高校数学

[数学3編]完全攻略!高校数学の公式全部まとめてみたwww

どうも,ユキです。

高校数学の数学3について公式をまとめました。

どうぞ!!

数学Ⅲ

第1章         複素数平面

 

語句まとめ:複素数平面,共役複素数

 

複素数の絶対値:

複素数\(a+bi\)の絶対値は \(| a+bi |=\sqrt{a^2+b^2}\)

 

共役複素数の性質:

\(\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\),\(\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}\)

 

 

複素数\(z\)とその共役複素数について:

\(z+\overline{z}\)は実数 \(z\overline{z}=| z |^2\)

 

語句まとめ:極形式,偏角,

 

 

複素数の積の絶対値と偏角:

\(| \alpha\beta |=|\alpha||\beta|\) \(\arg \alpha\beta=\arg \alpha+\arg \beta\)

 

 

原点を中心とする回転->

 

ド・モアブルの定理:

\((cos\theta+sin\theta)^n=cos n\theta+i sin n\theta\)

 

複素数の\(n\)乗根->

 

 

1の\(n\)乗根:

1の\(n\)乗根は,次の式から得られる\(n\)個の複素数

\(z_k=cos\frac{2k\pi}{n}+i sin\frac{2k\pi}{n}   k=0,1,2\cdots,n-1\)

 

方程式の表す図形:

円:

点A(¥(\alpha\))を中心とする半径\(r\)の円上の点をP(\(z\))とすると,

\(| z-\alpha |=r\)

 

垂直二等分線:

2点A(\(\alpha\)),B(\(\beta\))を結ぶ線分ABの垂直二等分線上の点をP(\(z\))とすると,

\(|z-\alpha|=|z-\beta|\)

 

図形への応用->

 

2次曲線->

 

第2章         式と曲線

 

語句まとめ:放物線,焦点,準線

 

\(x\)軸が軸となる放物線

標準形:\(y^2=4px (p\neq 0)\)

焦点は点\((p,0)\),準線は直線\(x=-p\)

頂点は原点O

曲線は\(x\)軸に関して対称

 

 

\(y\)軸が軸となる放物線

標準形:\(x^2=4py (p\neq 0)\)

焦点は点\((0,p)\),準線は直線\(y=-p\)

頂点は原点O

曲線は\(y\)軸に関して対称

 

語句まとめ:長軸,短軸,頂点

 

焦点が\(x\)軸上にある楕円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\)

焦点は 2点(\(\sqrt{a^2-b^2},0\)),(\(-\sqrt{a^2-b^2},0\))

楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は \(2a\)

長軸の長さは \(2a\),短軸の長さは \(2b\)

曲線は\(x\)軸,\(y\)軸,原点Oに関して対称

 

 

焦点が\(y\)軸上にある楕円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (b>a>0)\)

焦点は 2点(\(0,\sqrt{b^2-a^2}\)),(\(0,-\sqrt{b^2-a^2}\))

楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は \(2a\)

長軸の長さは \(2a\),短軸の長さは \(2b\)

曲線は\(x\)軸,\(y\)軸,原点Oに関して対称

 

円の縮小と拡大->

 

点の軌跡が楕円になる場合->

 

双曲線->

焦点が\(x\)軸上にある双曲円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\) (\(a>0,b>0)\))

頂点は 2点(\(a,0)\)),(\(-a,0\)

焦点は 2点(\(\sqrt{a^2+b^2},0\)),(\(-\sqrt{a^2+b^2},0\))

双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差は \(2a\)

漸近線は 2直線\(y=\frac{b}{a}x,y=-\frac{b}{a}x\)

曲線は\(x\)軸,\(y\)軸,原点Oに関して対称

 

 

焦点が\(y\)軸上にある双曲円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\) (\(a>0,b>0)\))

頂点は 2点(\(0,b\),(\(0,-b\)

焦点は 2点(\(0,\sqrt{a^2+b^2}\)),(\(0,-\sqrt{a^2+b^2}\))

双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差は \(2b\)

漸近線は 2直線\(y=\frac{b}{a}x,y=-\frac{b}{a}x\)

曲線は\(x\)軸,\(y\)軸,原点Oに関して対称

 

 

2次曲線の平行移動:

曲線\(F(x,y)=0\)を,\(x\)軸方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動すると,移動後の曲線の方程式は

\(F(x-p,y-q)=0\)

 

 

