どうも,ユキです。
高校数学の数学2について公式をまとめました。
どうぞ！！
数学Ⅱ
第1章 式と証明
3次式の展開と因数分解：
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)，\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ba^2-b^3\)
展開の公式：
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)，\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
因数分解の公式：
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)，\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
二項定理：
\((a+b)^n={}_n\mathrm{C}_0a^n+{}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b+{}_n\mathrm{C}_2a^{n-2}b^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r+\cdots+{}_n\mathrm{C}_nb^n \)
二項定理の応用：
\((1+x)^n=+{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_1x+{}_n\mathrm{C}_2x^2+{}_n\mathrm{C}_nx^n\)
\((a+b+c)^n\)の展開式：
\((a+b+c)^n\)の展開式における\(a^pb^qc^r\)の項の係数は
\(\frac{n!}{p!q!r!}\) ただし \(p+q+r=n\)
語句まとめ：整式
\(A=BQ+R\)：
\(A\)，\(B\)が整式とすると，\(A\)を\(B\)で割った商は\(Q\)となり，余りは\(R\)となる。
とくに，
\(A=BQ\)のとき：
つまり，\(R=0\)のときは\(A\)は\(B\)で割り切れるという
分数式の約分：
\(\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}\) (ただし \(C \neq 0 \))
分数式の四則演算：
\(\frac{A}{B}\times\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}\)
分数式の加法･減法：
\(\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}\)
語句まとめ：恒等式
恒等式の性質：
\(ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’\)が\(x\)についての恒等式
\(\Longleftrightarrow\) \(a=a’\)，\(b=b’\)，\(c=c’\)
\(ax^2+bx+c=0\)が\(x\)についての恒等式
\(\Longleftrightarrow\) \(a=b=c=0\)
代入による恒等式の係数決定->
恒等式に関する証明->
\(A=B\)の証明方法：
1 \(A\)か\(B\)の一方を変形して，他方を導く
2 \(A\)と\(B\)の両方を変形して，同じ式を導く
3 \(A-B\)を変形して，0になることを示す
条件付きの等式の証明->
条件が比例式の等式の証明->
不等式の証明->
実数の大小関係：
\(a>b\)， \(b>c\) \(\Rightarrow\) \((a>c)\)
\(a>b\) \(\Rightarrow\) \(a+c>b+c，a-c>b-c\)
\(a>b\)， \(c>0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)
\(a>b\)， \(c<0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)
2数の大小関係と差：
\(a>b\) \(\Longleftrightarrow\) \(a-b>0\)
\(a<b\) \(\Longleftrightarrow\) \(a-b<0\)
実数の平方の性質：
実数\(a\)について \(a^2 \geq 0\)
等号が成り立つのは，\(a=0\)のとき
実数\(a，b\)について \(a^2+b^2 \geq 0\)
等号が成り立つのは，\(a=b=0\)のとき
相加平均：
\(\frac{a+b}{2}\)を\(a\)と\(b\)の相加平均という
相乗平均：
\(a>0\)，\(b>0\)のとき，\(\sqrt{ab}\)を\(a\)と\(b\)の相乗平均という
相加平均と相乗平均の大小関係：
\(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\)
等号成立は，\(a=b\)のときである
第2章 複素数と方程式
複素数の相等：
\(a+bi=c+di\) \(\Longleftrightarrow\) \(a=c\)かつ\(b=d\)
とくに\(a+bi=0\) \(\Longleftrightarrow\) \(a=0\) かつ \(b=0\)
語句まとめ：共役な複素数
負の数の平方根：
\(a>0\) \(-a\)の平方根は\(\pm \sqrt{-a}=\pm \sqrt{a}i\)である
2次方程式の解の公式：
\(ax^2+bx+c=0\)の解は \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
2次方程式の解の種類の判別：
\(ax^2+bx+c=0\)の判別式を\(D\)とすると，
\(D>0\) \(\Longleftrightarrow\) 異なる2つの実数解
\(D=0\) \(\Longleftrightarrow\) 重解
