[大学数学]ベクトル線積分の例題

大学の線積分の例題が欲しい？だったら，解答付きで渡します。どうも，ユキです。今日は，電磁気学，流体力学，力学などで用いられる大学数学，ベクトル線積分の例題を用意しました。この記事を通じて，ベクトル線積分の計算のやり方を身につけて欲しいです。

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1．電磁気学において，与えられた電界(電場)から電位を導くことが出来るようになります。

2．ベクトル線積分の解き方がわかるようになります。

3．電磁気学で必要な計算能力が身につきます。

電場と電位の関係はベクトル線積分？

高校物理の教科書では，電場(電界)と電位の関係は
$$V=Ed$$
とされています。

しかし，この定義では，一様な電界のときしか電位を出すことはできません。

そこで，電磁気学という分野でこの公式をパワーアップした公式がこちらになります。

電圧と電界の関係式

$$V_{A \to B}=-\int_{A}^{B}E・dr\tag{1}$$

です。

ということで，電界と電位の線績分を使った例題を2題用意しました。

ベクトル線積分：例題1

$xy$で表される座標平面上に，電界$E=(y^2-2x)i_x+2xy i_y$で与えられています。このとき，点$O(0,0)$と，$B(2,2)$の電位差$ V_{(0,0)\to (2,2)}$を
(1) 経路$c_2$に従って計算しましょう。
(2) 経路$c_1$に従って計算しましょう。
(3) この系の電荷に働く力は，保存場でしょうか？

例題1(1)解答例

電位差$ V_{(0,0)\to (2,2)}$について，

$ V_{(0,0)\to (2,2)}=-\int_{(0,0)}^{(2,2)}E・dr$

$ V_{(0,0)\to (2,2)}$をもとめたいので，下準備をします。

<準備>

$xy$平面におけるベクトル$r$について，

$r=xi_x+yi_y\tag{1}$

$r$は経路$c_2$上にあり，$r$を$t$$(0\leq t\leq1)$を用いて表します。

$c_2$：$r(t)=2ti_x+2ti_y\tag{2}$

$\frac{dr(t)}{dt}=2i_x+2i_y$

続いて，$E$を$t$を用いて表します。(1)=(2)から，$x=2t$，$y=2t$となるので，

$E(t)=((2t)^2-2(2t))i_x+(2(2t)(2t))i_y=(4t^2-4t)i_x+8t^2i_y$

<準備完了>

ここで，$ V_{(0,0)\to (2,2)}$について，

$V_{(0,0)\to (2,2)}=-\int_{(0,0)}^{(2,2)}E・dr=-\int_{0}^{1}E(t)・\frac{dr(t)}{dt}dt$

と変形できますから，<準備>で求めた$E(t)$と$\frac{dr}{dt}$を代入します。

$ V_{(0,0)\to (2,2)}=-\int_{0}^{1}{(4t^2-4t)i_x+8t^2i_y}・(2i_x+2i_y)dt$

ここで，$i_x・i_x=i_y・i_y=1$，$i_y・i_x=i_x・i_y=0$より，

$ V_{(0,0)\to (2,2)}=-\int_{0}^{1}(8t^2-8t)+16t^2$

$ V_{(0,0)\to (2,2)}=-\int_{0}^{1}24t^2-8t$

$ V_{(0,0)\to (2,2)}=-[8t^3-4t^2]_{0}^{1}=-[8-4]=-4$V

<終>

例題1(2)解答例

電位差$ V_{(0,0)\to (2,2)}$について，

(1) $ V_{(0,0)\to (2,0)}$について，

$ V_{(0,0)\to (2,0)}=-\int_{(0,0)}^{(2,0)}E・dr$

$ V_{(0,0)\to (2,0)}$をもとめたいので，下準備をします。

<準備>

$(0,0)\to (2,0)$間の位置ベクトルは，$t(0 \leq t \leq 1)$を用いて，

$r(t)=xi_x+yi_y=2ti_x$

$\frac{dr(t)}{dt}=2i_x$

続いて，$E$を$t$を用いて表します。$x=2t$，$y=0$より，

$E(t)=(0-2(2t))i_x+(2(2t)(0))i_y=-4ti_x$

<準備完了>

ここで，$ V_{(0,0)\to (2,0)}$について，

$V_{(0,0)\to (2,0)}=-\int_{(0,0)}^{(2,0)}E・dr=-\int_{0}^{1}E(t)・\frac{dr(t)}{dt}dt$

