大学数学

[大学数学]ベクトル線積分の例題

学の線積分の例題が欲しい?だったら,解答付きで渡します。どうも,ユキです。今日は,電磁気学,流体力学,力学などで用いられる大学数学,ベクトル線積分の例題を用意しました。この記事を通じて,ベクトル線積分の計算のやり方を身につけて欲しいです。

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1.電磁気学において,与えられた電界(電場)から電位を導くことが出来るようになります。

2.ベクトル線積分の解き方がわかるようになります。

3.電磁気学で必要な計算能力が身につきます。

電場と電位の関係はベクトル線積分?

高校物理の教科書では,電場(電界)と電位の関係は
$$V=Ed$$
とされています。

しかし,この定義では,一様な電界のときしか電位を出すことはできません。

そこで,電磁気学という分野でこの公式をパワーアップした公式がこちらになります。

電圧と電界の関係式

$$V_{A \to B}=-\int_{A}^{B}E・dr\tag{1}$$

です。

 

ということで,電界と電位の線績分を使った例題を2題用意しました。

ベクトル線積分:例題1

\(xy\)で表される座標平面上に,電界\(E=(y^2-2x)i_x+2xy i_y\)で与えられています。このとき,点\(O(0,0)\)と,\(B(2,2)\)の電位差\( V_{(0,0)\to (2,2)}\)を
(1) 経路\(c_2\)に従って計算しましょう。
(2) 経路\(c_1\)に従って計算しましょう。
(3) この系の電荷に働く力は,保存場でしょうか?

 

例題1(1)解答例

電位差\( V_{(0,0)\to (2,2)}\)について,

 

\( V_{(0,0)\to (2,2)}=-\int_{(0,0)}^{(2,2)}E・dr\)

 

\( V_{(0,0)\to (2,2)}\)をもとめたいので,下準備をします。

<準備>

 

\(xy\)平面におけるベクトル\(r\)について,

 

\(r=xi_x+yi_y\tag{1}\)

\(r\)は経路\(c_2\)上にあり,\(r\)を\(t\)\((0\leq t\leq1)\)を用いて表します。

 

\(c_2\):\(r(t)=2ti_x+2ti_y\tag{2}\)

 

\(\frac{dr(t)}{dt}=2i_x+2i_y\)

 

続いて,\(E\)を\(t\)を用いて表します。(1)=(2)から,\(x=2t\),\(y=2t\)となるので,

 

\(E(t)=((2t)^2-2(2t))i_x+(2(2t)(2t))i_y=(4t^2-4t)i_x+8t^2i_y\)

<準備完了>

ここで,\( V_{(0,0)\to (2,2)}\)について,

 

\(V_{(0,0)\to (2,2)}=-\int_{(0,0)}^{(2,2)}E・dr=-\int_{0}^{1}E(t)・\frac{dr(t)}{dt}dt\)

 

と変形できますから,<準備>で求めた\(E(t)\)と\(\frac{dr}{dt}\)を代入します。

 

\( V_{(0,0)\to (2,2)}=-\int_{0}^{1}{(4t^2-4t)i_x+8t^2i_y}・(2i_x+2i_y)dt\)

 

ここで,\(i_x・i_x=i_y・i_y=1\),\(i_y・i_x=i_x・i_y=0\)より,

 

\( V_{(0,0)\to (2,2)}=-\int_{0}^{1}(8t^2-8t)+16t^2\)

 

\( V_{(0,0)\to (2,2)}=-\int_{0}^{1}24t^2-8t\)

 

\( V_{(0,0)\to (2,2)}=-[8t^3-4t^2]_{0}^{1}=-[8-4]=-4\)V

 

<終>

例題1(2)解答例

電位差\( V_{(0,0)\to (2,2)}\)について,

 

(1) \( V_{(0,0)\to (2,0)}\)について,

 

\( V_{(0,0)\to (2,0)}=-\int_{(0,0)}^{(2,0)}E・dr\)

 

\( V_{(0,0)\to (2,0)}\)をもとめたいので,下準備をします。

<準備>

\((0,0)\to (2,0)\)間の位置ベクトルは,\(t(0 \leq t \leq 1)\)を用いて,

 

\(r(t)=xi_x+yi_y=2ti_x\)

 

\(\frac{dr(t)}{dt}=2i_x\)

 

続いて,\(E\)を\(t\)を用いて表します。\(x=2t\),\(y=0\)より,

 

\(E(t)=(0-2(2t))i_x+(2(2t)(0))i_y=-4ti_x\)

<準備完了>

 

ここで,\( V_{(0,0)\to (2,0)}\)について,

 

\(V_{(0,0)\to (2,0)}=-\int_{(0,0)}^{(2,0)}E・dr=-\int_{0}^{1}E(t)・\frac{dr(t)}{dt}dt\)

