どうも,ユキです。
高校数学の数学3について公式をまとめました。
どうぞ！！
数学Ⅲ
第1章 複素数平面
語句まとめ：複素数平面，共役複素数
複素数の絶対値：
複素数\(a+bi\)の絶対値は \(| a+bi |=\sqrt{a^2+b^2}\)
共役複素数の性質：
\(\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\)，\(\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}\)
複素数\(z\)とその共役複素数について：
\(z+\overline{z}\)は実数 \(z\overline{z}=| z |^2\)
語句まとめ：極形式，偏角，
複素数の積の絶対値と偏角：
\(| \alpha\beta |=|\alpha||\beta|\) \(\arg \alpha\beta=\arg \alpha+\arg \beta\)
原点を中心とする回転->
ド・モアブルの定理：
\((cos\theta+sin\theta)^n=cos n\theta+i sin n\theta\)
複素数の\(n\)乗根->
1の\(n\)乗根：
1の\(n\)乗根は，次の式から得られる\(n\)個の複素数
\(z_k=cos\frac{2k\pi}{n}+i sin\frac{2k\pi}{n} k=0，1，2\cdots，n-1\)
方程式の表す図形：
円：
点A(￥(\alpha\))を中心とする半径\(r\)の円上の点をP(\(z\))とすると，
\(| z-\alpha |=r\)
垂直二等分線：
2点A(\(\alpha\))，B(\(\beta\))を結ぶ線分ABの垂直二等分線上の点をP(\(z\))とすると，
\(|z-\alpha|=|z-\beta|\)
図形への応用->
2次曲線->
第2章 式と曲線
語句まとめ：放物線，焦点，準線
\(x\)軸が軸となる放物線の
標準形：\(y^2=4px (p\neq 0)\)
焦点は点\((p，0)\)，準線は直線\(x=-p\)
頂点は原点O
曲線は\(x\)軸に関して対称
\(y\)軸が軸となる放物線の
標準形：\(x^2=4py (p\neq 0)\)
焦点は点\((0，p)\)，準線は直線\(y=-p\)
頂点は原点O
曲線は\(y\)軸に関して対称
語句まとめ：長軸，短軸，頂点
焦点が\(x\)軸上にある楕円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\)の
焦点は 2点(\(\sqrt{a^2-b^2}，0\))，(\(-\sqrt{a^2-b^2}，0\))
楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は \(2a\)
長軸の長さは \(2a\)，短軸の長さは \(2b\)
曲線は\(x\)軸，\(y\)軸，原点Oに関して対称
焦点が\(y\)軸上にある楕円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (b>a>0)\)の
焦点は 2点(\(0，\sqrt{b^2-a^2}\))，(\(0，-\sqrt{b^2-a^2}\))
楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は \(2a\)
長軸の長さは \(2a\)，短軸の長さは \(2b\)
曲線は\(x\)軸，\(y\)軸，原点Oに関して対称
円の縮小と拡大->
点の軌跡が楕円になる場合->
双曲線->
焦点が\(x\)軸上にある双曲円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\) (\(a>0，b>0)\))の
頂点は 2点(\(a，0)\))，(\(-a，0\)
焦点は 2点(\(\sqrt{a^2+b^2}，0\))，(\(-\sqrt{a^2+b^2}，0\))
双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差は \(2a\)
漸近線は 2直線\(y=\frac{b}{a}x，y=-\frac{b}{a}x\)
曲線は\(x\)軸，\(y\)軸，原点Oに関して対称
焦点が\(y\)軸上にある双曲円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\) (\(a>0，b>0)\))の
頂点は 2点(\(0，b\)，(\(0，-b\)
焦点は 2点(\(0，\sqrt{a^2+b^2}\))，(\(0，-\sqrt{a^2+b^2}\))
双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差は \(2b\)
漸近線は 2直線\(y=\frac{b}{a}x，y=-\frac{b}{a}x\)
曲線は\(x\)軸，\(y\)軸，原点Oに関して対称
2次曲線の平行移動：
曲線\(F(x，y)=0\)を，\(x\)軸方向に\(p\)，\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動すると，移動後の曲線の方程式は
\(F(x-p，y-q)=0\)
\(ax^2+by^2+cx+dy+e=0\)の表す図形->
2次曲線と直線->
2次曲線の接線の方程式：
1 放物線\(y^2=4px\)上の点P(\(x_1，y_1\))における接線の方程式は
\(y_1y=2p(x+x_1)\)
2 楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上の点P(\(x_1，y_1\))における接線の方程式は