と変形できますから，<準備>で求めた$E(t)$と$\frac{dr}{dt}$を代入します。

$ V_{(0,0)\to (2,0)}=-\int_{0}^{1}{-4ti_x}・(2i_x)dt$

ここで，$i_x・i_x=1$より，

$ V_{(0,0)\to (2,0)}=-\int_{0}^{1}-8tdt$

$ V_{(0,0)\to (2,0)}=-[-4t^2]_{0}^{1}=-[-4]=4$V

<終>

(2) $ V_{(2,0)\to (2,2)}$について，

$ V_{(2,0)\to (2,2)}=-\int_{(2,0)}^{(2,2)}E・dr$

$ V_{(2,0)\to (2,2)}$をもとめたいので，下準備をします。

<準備>

$(2,0)\to (2,2)$間の位置ベクトルは，$t(0 \leq t \leq 1)$を用いて，

$r(t)=xi_x+yi_y=2i_x+2ti_y$

$\frac{dr(t)}{dt}=2i_y$

続いて，$E$を$t$を用いて表します。$x=2$，$y=2t$より，

$E(t)=((2t)^2-2(2))i_x+(2(2t)(2))i_y=(4t^2-4)i_x+8t$

<準備完了>

ここで，$ V_{(2,0)\to (2,2)}$について，

$V_{(2,0)\to (2,2)}=-\int_{(2,0)}^{(2,2)}E・dr=-\int_{0}^{1}E(t)・\frac{dr(t)}{dt}dt$

と変形できますから，<準備>で求めた$E(t)$と$\frac{dr}{dt}$を代入します。

$ V_{(2,0)\to (2,2)}=-\int_{0}^{1}{(4t^2-4)i_x+8ti_y}・(2i_y)dt$

ここで，$i_x・i_x=i_y・i_y=1$，$i_x・i_y=i_y・i_x=0$より，

$ V_{(2,0)\to (2,2)}=-\int_{0}^{1}16t dt$

$ V_{(2,0)\to (2,2)}=-[8t^2]_{0}^{1}=-[8]=-8$V

<終>

(1)，(2)より，$V_{(0,0)\to (2,2)}$は，

$V_{(0,0)\to(2,2)}=V_{(0,0)\to (2,0)}+V_{(2,0)\to (2,2)}=4-8=-4$V

例題1(3)解答例

経路$c_1$で計算した電位差は，-4V
経路$c_2$で計算した電位差は，-4V
よって，保存場
<終>

ベクトル線積分：例題2

$xy$で表される座標平面上に，電界$E=(x-4y)i_x-4 i_y$[V/m]で与えられています。このとき，点$O(0,0)$と，$B(2,1)$の電位差$ V_{(0,0)\to (2,1)}$を
(1) 経路$c_1$に従って計算しましょう。
(2) 経路$c_2$に従って計算しましょう。
(3) この系の電荷に働く力は，保存場でしょうか。

例題2(1)解答例

$ V_{(0,0)\to (2,1)}$について，

$ V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{(0,0)}^{(2,1)}E・dr$

$ V_{(0,0)\to (2,1)}$をもとめたいので，下準備をします。

<準備>

経路$c_1$は，$y=\frac{x^2}{4}$が成立している。$(0,0)\to (2,1)$間の位置ベクトルは，$t(0 \leq t \leq 1)$を用いて，

$c_1$：$r(t)=xi_x+\frac{x^2}{4}i_y=2ti_x+t^2i_y$

$\frac{dr(t)}{dt}=2i_x+2ti_y$

続いて，$E$を$t$を用いて表します。$x=2t$，$y=t^2$より，

$E(t)=(2t-4t^2)i_x-8t i_y=(4t^2-4)i_x-8ti_y$

<準備完了>

ここで，$ V_{(0,0)\to (2,1)}$について，

$V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{(0,0)}^{(2,1)}E・dr=-\int_{0}^{1}E(t)・\frac{dr(t)}{dt}dt$

と変形できますから，<準備>で求めた$E(t)$と$\frac{dr}{dt}$を代入します。

$ V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{0}^{1}{(2t-4t^2)i_x-8ti_y}・(2i_x+2ti_y)dt$