 

と変形できますから,<準備>で求めた\(E(t)\)と\(\frac{dr}{dt}\)を代入します。

\( V_{(0,0)\to (2,0)}=-\int_{0}^{1}{-4ti_x}・(2i_x)dt\)

 

ここで,\(i_x・i_x=1\)より,

 

\( V_{(0,0)\to (2,0)}=-\int_{0}^{1}-8tdt\)

 

\( V_{(0,0)\to (2,0)}=-[-4t^2]_{0}^{1}=-[-4]=4\)V

 

<終>

(2) \( V_{(2,0)\to (2,2)}\)について,

 

\( V_{(2,0)\to (2,2)}=-\int_{(2,0)}^{(2,2)}E・dr\)

 

\( V_{(2,0)\to (2,2)}\)をもとめたいので,下準備をします。

<準備>

 

\((2,0)\to (2,2)\)間の位置ベクトルは,\(t(0 \leq t \leq 1)\)を用いて,

 

\(r(t)=xi_x+yi_y=2i_x+2ti_y\)

 

\(\frac{dr(t)}{dt}=2i_y\)

 

続いて,\(E\)を\(t\)を用いて表します。\(x=2\),\(y=2t\)より,

 

\(E(t)=((2t)^2-2(2))i_x+(2(2t)(2))i_y=(4t^2-4)i_x+8t\)

 

<準備完了>

 

ここで,\( V_{(2,0)\to (2,2)}\)について,

 

\(V_{(2,0)\to (2,2)}=-\int_{(2,0)}^{(2,2)}E・dr=-\int_{0}^{1}E(t)・\frac{dr(t)}{dt}dt\)

 

と変形できますから,<準備>で求めた\(E(t)\)と\(\frac{dr}{dt}\)を代入します。

 

\( V_{(2,0)\to (2,2)}=-\int_{0}^{1}{(4t^2-4)i_x+8ti_y}・(2i_y)dt\)

 

ここで,\(i_x・i_x=i_y・i_y=1\),\(i_x・i_y=i_y・i_x=0\)より,

 

\( V_{(2,0)\to (2,2)}=-\int_{0}^{1}16t dt\)

 

\( V_{(2,0)\to (2,2)}=-[8t^2]_{0}^{1}=-[8]=-8\)V

 

<終>

(1),(2)より,\(V_{(0,0)\to (2,2)}\)は,

 

\(V_{(0,0)\to(2,2)}=V_{(0,0)\to (2,0)}+V_{(2,0)\to (2,2)}=4-8=-4\)V

例題1(3)解答例

経路\(c_1\)で計算した電位差は,-4V
経路\(c_2\)で計算した電位差は,-4V
よって,保存場
<終>

ベクトル線積分:例題2

\(xy\)で表される座標平面上に,電界\(E=(x-4y)i_x-4 i_y\)[V/m]で与えられています。このとき,点\(O(0,0)\)と,\(B(2,1)\)の電位差\( V_{(0,0)\to (2,1)}\)
(1) 経路\(c_1\)に従って計算しましょう。
(2) 経路\(c_2\)に従って計算しましょう。
(3) この系の電荷に働く力は,保存場でしょうか。

例題2(1)解答例

\( V_{(0,0)\to (2,1)}\)について,

 

\( V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{(0,0)}^{(2,1)}E・dr\)

 

\( V_{(0,0)\to (2,1)}\)をもとめたいので,下準備をします。

<準備>

経路\(c_1\)は,\(y=\frac{x^2}{4}\)が成立している。\((0,0)\to (2,1)\)間の位置ベクトルは,\(t(0 \leq t \leq 1)\)を用いて,

 

\(c_1\):\(r(t)=xi_x+\frac{x^2}{4}i_y=2ti_x+t^2i_y\)

 

\(\frac{dr(t)}{dt}=2i_x+2ti_y\)

 

続いて,\(E\)を\(t\)を用いて表します。\(x=2t\),\(y=t^2\)より,

 

\(E(t)=(2t-4t^2)i_x-8t i_y=(4t^2-4)i_x-8ti_y\)

 

<準備完了>

ここで,\( V_{(0,0)\to (2,1)}\)について,

 

\(V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{(0,0)}^{(2,1)}E・dr=-\int_{0}^{1}E(t)・\frac{dr(t)}{dt}dt\)

 

と変形できますから,<準備>で求めた\(E(t)\)と\(\frac{dr}{dt}\)を代入します。

 

\( V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{0}^{1}{(2t-4t^2)i_x-8ti_y}・(2i_x+2ti_y)dt\)

 

ここで,\(i_x・i_x=i_y・i_y=1\),\(i_x・i_y=i_y・i_x=0\)より,

 

