距離:

2点A(\(x_1,y_1)\),B(\(x_2,y_2\))間の距離ABは

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

原点OとA(\(x_1,y_1)\)の距離OAは

$$OA=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$$

 

内分点,外分点の座標:

2点A(\(x_1,y_1\)),B(\(x_2,y_2\))を結ぶ線分ABを,\(m:n\)に内分する点をP,外分する点Qとする

Pの座標 \(( \frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n})\)

Qの座標 \(( \frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\frac{-ny_1+my_2}{m-n})\)

線分ABの中点の座標 \((\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} )\)

 

重心の座標:

3点A(\(x_1,y_1\)),B(\(x_2,y_2\)),C(\(x_3,y_3\))を頂点とする

\(\triangle\)ABCの重心の座標

\(( \frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3} )\)

 

直線の方程式(1):

点(\(x_1,y_1\))を通り,傾きが\(m\)の直線の方程式

\(y-y_1=m(x-x_1)\)

 

直線の方程式(2):

異なる2点(\(x_1,y_1\)),(\(x_2,y_2\))を通る直線の方程式

\(x_1\neq x_2   y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)

\(x_1=x_2   x=x_1\)

 

2直線の平行,垂直:

2直線\(y=m_1x+k_1\),\(y=m_2x+k_2\)について

\(m_1=m_2\) \(\Longleftrightarrow\) 2直線が平行

\(m_1m_2=-1\) \(\Longleftrightarrow\) 2直線が垂直

 

点(\(x_1,y_1\))を通り,直線\(ax+by+c=0\)に平行な直線,垂直な直線:

平行 \(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\)

垂直 \(b(x-x_1)-a(y-y_1)=0\)

 

直線に対して対称な点:

 直線ABは\(\ell\)に垂直

 線分ABの中点は\(\ell\)上にある

 

 

点と直線の距離:

$$d=\frac{| ax_1+by_1+c |}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

 

円の方程式:

点(\(a,b\))を中心とする半径\(r\)の円の方程式

\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

 

\(x^2+y^2+lx+my+n=0\)の表す図形->

 

 

円と直線:

\(D\)の符号\(D>0\) \(D=0\) \(D<0\)

\(ax^2+bx+c=0\)の実数解 異なる2つの実数解 重解(1つの解) なし

円と直線の位置関係 異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない

共有点の個数 2個 1個 0個

 

 

\(d\)と\(r\)の大小:

\(d<r\) \(d=r\) \(d>r\)

円と直線の位置関係 異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない

 

円上の点における接線の方程式:

円\(x^2+y^2=r^2\)上の点P(\(x_1,y_1\))における接線の方程式

$$x_1x+y_1y=r^2$$

 

2つの円の位置関係->

 

2つの円の共有点の座標->

 

2つの円の交点を通る図形->

 

 

軌跡を求める手順:

1       点P(\(x,y\))として,Pの条件を\(x,y\)の式で表す

2       逆に,1で求めた図形上のすべての点Pが,与えられた条件を満たすことを確かめる

 

線分の中点の軌跡:

Q(\(s,t\)),P(\(x,y\))とする。Qの満たす条件を表す\(s,t\)の式と,QとPの座標の関係式から,\(x,y\)の方程式を導く。

 

直線と領域:

直線\(\ell\):\(y=mx+k\)

1 \(y>mx+k\)の表す領域は,直線\(l\)の上側の部分

2 \(y<mx+k\)の表す領域は,直線\(l\)の下側の部分

 

円と領域:

1 \(x^2+y^2<r^2\)の表す領域は,円\(x^2+y^2=r^2\)の内部

2 \(x^2+y^2>r^2\)の表す領域は,円\(x^2+y^2=r^2\)の外部

 

連立不等式の表す領域->

 

領域の最大・最小->

 

領域を利用した証明->

 

\(p\)ならば\(q\) \(\Longleftrightarrow\) \(P\subset Q\)

 

 

放物線を境界線とする領域:

曲線\(F\):\(y=ax^2+bx+c\)

\(y>ax^2+bx+c\)の表す領域は,曲線\(F\)の上側の部分

\(y<ax^2+bx+c\)の表す領域は,曲線\(F\)の下側の部分

 

第4章         三角関数

 

語句まとめ:動径,始線

 

動径の表す角:

動径OPと始線OXのなす角の1つを\(\alpha\)とすると,動径OPの表す角は\(\alpha+360^\circ \times n\)。\(n\)は整数

 

語句まとめ:弧度法,度数法

 

弧度法と扇形:

半径\(r\),中心核\(\theta\)(ラジアン)の扇形の弧の長さ\(l\),面積\(S\)は

\(l=r\theta\), \(S=\frac{1}{2}r^2\theta\)

 

 

\(\theta\)の三角関数:

\(sin \theta=\frac{y}{r}\),\(cos \theta=\frac{x}{r}\),\(tan \theta=\frac{y}{x}\)

\(\theta\)の正弦,余弦,正接という

 