\(\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1\)
3 双曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1\)上の点P(\(x_1，y_1\))における接線の方程式は
\(\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1\)
媒介変数表示と極座標：
語句まとめ：媒介変数表示，媒介変数(パラメータ)
円\(x^2+y^2=a^2\)の媒介変数表示：
\(x=a cos\theta，y=a sin\theta\)
楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)の媒介変数表示：
\(x=a cos\theta，y=b sin\theta\)
サイクロイドの媒介変数表示：
\(x=a(\theta- sin\theta)，y=a(1-cos\theta)\)
媒介変数表示される曲線の平行移動：
\(x=f(t)\)，\(g=f(t)\)で表される曲線を，\(x\)軸方向に\(p\)，\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動すると，
\(x=f(t)+p\)，\(y=g(t)+q\)
語句まとめ：直交座標，極座標，極，偏角，極方程式
直交座標と極座標の対応関係：
点Pの直交座標(\(x，y\))，極座標(\(r，\theta\))とすると，
\(x=rcos\theta，y=rsin\theta\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2} r\neq 0のとき\)
\(cos\theta=\frac{x}{r}，sin\theta=\frac{y}{r}\)
直交座標の\(x，y\)の方程式と極方程式->
2次曲線の極方程式->
第3章 関数
分数関数\(\frac{k}{x-p}+q\)：
グラフは，\(y=\frac{k}{x}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)，\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動した曲線で，漸近線は2直線\(x=p，y=q\)
定義域は\(x\neq p\)，値域は\(y \neq q\)
無理関数\(y=\sqrt{a(x-p)}\)：
グラフは，\(y=ax\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)岳へ行こう移動した曲線
定義域は\(x-p\geq 0\)を満たす実数\(x\)の値全体，値域は\(y\geqq 0)
語句まとめ：逆関数
\(f(x)\)の逆関数\(g(x)\)の求め方：
1 \(y=f(x)\)を\(x\)について解き，\(x=g(y)\)の形にする。
2 \(x\)と\(y\)を入れ替えて，\(y=g(x)\)とする
3 逆関数\(g(x)\)の定義域は，元の関数\(f(x)\)の値域と同じ
逆関数の性質：
関数\(f(x)\)が逆関数\(f^{-1}(x)\)をもつとき
\(b=f(a) \Longleftrightarrow a=f^{-1}(b)\)
関数\(y=f(x)\)のグラフとその逆関数\(y=f^{-1}(x)\)のグラフは，直線\(y=x\)に関して対称
第4章 極限
数列の収束･発散：
収束 値\(\alpha\)に収束 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=\alpha \cdots\)極限は \(\alpha\)
発散 正の無限大に発散 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty \cdots\)極限は \(\infty\)
負の無限大に発散 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty \cdots\)極限は \(\infty\)
振動 \(\cdots\) 極限は ない
数列の極限の性質(1)：
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha\)， \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\beta\)とする
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}ka_n+gb_n=k\alpha+gb\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=\alpha\beta\)
全ての\(n\)について\(a_n\leq b_n\) ならば \(\alpha \leq \beta\)
全ての\(n\)について \(a_n\leq c_n\leq b_n\) かつ \(\alpha =\beta\) ならば
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n=\alpha\)
数列\(r^n\)の極限：
\(r>1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\infty\) 発散
\(r=1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=1\) 収束