\(ax^2+by^2+cx+dy+e=0\)の表す図形->

 

2次曲線と直線->

 

2次曲線の接線の方程式:

1  放物線\(y^2=4px\)上の点P(\(x_1,y_1\))における接線の方程式は

\(y_1y=2p(x+x_1)\)

2  楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上の点P(\(x_1,y_1\))における接線の方程式は

\(\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1\)

3  双曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1\)上の点P(\(x_1,y_1\))における接線の方程式は

\(\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1\)

 

 

媒介変数表示と極座標:

 

 

語句まとめ:媒介変数表示,媒介変数(パラメータ)

 

 

円\(x^2+y^2=a^2\)の媒介変数表示:

\(x=a cos\theta,y=a sin\theta\)

 

 

楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)の媒介変数表示:

\(x=a cos\theta,y=b sin\theta\)

 

サイクロイドの媒介変数表示:

\(x=a(\theta- sin\theta),y=a(1-cos\theta)\)

 

 

媒介変数表示される曲線の平行移動:

\(x=f(t)\),\(g=f(t)\)で表される曲線を,\(x\)軸方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動すると,

\(x=f(t)+p\),\(y=g(t)+q\)

 

語句まとめ:直交座標,極座標,極,偏角,極方程式

 

 

直交座標と極座標の対応関係:

点Pの直交座標(\(x,y\)),極座標(\(r,\theta\))とすると,

\(x=rcos\theta,y=rsin\theta\)

\(r=\sqrt{x^2+y^2} r\neq 0のとき\)

\(cos\theta=\frac{x}{r},sin\theta=\frac{y}{r}\)

 

 

直交座標の\(x,y\)の方程式と極方程式->

 

2次曲線の極方程式->

 

第3章         関数

 

分数関数\(\frac{k}{x-p}+q\):

グラフは,\(y=\frac{k}{x}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動した曲線で,漸近線は2直線\(x=p,y=q\)

定義域は\(x\neq p\),値域は\(y \neq q\)

 

無理関数\(y=\sqrt{a(x-p)}\):

グラフは,\(y=ax\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)岳へ行こう移動した曲線

定義域は\(x-p\geq 0\)を満たす実数\(x\)の値全体,値域は\(y\geqq 0)

 

語句まとめ:逆関数

 

\(f(x)\)の逆関数\(g(x)\)の求め方:

1  \(y=f(x)\)を\(x\)について解き,\(x=g(y)\)の形にする。

2  \(x\)と\(y\)を入れ替えて,\(y=g(x)\)とする

3  逆関数\(g(x)\)の定義域は,元の関数\(f(x)\)の値域と同じ

 

逆関数の性質:

関数\(f(x)\)が逆関数\(f^{-1}(x)\)をもつとき

\(b=f(a)  \Longleftrightarrow  a=f^{-1}(b)\)

関数\(y=f(x)\)のグラフとその逆関数\(y=f^{-1}(x)\)のグラフは,直線\(y=x\)に関して対称

 

第4章 極限

 

数列の収束・発散:

収束 値\(\alpha\)に収束 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=\alpha \cdots\)極限は \(\alpha\)

発散 正の無限大に発散 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty \cdots\)極限は \(\infty\)

負の無限大に発散 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty \cdots\)極限は \(\infty\)

振動 \(\cdots\) 極限は ない

 

 

数列の極限の性質(1):

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha\), \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\beta\)とする

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}ka_n+gb_n=k\alpha+gb\)

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=\alpha\beta\)

 

全ての\(n\)について\(a_n\leq b_n\) ならば \(\alpha \leq \beta\)

全ての\(n\)について \(a_n\leq c_n\leq b_n\) かつ \(\alpha =\beta\) ならば

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n=\alpha\)

 

 

数列\(r^n\)の極限:

\(r>1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\infty\) 発散

\(r=1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=1\) 収束

\(| r |<1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=0\) 収束

\(r\leq -1\)のとき 振動する \(\cdots\) 極限はない

 

数列{\(r^n\)}が収束するための必要十分条件:

\(-1< r\leq 1\)

 

 

無限級数の和\(S\)の定義:

無限級数\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\cdots\)の部分和\(S_n\)から作られる無限数列{\(S_n\)}が\(S\)に収束するとき,この無限級数の和は\(S\)

 

無限級数の性質:

\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n=S\),\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n=T\)のとき