ここで，$i_x・i_x=i_y・i_y=1$，$i_x・i_y=i_y・i_x=0$より，

$ V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{0}^{1}(4t-8t^2)-16t^2 dt$

$V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{0}^{1}(4t-24t^2)dt$

$ V_{(0,0)\to (2,1)}=-[2t^2-8t^3]_{0}^{1}=-[-6]=6$V

例題2(2)解答例

$ V_{(0,0)\to (2,1)}$について，

$ V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{(0,0)}^{(2,1)}E・dr$

$ V_{(0,0)\to (2,1)}$をもとめたいので，下準備をします。

<準備>

経路$c_2$は，$y={x}{2}$が成立している。$(0,0)\to (2,1)$間の位置ベクトルは，$t(0 \leq t \leq 1)$を用いて，

$c_1$：$r(t)=xi_x+\frac{x}{2}i_y=2ti_x+ti_y$

$\frac{dr(t)}{dt}=2i_x+i_y$

続いて，$E$を$t$を用いて表します。$x=2t$，$y=t$より，

$E(t)=(2t-4t)i_x-8t i_y=(2t-4t)i_x-8t i_y$

<準備完了>

ここで，$ V_{(0,0)\to (2,1)}$について，

$V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{(0,0)}^{(2,1)}E・dr=-\int_{0}^{1}E(t)・\frac{dr(t)}{dt}dt$

と変形できますから，<準備>で求めた$E(t)$と$\frac{dr}{dt}$を代入します。

$ V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{0}^{1}{(2t-4t)i_x-8ti_y}・(2i_x+i_y)dt$

ここで，$i_x・i_x=i_y・i_y=1$，$i_x・i_y=i_y・i_x=0$より，

$ V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{0}^{1}(4t-8t)-8t dt$

$V_{(0,0)\to (2,1)}=-\int_{0}^{1}-12t dt$

$ V_{(0,0)\to (2,1)}=[6t^2]_{0}^{1}=6$V

例題2(3)解答例

経路$c_1$で計算した電位差は，6V
経路$c_2$で計算した電位差は，6V
よって，保存場。

ベクトル線積分を使って保存場判別

保存場とは，エネルギー保存則が成立しているベクトル場のことをいいます。

具体例を出すと，電場(電界)と重力場です。

電界$E$が保存場であるということを数式で表すと，

$$\oint_{C}E・dr=0\tag{2}$$

となります。

例題１や例題２は，式(2)を満たしているのでしょうか？

$\oint_{C}E・dr=\oint_{c_1 -c_2}E・dr=\oint_{c_1}E・dr-\oint_{c_2}E・dr$

(1) 例題1の場合，

$\oint_{c_1}E・dr-\oint_{c_2}E・dr =-4+4=0$

(2) 例題２の場合

$\oint_{c_1}E・dr-\oint_{c_2}E・dr =6-6=0$

これで，例題１，例題2の電界は，確かに式(2)を満たすことがわかりました。

でも，実は，もっと簡単に保存場であることを確かめる方法があります。

保存場であれば，以下の式(3)は成立します。

$$∇\times E=0\tag{3}$$

$∇\times E$が０かどうかを計算するだけで，保存場かどうかを判別することが可能です。

式(3)は，式(2)の微分形です。逆に，式(2)は，式(3)の積分形と呼ばれています。

ベクトル線積分：まとめ

今日のまとめ

1．直交座標の位置ベクトル$r$は，大きさ1の単位ベクトル$i_x，i_y，i_z$を用いて，
$$r=xi_x+yi_y+zi_z$$

と表せる。

2．同じ方向を向いた単位ベクトルの内積は1
$$i_x・i_x=|i_x|^2=1$$
$$i_y・i_y=|i_y|^2=1$$

3．直交する単位ベクトルの内積は0
$$i_x・i_y=i_y・i_x=0$$

4．ベクトル線積分の置換積分
$0 \leq t\leq 1$とすると，

$$\int_{A}^{B}E・dr=\int_{0}^{1}E(t)・\frac{dr}{dt}dt$$
と置き換え可能。

最後に

ベクトル線積分の記事は，途中計算が長くなるので，誰も書かない傾向にあるけれど，
電磁気学を本気で理解する為には，簡単なベクトル線積分くらいはできて置かねばならないと思い，執筆に至りました。私の悪い癖です。

電磁気学

[大学数学]ベクトル線積分の例題

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