[数列]Vカット方式の大学入試問題解説

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小学校の時分，2階から飛び降りて，1週間ほど腰を抜かさなかったことがある。どうも，ユキです。今日は，また高校生から問題の質問を受けたので，質問に答えていこうと思います。

問題1

公差が2の等差数列$a_n$と，公比が3の等比数列$b_n$があります。この数列は，全ての自然数$m,n$に対して
$$a_m+a_n=a_{m+n}\tag{1}$$
$$b_mb_n=b_{m+n}\tag{2}$$
とするとき，以下の問に答えなさい。

(1) $a_n$，$b_n$をそれぞれ求めなさい。

(2) $a_n$の初項から100項までの項の中から，$b_n-1$と等しい項を除いたものの和$S$を求めなさい。

(3) $c_n=\frac{a_n-7}{2b_n}$とするとき，$c_n$が最大となる$n$を求めなさい。

(4) $d_n=p(n-1)+q$とおけるとき，$3d_n-d_{n+1}=2a_n$を満たす$p$，$q$を求めなさい。

(5) $\sum_{k=1}^{9}\frac{2a_n}{b_n}$を求めなさい。

問題1解答例

問題1(1)解答例

$a_n$について，$m=n=1$とすると，式(1)から

$a_1+a_1=a_2=a_1+2$

$a_1=2$

よって，$a_n$は，初項が2，公差が2の等差数列なので，

$a_n=2n$

$b_n$についても同様に，式(2)から，

$b_1b_1=b_2=3b_1$

$b_1=3$

$b_n$は，初項が3，公比が3の等比数列

$b_n=3^n$

<終>

問題1(2)解答例

問題を解く流れ

<1>まず，$a_n$を初項から100項までの和$S_1$を求めます。

<2>次に，$b_x-1 \leq a_100$の$x$を求めて，初項から第$x$項までの和$S_2$を求めます。

<3>　求める$S$は，$S_1-S_2$になります。

<1>

$S_1=\sum_{n=1}^{100}a_n=\sum_{n=1}^{100}2n$

ここで，自然数の和の公式$\sum_{n=1}^{l}n=\frac{1}{2}l(l+1)$を使うと，

$S_1=\cancel{2}\frac{1}{\cancel{2}}100・101=10100$

<終>

<2>

$3^{x}-1\geq 200$

すなわち，

$x<5$となります。

よって，$S_2$は，$b_n$を初項から4項まで足した数となり，

$S_2=\sum_{n=1}^{4}3^n$

ここで，等比数列の和の公式$\sum_{n=1}^{l}a_1r=a_1\frac{r^l-1}{r-1}$を使うと，

$S_2=3\frac{3^4-1}{3-1}=3\frac{80}{2}=120$

<終>

<3>$S$について，

$S=S_1-S_2=10100-120=9980$

<終>

問題1(3)解答例

$c_n$が最大となるのは，$c_n-c_{n+1}\geq 0 $

$c_n-c_{n+1}=\frac{a_n-7}{2b_n}-\frac{a_{n+1}-7}{2b_{n+1}}$

$=\frac{2n-7}{3^{n}}-\frac{2n+2-7}{3^{n+1}}\geq 0$

整理すると，

$c_n-c_{n+1}=\frac{2n-8}{3^{n+1}}\geq 0$

$n \geq 3$の時，$c_n<c_{n+1} $, $n=4$のとき，$c_n=c_{n+1}$，$n\geq 5$の時，$c_n>c_{n+1}$より，

$c_n$が最大となるのは，$n=4$または$n=5$のときになります。

<終>

問題1(4)解答例

$3d_n=d_{n+1}=3(p(n-1)+q)-(p(n)+q)$

$=2pn-3p+2q=2a_n=4n$

ここで，$n$について係数比較をすると，$p$，$q$に成り立つ関係式は，

$2p=4$

$-3p+2q=0$

よって，$p=2$，$q=3$となり，$d_n=2(n-1)+3$

<終>

問題1(5)解答例

$3d_n-d_{n+1}=2a_n$を利用

$\sum_{k=1}^{9}\frac{2a_n}{3b_n}=\sum_{k=1}^{9}\frac{\underline{3d_n-d_{n+1}}}{3^n}$

与式$=\sum_{k=1}^{9}\frac{\underline{3d_n-d_{n+1}}}{3^n}=\sum_{k=1}^{9}\frac{d_n}{3^{n-1}}-\frac{d_{n+1}}{3^n}$

数列の公式
$\sum_{n=1}^{l}f(n)-f(n+1)=f(1)-f(l+1)$

$=\sum_{k=1}^{9}\underbrace{\frac{d_n}{3^{n-1}}}_{f(n)}-\underbrace{\frac{d_{n+1}}{3^n}}_{f(n+1)}=\underbrace{\frac{3}{1}}_{f(1)}-\underbrace{\frac{2(9)+3}{3^9}}_{f(10)}$

$=\frac{3^10}{3^9}-\frac{21}{3^9}=\frac{3^9}{3^8}-\frac{7}{3^8}$

よって，

$\sum_{k=1}^{9}\frac{2a_n}{3b_n}=\frac{3^9-7}{3^8}$

<終>

まとめ

今日の公式

1．等差数列$a_n$の一般項
$$a_n=a_1+d(n-1)$$
2．等比数列$b_n$の一般項
$$b_n=b_1r^{n-1}$$
3．自然数の和の公式
$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$$
4．等比数列の和の公式
$$\sum_{k=1}^{n}b_1r^{n-1}=b_1\frac{r^n-1}{r-1}$$
5．数列の万能公式
$$\sum_{k=1}^{n}f(k+1)-f(k)=f(n+1)-f(1)$$

万能公式に関する記事はこちら->

[数列]たった1つ！？（万能公式）