\(\sum_{n=1}^{\infty}ka_n+gb_n=kS+gT\)

 

 

関数の極限:

\(\lim_{x \to a}f(x)=\alpha\),\(\lim_{x \to a}g(x)=\beta\)とする

\(\lim_{x \to a}kf(x)+lg(x)=k\alpha+g\beta\)

\(\lim_{x \to a}f(x)g(x)=\alpha\beta\)

 

片側からの極限:

\(\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)= \displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=\alpha \Longleftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=\alpha \)

 

\(x \rightarrow \infty,x\rightarrow -\infty\)のときの極限->

指数関数,対数関数の極限->

 

 

関数の極限の性質(2):

\(\lim_{x \to a}f(x)=\alpha\),\(\lim_{x \to a}g(x)=\beta\)とする

\(x=a\)の近くで常に \(f(x)\leq g(x)\) ならば \(\alpha \leq \beta\)

\(x=a\)の近くで常に \(f(x)\leq h(x)\leq g(x)\) ならば \(\alpha \leq \beta\)

\(\displaystyle \lim_{x \to a}h(x)=\alpha\)

 

\(\frac{sin x}{x}\)の極限

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1\)

 

 

関数の連続性:

極限値\(\lim_{x \to a}f(x)\)が存在し,かつ\(\lim_{x \to a}f(x)=f(a)\)が成り立つとき,\(f(x)\)は\(x=a\)で連続であるという

 

 

関数\(f(x),g(x)\)がともに\(x=a\)で連続ならば,次の関数はいずれも\(x=a\)で連続である

\(kf(x)+lg(x)\),\(\frac{f(x)}{g(x)}\)

\(g(x) \neq 0\)

 

語句まとめ:区間,開区間,閉区間,ガウス記号

 

中間値の定理:

\(f(x)\)が閉区間[\(a,b\)]で連続で,\(f(a)\neq f(b)\)ならば,\(f(a)\)と\(f(b)\)の間の任意の値\(k\)に対して

\(f(x)=k\),\(a<c<b\)

を満たす実数\(c\)が少なくとも1つある

 

 

\(f(x)\)が閉区間[\(a,b\)]で連続で,\(f(a)\)と\(f(b)\)の符号が異なれば,方程式\(f(x)=0\)は\(a<x<b\)の範囲に少なくとも1つの実数解を持つ。

 

 

微分係数:

\(f(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

 

微分可能と連続:

\(f(x)\)が\(x=a\)で微分可能ならば,\(x=a\)で連続

※逆は不成立

 

\(f(x)\)の導関数:

\(\frac{d(f(x))}{dx}=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

 

導関数の公式:

\(f(x),g(x)\)がともに微分可能であるとき

\({ kf(x)+lg(x) }’=kf’(x)+lg’(x)\)

\({f(x)g(x)}’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)\)

 

\(x^n\)の導関数:

\(n\)が自然数のとき \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)

 

 

商の導関数:

\(f(x),g(x)\)がともに微分可能であるとき

\(\frac{d}{dx}\frac{1}{g(x)}=-\frac{\frac{d}{dx}g(x)}{{ g(x) }^2}\)

\({\frac{f(x)}{g(x)}}’=\frac{f’(x)g(x)-f(x)g’(x) }{ { g(x) }^2 }\)

 

 

合成関数の微分法:

\(y=f(u)\)が\(u\)の関数として微分可能,\(u=g(x)\)が\(x\)の関数として微分可能であるとする。このとき,合成関数\(y=f(g(x))\)は\(x\)の関数として微分可能で

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}・\frac{du}{dx}\)

 

逆関数の微分法:

\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\)

 

 

三角関数の導関数:

\(\frac{d}{dx}( sin x )=cos x\),\(\frac{d}{dx}( cos x )=-sin x\),

\(\frac{d}{dx}( tan x )=\frac{1}{cos^2 x}\)

 

対数関数の導関数:

\(\frac{d}{dx}(log_a x)=\frac{1}{xlog a}\)   \(\frac{d}{dx}(log x)=\frac{1}{x}\)

 

絶対値を含む対数関数の導関数:

\(\frac{d}{dx}(log_a|x|)=\frac{1}{xlog a}\)  \(\frac{d}{dx}(log |x|)=\frac{1}{x}\)

 

指数関数の導関数:

\(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)  \(\frac{d}{dx}(a^x)=a^xlog a\)

 

 

第\(n\)次導関数->

 