語句まとめ:単位円

 

三角関数の相互関係:

\(tan \theta=\frac{sin \theta}{cos \theta}\) ,\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)

\(1+tan^2\theta=\frac{1}{cos^2\theta}\)

 

三角関数のグラフ:

\(sin \theta\)の性質:

\(sin \theta\)の値は,P(\(x,y\))の\(y\)座標に等しい

\(y=sin\theta\)のグラフは原点に対して対称

周期は2\(\pi\)

 

\(cos \theta\)の性質:

\(sin \theta\)の値は,P(\(x,y\))の\(x\)座標に等しい

\(y=sin\theta\)のグラフは\(y\)軸に対して対称

周期は2\(\pi\)

 

\(tan\theta)の性質:

\(tan \theta\)の値は,T(\(1,m\))の\(y\)座標に等しい

\(tan (\theta+\pi)=tan \theta\)が成立

グラフは原点に対して対称

周期は\(\pi\)

 

三角関数で成り立つ等式:

\(sin (\theta+2n\pi)=sin \theta\)

\(cos (\theta+2n\pi)=cos \theta\)

\(tan (\theta+n\pi)=tan \theta\)

 

三角関数のグラフの対称性:

\(sin (-\theta)=-sin \theta\)

\(cos (-\theta)=sin \theta\)

\(tan (-\theta)=-tan \theta\)

 

\(sin (\theta+\pi)=-sin \theta\)

\(cos (\theta+\pi)=-cos \theta\)

\(tan (\theta+\pi)=tan \theta\)

 

\(sin (\theta+\frac{\pi}{2})=cos \theta\)

\(cos (\theta+\frac{\pi}{2})=-sin \theta\)

\(tan (\theta+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{tan \theta}\)

 

三角関数を含む方程式->

 

三角関数を含む不等式->

 

三角関数を含む関数の最大値,最小値->

 

正弦,余弦の加法定理:

\(sin(\alpha+\beta)=sin \alpha cos \beta+cos \alpha sin \beta\)

\(sin(\alpha-\beta)=sin \alpha cos \beta-cos \alpha sin \beta\)

\(cos(\alpha+\beta)=cos \alpha cos \beta-sin \alpha sin \beta\)

\(cos(\alpha-\beta)=cos \alpha cos \beta+sin \alpha sin \beta\)

 

正接の加法定理:

\(tan(\alpha+\beta)=\frac{tan \alpha+tan \beta}{1-tan \alpha tan \beta}\)

\(tan(\alpha-\beta)=\frac{tan \alpha-tan \beta}{1+tan \alpha tan \beta}\)

 

正弦,余弦の2倍角の公式:

\(sin 2\alpha=2sin \alpha cos \alpha\)

\(cos 2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha\)

\(cos 2\alpha=1-2sin^2\alpha\)

\(cos 2\alpha=2cos^2\alpha-1\)

 

正弦,余弦の半角の公式:

\(sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos\alpha}{2}\),\(cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+cos\

alpha}{2})

 

正接の2倍角,半角の公式:

\(tan 2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}\),\(tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos \alpha}{1+cos \alpha}\)

 

三角関数の合成:

\(a sin \theta+b sin \theta=\sqrt{a^2+b^2} sin(\theta+\alpha)\)

ただし,\(cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

 

正弦,余弦の積を和や差に変形する4つの公式:

\(sin\alpha cos \beta=\frac{1}{2}{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}\)

\(cos\alpha sin \beta=\frac{1}{2}{sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)}\)

\(cos\alpha cos \beta=\frac{1}{2}{cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}\)

\(sin\alpha sin \beta=\frac{1}{2}{cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)}\)

 

 

 

正弦,余弦の和や差を積に変形する4つの公式:

上の4つの公式において,\(\alpha+\beta=A\),\(\alpha-\beta=B\)とおくと,

\(sin A+sin B=2sin \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})

\(sin A-sin B=2cos \frac{A+B}{2}sin \frac{A-B}{2})

\(cos A+cos B=2cos \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})

\(cos A-cos B=-2sin \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})

 

第5章         指数関数

 

累乗(1)

\(a^0=1,a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) \(a^{-1}=\frac{1}{a}\)

 

累乗(2):

\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\),\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\),\(a^{-r}

=\frac{1}{a^r}\)

 

指数法則(指数が有理数):

\(r\),\(s\)は有理数

\(a^r\times a^s=a^{r+s}\) \(\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\)

\((a^r)^s=a^{rs}\)  \((ab)^r=a^rb^r\)

 

語句まとめ:指数関数,増加関数,減少関数

 

指数関数\(y=a^x\)の特徴:

定義域:実数全体,値域:正の数全体

\(a>1\)のとき,増加関数

\(r<s \Longleftrightarrow a^r<a^s\)

\(0<a<1\)のとき,減少関数

\(r<s \Longleftrightarrow a^r>a^s\)

 

指数関数を含む方程式,不等式->

 