\(D<0\) \(\Longleftrightarrow\) 異なる2つの虚数解
解と係数の関係：
\(ax^2+bx+c=0\)の2つの解を\(\alpha\)，\(\beta\)とすると
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)，\(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)
\(ax^2+bx+c=0\)が2つの解\(\alpha\)，\(\beta\)を持つとき
\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\)
\(\alpha\)，\(\beta\)を解とする2次方程式
\(\alpha\)，\(\beta\)を解とする2次方程式の1つは
\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
2次方程式の実数解の符号：
1 \(ax^2+bx+c=0\)の2つの解\(\alpha\)，\(\beta\)と判別式\(D\)について
2 \(\alpha\)，\(\beta\)は異なる2つの正の解\(\Longleftrightarrow\)
\(D>0\)で，\(\alpha+\beta > 0\)かつ\(\alpha\beta>0\)
3 \(\alpha\)，\(\beta\)は異なる2つの負の解\(\Longleftrightarrow\) \(D>0\)で，
\(\alpha+\beta > 0\)かつ\(\alpha\beta>0\)
\(\alpha\)，\(\beta\)は符号の異なる解\(\Longleftrightarrow\) \(\alpha\beta<0\)
剰余の定理と因数定理：
\(P(x)=(x-k)Q(x)+R\)
\(x=k\)のとき，\(P(k)=R\)
剰余の定理：
整式\(P(x)\)を\((x-k)\)で割ったあまりは，\(P(k)\)に等しい
因数定理：
整式\(P(x)\)が\(x-k\)で割り切れる \(\Longleftrightarrow\) \(P(k)=0\)
組立除法->
高次方程式->
第3章 図形と方程式
語句まとめ：内分，外分，象限
線分の内分点･外分点：
線分\(m：n\)を内分する点をP，外分する点Ｑ
Pの座標\(\frac{na+mb}{m+n}\)，外分点Qの座標は\(\frac{-na+mb}{m-n}\)
線分ABの中点の座標は\(\frac{a+b}{2}\)
<補足>内分点の座標で\(n\)を\(-n\)に置き換えたものが，外分点の座標
2点間の距離：
2点A(\(x_1，y_1)\)，B(\(x_2，y_2\))間の距離ABは
$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
原点OとA(\(x_1，y_1)\)の距離OAは
$$OA=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$$
内分点，外分点の座標：
2点A(\(x_1，y_1\))，B(\(x_2，y_2\))を結ぶ線分ABを，\(m：n\)に内分する点をP，外分する点Qとする
Ｐの座標 \(( \frac{nx_1+mx_2}{m+n}，\frac{ny_1+my_2}{m+n})\)
Qの座標 \(( \frac{-nx_1+mx_2}{m-n}，\frac{-ny_1+my_2}{m-n})\)
線分ABの中点の座標 \((\frac{x_1+x_2}{2}，\frac{y_1+y_2}{2} )\)
重心の座標：
3点A(\(x_1，y_1\))，B(\(x_2，y_2\))，C(\(x_3，y_3\))を頂点とする
\(\triangle\)ABCの重心の座標
\(( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}，\frac{y_1+y_2+y_3}{3} )\)
直線の方程式(1)：
点(\(x_1，y_1\))を通り，傾きが\(m\)の直線の方程式
\(y-y_1=m(x-x_1)\)
直線の方程式(2)：
異なる2点(\(x_1，y_1\))，(\(x_2，y_2\))を通る直線の方程式
\(x_1\neq x_2 y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)
\(x_1=x_2 x=x_1\)
2直線の平行，垂直：
2直線\(y=m_1x+k_1\)，\(y=m_2x+k_2\)について
\(m_1=m_2\) \(\Longleftrightarrow\) 2直線が平行
\(m_1m_2=-1\) \(\Longleftrightarrow\) 2直線が垂直
点(\(x_1，y_1\))を通り，直線\(ax+by+c=0\)に平行な直線，垂直な直線：
平行 \(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\)
垂直 \(b(x-x_1)-a(y-y_1)=0\)
直線に対して対称な点：
直線ABは\(\ell\)に垂直
線分ABの中点は\(\ell\)上にある
点と直線の距離：
$$d=\frac{| ax_1+by_1+c |}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
円の方程式：
点(\(a，b\))を中心とする半径\(r\)の円の方程式
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
\(x^2+y^2+lx+my+n=0\)の表す図形->
円と直線：
\(D\)の符号\(D>0\) \(D=0\) \(D<0\)
\(ax^2+bx+c=0\)の実数解 異なる2つの実数解 重解(1つの解) なし
円と直線の位置関係 異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない
共有点の個数 2個 1個 0個
\(d\)と\(r\)の大小：
\(d<r\) \(d=r\) \(d>r\)
円と直線の位置関係 異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない
円上の点における接線の方程式：
円\(x^2+y^2=r^2\)上の点P(\(x_1，y_1\))における接線の方程式
$$x_1x+y_1y=r^2$$
2つの円の位置関係->
2つの円の共有点の座標->
2つの円の交点を通る図形->
軌跡を求める手順：
1 点P(\(x，y\))として，Pの条件を\(x，y\)の式で表す
2 逆に，１で求めた図形上のすべての点Pが，与えられた条件を満たすことを確かめる
線分の中点の軌跡：
Q(\(s，t\))，P(\(x，y\))とする。Qの満たす条件を表す\(s，t\)の式と，QとPの座標の関係式から，\(x，y\)の方程式を導く。
直線と領域：
直線\(\ell\)：\(y=mx+k\)
１ \(y>mx+k\)の表す領域は，直線\(l\)の上側の部分
２ \(y<mx+k\)の表す領域は，直線\(l\)の下側の部分
円と領域：
1 \(x^2+y^2<r^2\)の表す領域は，円\(x^2+y^2=r^2\)の内部
2 \(x^2+y^2>r^2\)の表す領域は，円\(x^2+y^2=r^2\)の外部
連立不等式の表す領域->
領域の最大・最小->
領域を利用した証明->
\(p\)ならば\(q\) \(\Longleftrightarrow\) \(P\subset Q\)
放物線を境界線とする領域：
曲線\(F\)：\(y=ax^2+bx+c\)
\(y>ax^2+bx+c\)の表す領域は，曲線\(F\)の上側の部分
\(y<ax^2+bx+c\)の表す領域は，曲線\(F\)の下側の部分
第4章 三角関数
語句まとめ：動径，始線
動径の表す角：
動径OPと始線OXのなす角の1つを\(\alpha\)とすると，動径OPの表す角は\(\alpha+360^\circ \times n\)。\(n\)は整数
語句まとめ：弧度法，度数法
弧度法と扇形：
半径\(r\)，中心核\(\theta\)(ラジアン)の扇形の弧の長さ\(l\)，面積\(S\)は
\(l=r\theta\)， \(S=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(\theta\)の三角関数：
\(sin \theta=\frac{y}{r}\)，\(cos \theta=\frac{x}{r}\)，\(tan \theta=\frac{y}{x}\)
\(\theta\)の正弦，余弦，正接という
語句まとめ：単位円
三角関数の相互関係：
\(tan \theta=\frac{sin \theta}{cos \theta}\) ，\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)
\(1+tan^2\theta=\frac{1}{cos^2\theta}\)
三角関数のグラフ：
\(sin \theta\)の性質：
\(sin \theta\)の値は，P(\(x，y\))の\(y\)座標に等しい
\(y=sin\theta\)のグラフは原点に対して対称
周期は2\(\pi\)
\(cos \theta\)の性質：
\(sin \theta\)の値は，P(\(x，y\))の\(x\)座標に等しい
\(y=sin\theta\)のグラフは\(y\)軸に対して対称
周期は2\(\pi\)
\(tan\theta)の性質：
\(tan \theta\)の値は，T(\(1，m\))の\(y\)座標に等しい
\(tan (\theta+\pi)=tan \theta\)が成立
グラフは原点に対して対称
周期は\(\pi\)
三角関数で成り立つ等式：
\(sin (\theta+2n\pi)=sin \theta\)
\(cos (\theta+2n\pi)=cos \theta\)
\(tan (\theta+n\pi)=tan \theta\)
三角関数のグラフの対称性：
\(sin (-\theta)=-sin \theta\)
\(cos (-\theta)=sin \theta\)
\(tan (-\theta)=-tan \theta\)
\(sin (\theta+\pi)=-sin \theta\)
\(cos (\theta+\pi)=-cos \theta\)
\(tan (\theta+\pi)=tan \theta\)
\(sin (\theta+\frac{\pi}{2})=cos \theta\)
\(cos (\theta+\frac{\pi}{2})=-sin \theta\)
\(tan (\theta+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{tan \theta}\)
三角関数を含む方程式->
三角関数を含む不等式->
三角関数を含む関数の最大値，最小値->
正弦，余弦の加法定理：
\(sin(\alpha+\beta)=sin \alpha cos \beta+cos \alpha sin \beta\)
\(sin(\alpha-\beta)=sin \alpha cos \beta-cos \alpha sin \beta\)
\(cos(\alpha+\beta)=cos \alpha cos \beta-sin \alpha sin \beta\)
\(cos(\alpha-\beta)=cos \alpha cos \beta+sin \alpha sin \beta\)
正接の加法定理：
\(tan(\alpha+\beta)=\frac{tan \alpha+tan \beta}{1-tan \alpha tan \beta}\)
\(tan(\alpha-\beta)=\frac{tan \alpha-tan \beta}{1+tan \alpha tan \beta}\)