媒介変数表示と導関数:

\(x=f(t),y=g(t)\)のとき

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

 

 

導関数の応用:

接線の方程式:

\(y=f(x)\)上の点\(a,f(a)\)における接線の方程式は

\(y-f(a)=f’(a)(x-a)\)

 

法線の方程式:

\(y=f(x)\)上の点\(a,f(a)\)における接線の方程式は

\(f’(a)\neq 0\)のとき \(y-f(a)=-\frac{1}{f’(a)}(x-a)\)

 

平均値の定理:

\(f(x)\)が区間[\(a,b\)]で連続で,区間(\(a,b)\)で微分可能ならば,\(\frac{f(b)-f(c)}{b-a}=f’(c)\),\(a<c<b\)を満たす実数\(c\)が存在

 

語句まとめ:極大,極小,極大値,極小値,変曲点

 

極値をとるための必要条件:

\(f(x)\)が\(x=a\)で微分可能であるとき

\(f(x)\)が\(x=a\)で極値をとるならば \(f’(a)=0\)

 

\(f’(x)\)の符号と曲線\(y=f(x)\)の凹凸:

\(f(x)\)が第2次導関数\(f’’(x)\)をもつとき

\(f’’(x)>0\)である区間では,曲線\(y=f(x)\)は下に凸

\(f’’(x)<0\)である区間では,曲線\(y=f(x)\)は上に凸

 

第2次導関数と極値:

\(f’(a)=0\)かつ\(f’’(x)>0\)ならば,\(f(a)\)は極小値

\(f’(a)=0\)かつ\(f’’(x)<0\)ならば,\(f(a)\)は極大値

 

 

不等式の証明->

 

方程式の実数解の個数->

 

速度と加速度の定義:

数直線上を運動する点Pの時刻\(t\)における座標\(x\)が\(x=f(t)\)で表されるとき,時刻tにおけるPの速度\(v\),加速度\(\alpha\)は

\(v=\frac{dx}{dt}\), \(\alpha=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2}{dx^2}x\)

 

速度と加速度の公式:

座標平面上を運動する点P(\(x,y\))の時刻\(t\)における\(x\)座標,\(y\)座標が\(t\)の関数であるとき,時刻\(t\)におけるPの速度\(\vec{v}\),速さ\(| \vec{v} |\),加速度\(\vec{\alpha}\),加速度の大きさ\(| \vec{\alpha} |\)は

\(\vec{v}=( \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt} )\),\(| \vec{v} |=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\) \(\vec{\alpha}=( \frac{d^2}{dt^2}x,\frac{d^2}{d^t}y )\),\(| \vec{\alpha} |=\sqrt{(\frac{d^2}{dt^2}x)^2+(\frac{d^2}{dt^2}y)^2}\)

 

 

1次近似式(\(x=a\)周りのテイラー展開):

\(h \approx 0\)のとき \(f(a+h)\approx f(a)+f’(a)h\)

 

1次近似式(\(x=0\)周りのテイラー展開,マクローリン展開):

\(x \approx 0\)のとき \(f(x) \approx f(0)+f’(0)x\)

 

 

不定積分:

\(f(x)\)の不定積分

\(F’(x)=f(x)\)のとき

\(\int f(x)dx =F(x)+C\) ただし,\(C\)は積分定数

 

 

\(x^a\)の不定積分:

\(\int x^a dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\) ただし,\(\alpha \neq -1\)

\(\int \frac{1}{x}=log | x |+C\)

 

定数倍,和の不定積分:

\(\int kf(x)+lg(x)=k\int f(x)+l\int g(x) \)

 

三角関数,指数関数の不定積分:

\(\int sin xdx=-cos x+C\),  \(\int cos xdx=sin x+C\),  \(\int \frac{1}{cos^2 x} dx=tanx+C\),  \(\int \frac{1}{sin^2 x} dx=-\frac{1}{tanx}+C\),  \(\int e^x dx=e^x+C\),  \(\int a^x dx=\frac{a^x}{log a}+C\)

 

置換積分法:

\(\int f(x)dx=\int f(g(t))\frac{d}{dt}g(t) dt\)  ただし,\(x=g(t)\)

\(\int f(g(x))\frac{d}{dx}g(x)dx=\int f(u)du\)  ただし,\(g(u)=u\)

\(\int \frac{\frac{d}{dx}g(x)}{g(x)}dx=log| g(x) |+C\)