\(| r |<1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=0\) 収束
\(r\leq -1\)のとき 振動する \(\cdots\) 極限はない
数列{\(r^n\)}が収束するための必要十分条件：
\(-1< r\leq 1\)
無限級数の和\(S\)の定義：
無限級数\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\cdots\)の部分和\(S_n\)から作られる無限数列{\(S_n\)}が\(S\)に収束するとき，この無限級数の和は\(S\)
無限級数の性質：
\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n=S\)，\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n=T\)のとき
\(\sum_{n=1}^{\infty}ka_n+gb_n=kS+gT\)
関数の極限：
\(\lim_{x \to a}f(x)=\alpha\)，\(\lim_{x \to a}g(x)=\beta\)とする
\(\lim_{x \to a}kf(x)+lg(x)=k\alpha+g\beta\)
\(\lim_{x \to a}f(x)g(x)=\alpha\beta\)
片側からの極限：
\(\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)= \displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=\alpha \Longleftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=\alpha \)
\(x \rightarrow \infty，x\rightarrow -\infty\)のときの極限->
指数関数，対数関数の極限->
関数の極限の性質(2)：
\(\lim_{x \to a}f(x)=\alpha\)，\(\lim_{x \to a}g(x)=\beta\)とする
\(x=a\)の近くで常に \(f(x)\leq g(x)\) ならば \(\alpha \leq \beta\)
\(x=a\)の近くで常に \(f(x)\leq h(x)\leq g(x)\) ならば \(\alpha \leq \beta\)
\(\displaystyle \lim_{x \to a}h(x)=\alpha\)
\(\frac{sin x}{x}\)の極限
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1\)
関数の連続性：
極限値\(\lim_{x \to a}f(x)\)が存在し，かつ\(\lim_{x \to a}f(x)=f(a)\)が成り立つとき，\(f(x)\)は\(x=a\)で連続であるという
関数\(f(x)，g(x)\)がともに\(x=a\)で連続ならば，次の関数はいずれも\(x=a\)で連続である
\(kf(x)+lg(x)\)，\(\frac{f(x)}{g(x)}\)
\(g(x) \neq 0\)
語句まとめ：区間，開区間，閉区間，ガウス記号
中間値の定理：
\(f(x)\)が閉区間[\(a，b\)]で連続で，\(f(a)\neq f(b)\)ならば，\(f(a)\)と\(f(b)\)の間の任意の値\(k\)に対して
\(f(x)=k\)，\(a<c<b\)
を満たす実数\(c\)が少なくとも1つある
\(f(x)\)が閉区間[\(a，b\)]で連続で，\(f(a)\)と\(f(b)\)の符号が異なれば，方程式\(f(x)=0\)は\(a<x<b\)の範囲に少なくとも1つの実数解を持つ。
微分係数：
\(f(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
微分可能と連続：
\(f(x)\)が\(x=a\)で微分可能ならば，\(x=a\)で連続
※逆は不成立
\(f(x)\)の導関数：
\(\frac{d(f(x))}{dx}=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
導関数の公式：
\(f(x)，g(x)\)がともに微分可能であるとき
\({ kf(x)+lg(x) }’=kf’(x)+lg’(x)\)
\({f(x)g(x)}’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)\)
\(x^n\)の導関数：
\(n\)が自然数のとき \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
商の導関数：
\(f(x)，g(x)\)がともに微分可能であるとき
\(\frac{d}{dx}\frac{1}{g(x)}=-\frac{\frac{d}{dx}g(x)}{{ g(x) }^2}\)
\({\frac{f(x)}{g(x)}}’=\frac{f’(x)g(x)-f(x)g’(x) }{ { g(x) }^2 }\)
合成関数の微分法：
\(y=f(u)\)が\(u\)の関数として微分可能，\(u=g(x)\)が\(x\)の関数として微分可能であるとする。このとき，合成関数\(y=f(g(x))\)は\(x\)の関数として微分可能で
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}･\frac{du}{dx}\)
逆関数の微分法：
\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\)