\( V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{0}^{1}(4t-8t^2)-16t^2 dt\)

 

\(V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{0}^{1}(4t-24t^2)dt\)

 

\( V_{(0,0)\to (2,1)}=-[2t^2-8t^3]_{0}^{1}=-[-6]=6\)V

例題2(2)解答例

 

\( V_{(0,0)\to (2,1)}\)について,

 

\( V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{(0,0)}^{(2,1)}E・dr\)

 

\( V_{(0,0)\to (2,1)}\)をもとめたいので,下準備をします。

<準備>

経路\(c_2\)は,\(y={x}{2}\)が成立している。\((0,0)\to (2,1)\)間の位置ベクトルは,\(t(0 \leq t \leq 1)\)を用いて,

 

\(c_1\):\(r(t)=xi_x+\frac{x}{2}i_y=2ti_x+ti_y\)

\(\frac{dr(t)}{dt}=2i_x+i_y\)

 

続いて,\(E\)を\(t\)を用いて表します。\(x=2t\),\(y=t\)より,

 

\(E(t)=(2t-4t)i_x-8t i_y=(2t-4t)i_x-8t i_y\)

 

<準備完了>

 

ここで,\( V_{(0,0)\to (2,1)}\)について,

 

\(V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{(0,0)}^{(2,1)}E・dr=-\int_{0}^{1}E(t)・\frac{dr(t)}{dt}dt\)

 

と変形できますから,<準備>で求めた\(E(t)\)と\(\frac{dr}{dt}\)を代入します。

 

\( V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{0}^{1}{(2t-4t)i_x-8ti_y}・(2i_x+i_y)dt\)

 

ここで,\(i_x・i_x=i_y・i_y=1\),\(i_x・i_y=i_y・i_x=0\)より,

 

\( V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{0}^{1}(4t-8t)-8t dt\)

 

\(V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{0}^{1}-12t dt\)

 

\( V_{(0,0)\to (2,1)}=[6t^2]_{0}^{1}=6\)V

例題2(3)解答例

経路\(c_1\)で計算した電位差は,6V
経路\(c_2\)で計算した電位差は,6V
よって,保存場。

ベクトル線積分を使って保存場判別

 

保存場とは,エネルギー保存則が成立しているベクトル場のことをいいます。

具体例を出すと,電場(電界)と重力場です。

電界\(E\)が保存場であるということを数式で表すと,

$$\oint_{C}E・dr=0\tag{2}$$

となります。

例題1や例題2は,式(2)を満たしているのでしょうか?

\(\oint_{C}E・dr=\oint_{c_1 -c_2}E・dr=\oint_{c_1}E・dr-\oint_{c_2}E・dr\)

(1) 例題1の場合,

\(\oint_{c_1}E・dr-\oint_{c_2}E・dr =-4+4=0\)

(2) 例題2の場合

\(\oint_{c_1}E・dr-\oint_{c_2}E・dr =6-6=0\)

これで,例題1,例題2の電界は,確かに式(2)を満たすことがわかりました。

でも,実は,もっと簡単に保存場であることを確かめる方法があります。

保存場であれば,以下の式(3)は成立します。

$$∇\times E=0\tag{3}$$

\(∇\times E\)が0かどうかを計算するだけで,保存場かどうかを判別することが可能です。

式(3)は,式(2)の微分形です。逆に,式(2)は,式(3)の積分形と呼ばれています。

ベクトル線積分:まとめ

今日のまとめ

1.直交座標の位置ベクトル\(r\)は,大きさ1の単位ベクトル\(i_x,i_y,i_z\)を用いて,
$$r=xi_x+yi_y+zi_z$$

と表せる。

 

2.同じ方向を向いた単位ベクトルの内積は1
$$i_x・i_x=|i_x|^2=1$$
$$i_y・i_y=|i_y|^2=1$$

3.直交する単位ベクトルの内積は0
$$i_x・i_y=i_y・i_x=0$$

4.ベクトル線積分の置換積分
\(0 \leq t\leq 1\)とすると,

$$\int_{A}^{B}E・dr=\int_{0}^{1}E(t)・\frac{dr}{dt}dt$$
と置き換え可能。

 

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[電磁気学]電界と電位電磁気学初心者の勉強を足止めする記事となっております。電界と電位についてのざっくりとした説明と,例題を載せています。実は,電位は電界のベクトル戦績分で,電界は,電位の勾配で表されます。...

最後に

ベクトル線積分の記事は,途中計算が長くなるので,誰も書かない傾向にあるけれど,
電磁気学を本気で理解する為には,簡単なベクトル線積分くらいはできて置かねばならないと思い,執筆に至りました。私の悪い癖です。

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ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!