正弦，余弦の2倍角の公式：
\(sin 2\alpha=2sin \alpha cos \alpha\)
\(cos 2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha\)
\(cos 2\alpha=1-2sin^2\alpha\)
\(cos 2\alpha=2cos^2\alpha-1\)
正弦，余弦の半角の公式：
\(sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos\alpha}{2}\)，\(cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+cos\
alpha}{2})
正接の2倍角，半角の公式：
\(tan 2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}\)，\(tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos \alpha}{1+cos \alpha}\)
三角関数の合成：
\(a sin \theta+b sin \theta=\sqrt{a^2+b^2} sin(\theta+\alpha)\)
ただし，\(cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}，sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
正弦，余弦の積を和や差に変形する4つの公式：
\(sin\alpha cos \beta=\frac{1}{2}{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}\)
\(cos\alpha sin \beta=\frac{1}{2}{sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)}\)
\(cos\alpha cos \beta=\frac{1}{2}{cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}\)
\(sin\alpha sin \beta=\frac{1}{2}{cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)}\)
正弦，余弦の和や差を積に変形する４つの公式：
上の４つの公式において，\(\alpha+\beta=A\)，\(\alpha-\beta=B\)とおくと，
\(sin A+sin B=2sin \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})
\(sin A-sin B=2cos \frac{A+B}{2}sin \frac{A-B}{2})
\(cos A+cos B=2cos \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})
\(cos A-cos B=-2sin \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})
第5章 指数関数
累乗(1)
\(a^0=1，a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) \(a^{-1}=\frac{1}{a}\)
累乗(2)：
\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)，\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\)，\(a^{-r}
=\frac{1}{a^r}\)
指数法則(指数が有理数)：
\(r\)，\(s\)は有理数
\(a^r\times a^s=a^{r+s}\) \(\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\)
\((a^r)^s=a^{rs}\) \((ab)^r=a^rb^r\)
語句まとめ：指数関数，増加関数，減少関数
指数関数\(y=a^x\)の特徴：
定義域：実数全体，値域：正の数全体
\(a>1\)のとき，増加関数
\(r<s \Longleftrightarrow a^r<a^s\)
\(0<a<1\)のとき，減少関数
\(r<s \Longleftrightarrow a^r>a^s\)
指数関数を含む方程式，不等式->
語句まとめ：底，対数，真数
指数と対数：
\(M>0\)とすると
\(M=a^p \Longleftrightarrow log_aM=p\)
\(log_aa^p=p\)，\(a^{log_ap}=p\)
対数の性質(1)：
\(log_a1=0\)，\(log_aa=1\)
対数の性質(2)：
\(M>0，N>0\)で\(k\)は実数
\(log_aMN=log_aM+log_aN\) \(log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN\)
\(log_aM^k=klog_aM\)
底の変換公式：
\(a，b，c\)は正の数，\(a\neq 1\)，\(b\neq 1\)，\(c\neq 1\)とするとき
\(log_ab=\frac{log_cb}{logca}\) とくに\(log_ab=\frac{1}{log_ba}\)
対数関数\(y=log_ax\)の特徴：
定義域は正の数全体，値域は実数全体
\(a>1\)のとき，増加関数。すなわち
\(0<p<q \Longleftrightarrow log_ap<log_aq\)
\(0<a<1\)のとき，減少関数。すなわち
\(0<p<q \Longleftrightarrow log_ap>log_aq\)
対数関数を含む方程式，不等式->
対数を含む関数の最大値，最小値-?