語句まとめ:底,対数,真数

 

指数と対数:

\(M>0\)とすると

\(M=a^p \Longleftrightarrow log_aM=p\)

 

\(log_aa^p=p\),\(a^{log_ap}=p\)

 

 

対数の性質(1):

\(log_a1=0\),\(log_aa=1\)

 

 

対数の性質(2):

\(M>0,N>0\)で\(k\)は実数

\(log_aMN=log_aM+log_aN\) \(log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN\)

\(log_aM^k=klog_aM\)

 

底の変換公式:

\(a,b,c\)は正の数,\(a\neq 1\),\(b\neq 1\),\(c\neq 1\)とするとき

\(log_ab=\frac{log_cb}{logca}\) とくに\(log_ab=\frac{1}{log_ba}\)

 

対数関数\(y=log_ax\)の特徴:

定義域は正の数全体,値域は実数全体

\(a>1\)のとき,増加関数。すなわち

\(0<p<q \Longleftrightarrow log_ap<log_aq\)

\(0<a<1\)のとき,減少関数。すなわち

\(0<p<q \Longleftrightarrow log_ap>log_aq\)

 

 

対数関数を含む方程式,不等式->

 

対数を含む関数の最大値,最小値-?

 

常用対数->

 

 

桁数と常用対数の値の関係:

自然数\(N\)が\(m\)桁のかずであるとは,\(N\)が

\(10^{m-1} \leq N<10^m \)

を満たす。常用対数をとると,

\(m-1\leq log_{10}N<m\)

 

第6章 微分法と積分法

 

語句まとめ:平均変化率,極限値,微分係数

 

 

極限値:

関数\(f(x)\)において,\(x\)が\(a\)に近づくとき,\(f(x)\)の値が定数\(a\)に近づくならば,\(\alpha\)を\(f(x)\)の極限値という。このことを次のように書く。

\(\lim_{x \to a} f(x)=\alpha\)

 

 

\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数:

\(f’(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)^f(a)}{h}\)

 

 

接戦の傾きと微分係数:

関数\(y=f(x)\)のグラフ上の点\(A(a,f(a))\)における接線の傾きは,関数\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数\(f’(a)\)に等しい

 

導関数\(f’(x)\):

$$f’(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

 

 

関数\(x^n\)の導関数:

\((x^n)’=nx^{n-1}\)

\((c)’=0\)

 

 

定数倍,和の導関数:

\(k\)は定数

\(y=kf(x)+lg(x)\)を微分

\(y’=kf’(x)+lg’(x)\) \(k,l\)は定数

 

 

接線の方程式:

関数\(y=f(x)\)のグラフの点(\(a,f(a))\)における接線の方程式

\(y-f(a)=f’(a)(x-a)\)

 

\(f(x)\)の増減と\(f’(x)\)の符号:

\(f’(x)>0\)となる\(x\)の値の範囲では増加\(f’(x)<0\)となる\(f(x)<0\)となる\(x\)の値の範囲では減少

 

語句まとめ:増減表,極大,極大値, 極小, 極小値,極値

 

\(f(x)\)が極値をとるための十分条件:

\(f(x)\)が\(x=a\)で極地をとるならば,\(f’(a)=0\)である

<補足>逆は成り立たない

 

関数の最大・最小->

 

方程式への応用->

不等式への応用->

 

語句まとめ:原始関数,積分定数,不定積分

\(f(x)\)の不定積分:

\(F’(x)=f(x)\)のとき

\(\int f(x)dx=F(x)+C\)  ただし,\(C\)は積分定数

\(x^n\)の不定積分:

\(\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)

 

定数倍,和の不定積分:

\(F’(x)=f(x),G’(x)=g(x)\)のとき

\(\int kf(x)+lg(x)dx=kF(x)+lG(x)+C\)  \(k\),\(l\)は定数

 

定積分:

\(F’(x)=f(x)\)のとき

\(\int_{a}^{b}f(x)dx=[ F(x) ]_a^b=F(b)-F(a)\)

 

関数の定数倍,和の定積分:

\(\int_{a}^{b}kf(x)+lg(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx+l\int_{a}^{b} g(x)dx \)

 

定積分の性質:

1  \(\int_{a}^{a}f(x)=0\)

2  \(\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx\)

3  \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)

\(a\)を定数とするとき,

4  \(\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)

 

 

定積分と図形の面積:

\(a\leq x\leq b\)の範囲で\(f(x)\geq g(x)\)のとき,\(y=f(x)\)のグラフと\(x\)軸および2直線\(x=a,x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は

\(S=\int_{a}^{b}{f(x)-g(x)}dx\)

 

曲線と接線で囲まれた図形の面積->

 

語句まとめ:切り取る線分の長さ

 

放物線\(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\)と\(x\)軸で囲まれた部分の面積:

\(S=\int_{\alpha}^{\beta}-a(x-\alpha)(x-\beta)dx=\frac{a(\beta-\alpha)^3}{6}\)

 

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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!