三角関数の導関数：
\(\frac{d}{dx}( sin x )=cos x\)，\(\frac{d}{dx}( cos x )=-sin x\)，
\(\frac{d}{dx}( tan x )=\frac{1}{cos^2 x}\)
対数関数の導関数：
\(\frac{d}{dx}(log_a x)=\frac{1}{xlog a}\) \(\frac{d}{dx}(log x)=\frac{1}{x}\)
絶対値を含む対数関数の導関数：
\(\frac{d}{dx}(log_a|x|)=\frac{1}{xlog a}\) \(\frac{d}{dx}(log |x|)=\frac{1}{x}\)
指数関数の導関数：
\(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\) \(\frac{d}{dx}(a^x)=a^xlog a\)
第\(n\)次導関数->
媒介変数表示と導関数：
\(x=f(t)，y=g(t)\)のとき
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$
導関数の応用：
接線の方程式：
\(y=f(x)\)上の点\(a，f(a)\)における接線の方程式は
\(y-f(a)=f’(a)(x-a)\)
法線の方程式：
\(y=f(x)\)上の点\(a，f(a)\)における接線の方程式は
\(f’(a)\neq 0\)のとき \(y-f(a)=-\frac{1}{f’(a)}(x-a)\)
平均値の定理：
\(f(x)\)が区間[\(a，b\)]で連続で，区間(\(a，b)\)で微分可能ならば，\(\frac{f(b)-f(c)}{b-a}=f’(c)\)，\(a<c<b\)を満たす実数\(c\)が存在
語句まとめ：極大，極小，極大値，極小値，変曲点
極値をとるための必要条件：
\(f(x)\)が\(x=a\)で微分可能であるとき
\(f(x)\)が\(x=a\)で極値をとるならば \(f’(a)=0\)
\(f’(x)\)の符号と曲線\(y=f(x)\)の凹凸：
\(f(x)\)が第2次導関数\(f’’(x)\)をもつとき
\(f’’(x)>0\)である区間では，曲線\(y=f(x)\)は下に凸
\(f’’(x)<0\)である区間では，曲線\(y=f(x)\)は上に凸
第2次導関数と極値：
\(f’(a)=0\)かつ\(f’’(x)>0\)ならば，\(f(a)\)は極小値
\(f’(a)=0\)かつ\(f’’(x)<0\)ならば，\(f(a)\)は極大値
不等式の証明->
方程式の実数解の個数->
速度と加速度の定義：
数直線上を運動する点Pの時刻\(t\)における座標\(x\)が\(x=f(t)\)で表されるとき，時刻tにおけるPの速度\(v\)，加速度\(\alpha\)は
\(v=\frac{dx}{dt}\)， \(\alpha=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2}{dx^2}x\)
速度と加速度の公式：
座標平面上を運動する点P(\(x，y\))の時刻\(t\)における\(x\)座標，\(y\)座標が\(t\)の関数であるとき，時刻\(t\)におけるPの速度\(\vec{v}\)，速さ\(| \vec{v} |\)，加速度\(\vec{\alpha}\)，加速度の大きさ\(| \vec{\alpha} |\)は
\(\vec{v}=( \frac{dx}{dt}，\frac{dy}{dt} )\)，\(| \vec{v} |=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\) \(\vec{\alpha}=( \frac{d^2}{dt^2}x，\frac{d^2}{d^t}y )\)，\(| \vec{\alpha} |=\sqrt{(\frac{d^2}{dt^2}x)^2+(\frac{d^2}{dt^2}y)^2}\)
1次近似式(\(x=a\)周りのテイラー展開)：
\(h \approx 0\)のとき \(f(a+h)\approx f(a)+f’(a)h\)
1次近似式(\(x=0\)周りのテイラー展開，マクローリン展開)：
\(x \approx 0\)のとき \(f(x) \approx f(0)+f’(0)x\)
不定積分：
\(f(x)\)の不定積分
\(F’(x)=f(x)\)のとき
\(\int f(x)dx =F(x)+C\) ただし，\(C\)は積分定数
\(x^a\)の不定積分：
\(\int x^a dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\) ただし，\(\alpha \neq -1\)
\(\int \frac{1}{x}=log | x |+C\)
定数倍，和の不定積分：
\(\int kf(x)+lg(x)=k\int f(x)+l\int g(x) \)
三角関数，指数関数の不定積分：
\(\int sin xdx=-cos x+C\)， \(\int cos xdx=sin x+C\)， \(\int \frac{1}{cos^2 x} dx=tanx+C\)， \(\int \frac{1}{sin^2 x} dx=-\frac{1}{tanx}+C\)， \(\int e^x dx=e^x+C\)， \(\int a^x dx=\frac{a^x}{log a}+C\)
置換積分法：
\(\int f(x)dx=\int f(g(t))\frac{d}{dt}g(t) dt\) ただし，\(x=g(t)\)
\(\int f(g(x))\frac{d}{dx}g(x)dx=\int f(u)du\) ただし，\(g(u)=u\)