 

部分積分法:

\(\int f(x)\frac{d}{dx}g(x)dx=f(x)g(x)-\int \frac{d}{dx}f(x)g(x)dx\)

 

分数関数の不定積分->

 

三角関数に関する不定積分->

 

 

定積分:

ある区間で連続な関数\(f(x)\)の原始関数の1つを\(F(x)\)とし,\(a,b\)をその区間に含まれる任意の値とするとき

\(\int_{a}^{b}f(x)dx =[ F(x) ]_a^b=F(b)-F(a)\)

 

定積分の性質:

\(\int_a^b kf(x)+lg(x)=k\int_a^b f(x)dx +l\int_a^b g(x)dx\)

\(\int_a^af(x)dx=0\)

\(\int_b^a f(x)dx=-\int_a^bf(x)dx\)

\(\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx\)

 

定積分の置換積分法:

\(x=g(t)\)とおくとき,\(a=g(\alpha),b=g(\beta)\)ならば

\(\int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\frac{d}{dt}g(t) dt\)

 

 

偶関数,奇関数と定積分:

偶関数\(f(x)\)について \(\int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx\)

偶関数\(f(x)\)について \(\int_{-a}^a f(x)dx=0\)

 

 

定積分の部分積分法:

\(\int_a^b f(x)\frac{d}{dx}g(x)dx=[ f(x)g(x) ]_a^b-\int_a^b \frac{d}{dx}f(x)g(x)dx\)

 

定積分と導関数:

\(a\)が定数のとき  \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt=f(x)\)

 

区分求積法と定積分

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)dx\)

ただし,\(\Delta x=\frac{b-a}{n},x_k=a+k\Delta x\)

 

定積分と不等式:

区間[\(a,b\)]で連続な関数\(f(x),g(x)\)について

\(f(x)\geq g(x)\) ならば \(\int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx\)

等号は,常に\(f(x)=g(x)\)のときに成り立つ

 

積分法の応用:

区間[\(a,b\)]で常に\(f(x)\geq 0\)とき,曲線\(y=f(x)\)と\(x\)軸および2直線\(x=a\),\(x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は

\(S=\int_a^b f(x) dx\)

逆に,区間[\(a,b\)]で常に\(f(x)\geq 0\)とき,

\(S=\int_a^b { -f(x) } dx\)

 

 

2曲線間の面積:

1  区間[\(a,b\)]で常に\(f(x)\geq g(x)\)とき,2つの曲線\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)および2直線\(x=a\),\(x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は

\(S=\int_a^b { f(x)-g(x) } dx\)

 

2  区間[\(c\leq y \leq d\)]で常に\(g(y)\geq 0\)とき,2つの曲線\(x=g(y)\)と\(y\)軸および2直線\(y=c\),\(y=d\)で囲まれた部分の面積\(S\)は

\(S=\int_c^d g(y) dy\)

 

いろいろな式で表される曲線と面積->

 

断面積\(S(x)\)と立体の体積\(V\):

\(V=\int_a^bS(x)dx\) ただし,\(a<b\)

 

 

\(x\)軸の周りの回転体の体積:

\(V=\pi\int_a^b{ f(x) }^2 dx=\pi \int_a^b y^2 dx\) ただし,\(a<b\)

 

\(y\)軸の周りの回転体の体積:

\(V=\pi\int_a^b{ f(x) }^2 dx=\pi \int_a^b y^2 dx\) ただし,\(a<b\)

 

座標平面上を運動する点と道のり:

座標平面上を運動する点P(\(x,y\))の時刻\(t\)における\(x\)座標,\(y\)座標が\(t\)の関数で表せるとき,時刻\(t_1\)から\(t_2\)までにPが通過する道のり\(s\)は

\(s=\int_{t_1}^{t_2}| \vec{v} |dt=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt\)

 

媒介変数表示された曲線の長さ:

曲線\(x=f(t)\),\(y=g(t)\) \(a\leq t \leq b\)の長さ\(L\)は

\(L=\int_a^b\sqrt{ ( \frac{dx}{dt} )^2+ ( \frac{dy}{dt} )^2} dt\)

 

曲線\(y=f(x)\)の長さ:

曲線\(y=f(x) (a\leq x \leq b)\)の長さ\(L\)は

\(L=\int_a^b \sqrt{1+ ( \frac{dy}{dx} )^2} dx\)

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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!