数学

[数列]Vカット方式の大学入試問題解説

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小学校の時分,2階から飛び降りて,1週間ほど腰を抜かさなかったことがある。どうも,ユキです。今日は,また高校生から問題の質問を受けたので,質問に答えていこうと思います。

問題1

公差が2の等差数列\(a_n\)と,公比が3の等比数列\(b_n\)があります。この数列は,全ての自然数\(m,n\)に対して
$$a_m+a_n=a_{m+n}\tag{1}$$
$$b_mb_n=b_{m+n}\tag{2}$$
とするとき,以下の問に答えなさい。

(1) \(a_n\),\(b_n\)をそれぞれ求めなさい。

(2) \(a_n\)の初項から100項までの項の中から,\(b_n-1\)と等しい項を除いたものの和\(S\)を求めなさい。

(3) \(c_n=\frac{a_n-7}{2b_n}\)とするとき,\(c_n\)が最大となる\(n\)を求めなさい。

(4) \(d_n=p(n-1)+q\)とおけるとき,\(3d_n-d_{n+1}=2a_n\)を満たす\(p\),\(q\)を求めなさい。

(5) \(\sum_{k=1}^{9}\frac{2a_n}{b_n}\)を求めなさい。

問題1解答例

問題1(1)解答例

\(a_n\)について,\(m=n=1\)とすると,式(1)から

 

\(a_1+a_1=a_2=a_1+2\)

 

\(a_1=2\)

 

よって,\(a_n\)は,初項が2,公差が2の等差数列なので,

 

\(a_n=2n\)

 

\(b_n\)についても同様に,式(2)から,

 

\(b_1b_1=b_2=3b_1\)

 

\(b_1=3\)

 

\(b_n\)は,初項が3,公比が3の等比数列

 

\(b_n=3^n\)

<終>

問題1(2)解答例

問題を解く流れ

<1>まず,\(a_n\)を初項から100項までの和\(S_1\)を求めます。

<2>次に,\(b_x-1 \leq a_100\)の\(x\)を求めて,初項から第\(x\)項までの和\(S_2\)を求めます。

<3> 求める\(S\)は,\(S_1-S_2\)になります。

<1>

 

\(S_1=\sum_{n=1}^{100}a_n=\sum_{n=1}^{100}2n\)

 

ここで,自然数の和の公式\(\sum_{n=1}^{l}n=\frac{1}{2}l(l+1)\)を使うと,

 

\(S_1=\cancel{2}\frac{1}{\cancel{2}}100・101=10100\)

<終>

 

<2>

 

\(3^{x}-1\geq 200\)

 

すなわち,

 

\(x<5\)となります。

 

よって,\(S_2\)は,\(b_n\)を初項から4項まで足した数となり,

 

\(S_2=\sum_{n=1}^{4}3^n\)

 

ここで,等比数列の和の公式\(\sum_{n=1}^{l}a_1r=a_1\frac{r^l-1}{r-1}\)を使うと,

 

\(S_2=3\frac{3^4-1}{3-1}=3\frac{80}{2}=120\)

 

<終>

 

<3>\(S\)について,

 

\(S=S_1-S_2=10100-120=9980\)

 

<終>

問題1(3)解答例

 

\(c_n\)が最大となるのは,\(c_n-c_{n+1}\geq 0 \)

 

\(c_n-c_{n+1}=\frac{a_n-7}{2b_n}-\frac{a_{n+1}-7}{2b_{n+1}}\)

 

\(=\frac{2n-7}{3^{n}}-\frac{2n+2-7}{3^{n+1}}\geq 0\)

 

整理すると,

 

\(c_n-c_{n+1}=\frac{2n-8}{3^{n+1}}\geq 0\)

 

\(n \geq 3\)の時,\(c_n<c_{n+1} \), \(n=4\)のとき,\(c_n=c_{n+1}\),\(n\geq 5\)の時,\(c_n>c_{n+1}\)より,

\(c_n\)が最大となるのは,\(n=4\)または\(n=5\)のときになります。

 

<終>

問題1(4)解答例

\(3d_n=d_{n+1}=3(p(n-1)+q)-(p(n)+q)\)

 

\(=2pn-3p+2q=2a_n=4n\)

 

ここで,\(n\)について係数比較をすると,\(p\),\(q\)に成り立つ関係式は,

\(2p=4\)

\(-3p+2q=0\)

 

よって,\(p=2\),\(q=3\)となり,\(d_n=2(n-1)+3\)

 

<終>

問題1(5)解答例

\(3d_n-d_{n+1}=2a_n\)を利用

 

\(\sum_{k=1}^{9}\frac{2a_n}{3b_n}=\sum_{k=1}^{9}\frac{\underline{3d_n-d_{n+1}}}{3^n}\)

 

与式\(=\sum_{k=1}^{9}\frac{\underline{3d_n-d_{n+1}}}{3^n}=\sum_{k=1}^{9}\frac{d_n}{3^{n-1}}-\frac{d_{n+1}}{3^n}\)

 

数列の公式
\(\sum_{n=1}^{l}f(n)-f(n+1)=f(1)-f(l+1)\)

 

\(=\sum_{k=1}^{9}\underbrace{\frac{d_n}{3^{n-1}}}_{f(n)}-\underbrace{\frac{d_{n+1}}{3^n}}_{f(n+1)}=\underbrace{\frac{3}{1}}_{f(1)}-\underbrace{\frac{2(9)+3}{3^9}}_{f(10)}\)

 

\(=\frac{3^10}{3^9}-\frac{21}{3^9}=\frac{3^9}{3^8}-\frac{7}{3^8}\)

 

よって,

 

\(\sum_{k=1}^{9}\frac{2a_n}{3b_n}=\frac{3^9-7}{3^8}\)

<終>

まとめ

今日の公式

1.等差数列\(a_n\)の一般項
$$a_n=a_1+d(n-1)$$
2.等比数列\(b_n\)の一般項
$$b_n=b_1r^{n-1}$$
3.自然数の和の公式
$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$$
4.等比数列の和の公式
$$\sum_{k=1}^{n}b_1r^{n-1}=b_1\frac{r^n-1}{r-1}$$
5.数列の万能公式
$$\sum_{k=1}^{n}f(k+1)-f(k)=f(n+1)-f(1)$$

万能公式に関する記事はこちら->

[数列]たった1つ!?(万能公式)

関連問題へのリンク

https://cupuasu.club/tag/highschool-math/

 

最後に

大学入試問題の中で,大半の問題は,誘導がついています。数学が苦手な人は,この誘導を見落とす傾向があります。誘導を見つけて問題を素早く解く努力をしましょう。

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ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!