常用対数->
桁数と常用対数の値の関係：
自然数\(N\)が\(m\)桁のかずであるとは，\(N\)が
\(10^{m-1} \leq N<10^m \)
を満たす。常用対数をとると，
\(m-1\leq log_{10}N<m\)
第6章 微分法と積分法
語句まとめ：平均変化率，極限値，微分係数
極限値：
関数\(f(x)\)において，\(x\)が\(a\)に近づくとき，\(f(x)\)の値が定数\(a\)に近づくならば，\(\alpha\)を\(f(x)\)の極限値という。このことを次のように書く。
\(\lim_{x \to a} f(x)=\alpha\)
\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数：
\(f’(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)^f(a)}{h}\)
接戦の傾きと微分係数：
関数\(y=f(x)\)のグラフ上の点\(A(a，f(a))\)における接線の傾きは，関数\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数\(f’(a)\)に等しい
導関数\(f’(x)\)：
$$f’(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
関数\(x^n\)の導関数：
\((x^n)’=nx^{n-1}\)
\((c)’=0\)
定数倍，和の導関数：
\(k\)は定数
\(y=kf(x)+lg(x)\)を微分
\(y’=kf’(x)+lg’(x)\) \(k，l\)は定数
接線の方程式：
関数\(y=f(x)\)のグラフの点(\(a，f(a))\)における接線の方程式
\(y-f(a)=f’(a)(x-a)\)
\(f(x)\)の増減と\(f’(x)\)の符号：
\(f’(x)>0\)となる\(x\)の値の範囲では増加\(f’(x)<0\)となる\(f(x)<0\)となる\(x\)の値の範囲では減少
語句まとめ：増減表，極大，極大値, 極小, 極小値，極値
\(f(x)\)が極値をとるための十分条件：
\(f(x)\)が\(x=a\)で極地をとるならば，\(f’(a)=0\)である
<補足>逆は成り立たない
関数の最大･最小->
方程式への応用->
不等式への応用->
語句まとめ：原始関数，積分定数，不定積分
\(f(x)\)の不定積分：
\(F’(x)=f(x)\)のとき
\(\int f(x)dx=F(x)+C\) ただし，\(C\)は積分定数
\(x^n\)の不定積分：
\(\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)
定数倍，和の不定積分：
\(F’(x)=f(x)，G’(x)=g(x)\)のとき
\(\int kf(x)+lg(x)dx=kF(x)+lG(x)+C\) \(k\)，\(l\)は定数
定積分：
\(F’(x)=f(x)\)のとき
\(\int_{a}^{b}f(x)dx=[ F(x) ]_a^b=F(b)-F(a)\)
関数の定数倍，和の定積分：
\(\int_{a}^{b}kf(x)+lg(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx+l\int_{a}^{b} g(x)dx \)
定積分の性質：
1 \(\int_{a}^{a}f(x)=0\)
2 \(\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx\)
3 \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)
\(a\)を定数とするとき，
4 \(\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)
定積分と図形の面積：
\(a\leq x\leq b\)の範囲で\(f(x)\geq g(x)\)のとき，\(y=f(x)\)のグラフと\(x\)軸および2直線\(x=a，x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(S=\int_{a}^{b}{f(x)-g(x)}dx\)
曲線と接線で囲まれた図形の面積->
語句まとめ：切り取る線分の長さ
放物線\(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\)と\(x\)軸で囲まれた部分の面積：
\(S=\int_{\alpha}^{\beta}-a(x-\alpha)(x-\beta)dx=\frac{a(\beta-\alpha)^3}{6}\)
[affi id=17]