\(\int \frac{\frac{d}{dx}g(x)}{g(x)}dx=log| g(x) |+C\)
部分積分法：
\(\int f(x)\frac{d}{dx}g(x)dx=f(x)g(x)-\int \frac{d}{dx}f(x)g(x)dx\)
分数関数の不定積分->
三角関数に関する不定積分->
定積分：
ある区間で連続な関数\(f(x)\)の原始関数の1つを\(F(x)\)とし，\(a，b\)をその区間に含まれる任意の値とするとき
\(\int_{a}^{b}f(x)dx =[ F(x) ]_a^b=F(b)-F(a)\)
定積分の性質：
\(\int_a^b kf(x)+lg(x)=k\int_a^b f(x)dx +l\int_a^b g(x)dx\)
\(\int_a^af(x)dx=0\)
\(\int_b^a f(x)dx=-\int_a^bf(x)dx\)
\(\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx\)
定積分の置換積分法：
\(x=g(t)\)とおくとき，\(a=g(\alpha)，b=g(\beta)\)ならば
\(\int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\frac{d}{dt}g(t) dt\)
偶関数，奇関数と定積分：
偶関数\(f(x)\)について \(\int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx\)
偶関数\(f(x)\)について \(\int_{-a}^a f(x)dx=0\)
定積分の部分積分法：
\(\int_a^b f(x)\frac{d}{dx}g(x)dx=[ f(x)g(x) ]_a^b-\int_a^b \frac{d}{dx}f(x)g(x)dx\)
定積分と導関数：
\(a\)が定数のとき \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt=f(x)\)
区分求積法と定積分
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)dx\)
ただし，\(\Delta x=\frac{b-a}{n}，x_k=a+k\Delta x\)
定積分と不等式：
区間[\(a，b\)]で連続な関数\(f(x)，g(x)\)について
\(f(x)\geq g(x)\) ならば \(\int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx\)
等号は，常に\(f(x)=g(x)\)のときに成り立つ
積分法の応用：
区間[\(a，b\)]で常に\(f(x)\geq 0\)とき，曲線\(y=f(x)\)と\(x\)軸および2直線\(x=a\)，\(x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(S=\int_a^b f(x) dx\)
逆に，区間[\(a，b\)]で常に\(f(x)\geq 0\)とき，
\(S=\int_a^b { -f(x) } dx\)
2曲線間の面積：
1 区間[\(a，b\)]で常に\(f(x)\geq g(x)\)とき，2つの曲線\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)および2直線\(x=a\)，\(x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(S=\int_a^b { f(x)-g(x) } dx\)
2 区間[\(c\leq y \leq d\)]で常に\(g(y)\geq 0\)とき，2つの曲線\(x=g(y)\)と\(y\)軸および2直線\(y=c\)，\(y=d\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(S=\int_c^d g(y) dy\)
いろいろな式で表される曲線と面積->
断面積\(S(x)\)と立体の体積\(V\)：
\(V=\int_a^bS(x)dx\) ただし，\(a<b\)
\(x\)軸の周りの回転体の体積：
\(V=\pi\int_a^b{ f(x) }^2 dx=\pi \int_a^b y^2 dx\) ただし，\(a<b\)
\(y\)軸の周りの回転体の体積：
\(V=\pi\int_a^b{ f(x) }^2 dx=\pi \int_a^b y^2 dx\) ただし，\(a<b\)
座標平面上を運動する点と道のり：
座標平面上を運動する点P(\(x，y\))の時刻\(t\)における\(x\)座標，\(y\)座標が\(t\)の関数で表せるとき，時刻\(t_1\)から\(t_2\)までにPが通過する道のり\(s\)は
\(s=\int_{t_1}^{t_2}| \vec{v} |dt=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt\)
媒介変数表示された曲線の長さ：
曲線\(x=f(t)\)，\(y=g(t)\) \(a\leq t \leq b\)の長さ\(L\)は
\(L=\int_a^b\sqrt{ ( \frac{dx}{dt} )^2+ ( \frac{dy}{dt} )^2} dt\)
曲線\(y=f(x)\)の長さ：
曲線\(y=f(x) (a\leq x \leq b)\)の長さ\(L\)は
\(L=\int_a^b \sqrt{1+ ( \frac{dy}{dx} )^2} dx\)
[affi id=17]
