大学数学

[電磁気学]電気力線とガウスの法則[例題付き]

$$\require{\cancel}$$

ユキ
ユキ
電気力線の気持ちを知りたい。どうも,ユキです。電験の為の電磁気学ということで,電気力線という概念と,ガウスの法則についてのお話です。

この記事を読むメリット

☑電磁気学に出てくる電界に関する公式をすんなり覚えるための知識を身につけることができる
☑電界に関するガウスの法則を図と例題を通して理解できる

前回の記事を読んでいない方は,電界(電場)\(E\)を求める公式だけでも,確認しておいてください。

[電磁気学]電界(電場)と電界の重ね合わせ[例題付き] $$\require{\cancel}$$ 電界\(E\)の定義 原点に電荷\(Q_1\)を置いたときの点\((x,y,...

ガウスの法則:電気力線

電気力線は,下図のように電界\(E\)を表す矢印のことです。

電気力線の性質:
1. 正電荷から出て負電荷に入る
2. 電気力線は,互いに交差しない

1番目の性質は,図1.のような状況を考えると間違っているように見えます。

図1.\(Q\)の電気力線

 

図1.のような状態だと,負の電荷がないから,電気力線は伸びていかないのでは?と思う人がいるかもしれません。

 

実は,図1.には負の電荷はあります!

 

電磁気学的考え方によると,図2のように,無限遠点に\(-Q\)の電荷をばらまかれていると仮定することで,正電荷の電気力線が同心円状に伸びていくことに納得がいきます。

図2.\(Q\)を無限遠点で取り囲む負の電荷群

電気力線の数え方

図3.面Sから出る電気力線の数え方

電気力線の本数を\(N\)は,
$$N=E・nS=E\cos \theta S\tag{1}$$
という風に数えます。

\(n\)は面\(S\)に垂直な単位ベクトルです。

\(E・n\)は,\(E\)と\(n\)との内積をとっているので,

\(E・n=|E|cos\theta\)

と表せることがわかります。

ここで,\(E・n\)の意味についてもう少し深く考えましょう。

結論から言うと,\(E・n\)は,面を通る\(E\)を数え,面を通らない\(E\)を数えないことを意味します。

例えば,\(E\)と\(n\)のなす角が\(\frac{\pi}{2}\)の場合は下の図のようになり,

図3.面\(S\)と電界\(E\)が平行

電気力線は,面\(S\)を通過しません。式で書くと,

\(E・n=|E|cos \frac{\pi}{2}=0\)

では,\(E\)と\(n\)なす角が\(\pi\)のときは,どうでしょうか?

図4.面\(S\)と電界\(E\)が垂直

この場合は,面の内側からは電気力線は出ていきませんが,面の外側から電荷が入り込むので,

\(E・n=|E|\cos \pi=-|E|\)

となります。

このように,\(E・n\)は,面を通る電気力線\(E\)だけを数える性質があります。

 

教授様様のありがたいご指摘を逃れる為の\(S\)を通る電気力線の本数\(N\)

$$N=\oint_{S}E・ndS\tag{2}$$

式(2)のような積分は通常,ベクトル面積分と呼ばれます。

実は,式(1)では,電気力線の本数\(N\)を数えるには不完全でして,

 

下の図のように,面\(S\)の場所ごとに電気力線の本数が違う場合は式(1)では,電気力線の本数を正しく数えきれない人が続出します。だから,式(2)で,電気力線の本数を正しく定義してあげたというわけです。

図5.左と右で電気力線の本数が違う例

ガウスの法則:例題1

 

例題1:
下の図のような状況を仮定します。この時,\(Q\)[C]の電荷を取り囲む半径\(r\)の球面から,\(\frac{Q}{\varepsilon}\)本の電気力線が出ていくことを示しましょう。ただし,電荷内部の誘電率は,\(\varepsilon\)とします。

例題1解答:

式(1)から\(N\)は,

$$N=E\cos \theta S$$

です。ここで,面Sに垂直なベクトル\(n\)と電界ベクトル\(E\)は平行なので,\(N\)は,

$$N=ES$$

と書き換えられます。

ここで,電界\(E\)と面Sの表面積\(S\)について,以下の等式が成り立ちます。

\(E=\frac{Q}{4\pi \varepsilon r^2}\)

\(S=4\pi r^2\)

この2式を\(N\)の式に代入すると,\(N\)は,

\(N=ES=\frac{Q}{\cancel{4\pi}\varepsilon \cancel{r^2}}\cancel{4\pi r^2}=\frac{Q}{\varepsilon}\)

よって,電気力線の本数は\(\frac{Q}{\varepsilon}\)本になります。
<終>

電界(電場)のガウスの法則

点電荷が1つの場合のガウスの法則

ガウスの法則は,次式で表されます。

 

$$N=\oint_{S}E・ndS=\frac{Q}{\varepsilon}\tag{3}$$

\(S\)は電荷を囲む任意の閉曲面(以降ガウス面と呼びます)

 

 

式(3)からガウスの法則は,2つのことを主張しています。


1.\(Q\)[C]の電荷から出る電気力線の本数は,\(\frac{Q}{\varepsilon}\)本

2.0[C]の電荷から出る電気力線の本数は,0本

 

2番目の主張は,1番目の主張から容易に導かれますが,

2番目の主張はとても大事です。

ガウスの法則:証明

1個の電荷を含む任意の閉曲面から外に出る電気力線の本数\(N\)が本当に\(\frac{Q}{\varepsilon}\)なのか確かめます。

例えば,例題1のように,\(Q\)[C]の電荷を覆う球状のガウス面を取ります。

 

このとき,ガウス面から出る電気力線の本数\(N_1\)は,\(\frac{Q}{\varepsilon}\)本です。

\(N_1=\frac{Q}{\varepsilon}\)

次に,下の図のようにガウス面を取りましょう。

そうすると,ガウス面内には,0[C]の電荷があるので,電気力線は,吸い込まれたり吐き出されたりしません。

よって,ガウス面から出る電気力線の本数\(N_2\)は,\(0\)本です。

\(N_2=0\)

そうすると,\(N_1+N_2\)は,電荷を含む任意の閉曲面から外に出る電気力線の本数\(N\)と一致します。

\(N=N_1+N_2=\frac{Q}{\varepsilon}\)
<終>

\(N\)の電荷に関するガウスの法則

今度は,誘電率\(\varepsilon\)の領域内に\(M\)個の電荷を用意します。

下の図のように,\(M\)個の電荷のうち,\(N\)個の電荷をガウス面でくくります。

このとき,ガウス面から出て行く電気力線の本数\(N\)は,

$$N=\oint_{S}E・ndS=\sum_{i=1}^{N}\frac{Q_i}{\varepsilon}\tag{4}$$

となります。この式は,電荷が,電気力線を吐き出したり吸い込んだりする穴のようなものであるということを暗に示しています。

ガウスの法則:例題2

誘電率\(\varepsilon\)のある閉曲面内に10μC,2μC,-12μCの3個の点電荷を置き,閉曲面の外に5μCの電荷が置かれているとき,この閉曲面から出て行く電気力線の本数\(N\)を求めましょう。

例題2解答:

電界に関するガウスの法則から
\(N=\frac{(10+2-12)\times 10^{^6}}{\varepsilon}=0\)本

ガウスの法則の関連問題

電験2種

電験3種

円筒導体の静電容量

前回の記事

[電磁気学]電界(電場)と電界の重ね合わせ[例題付き] $$\require{\cancel}$$ 電界\(E\)の定義 原点に電荷\(Q_1\)を置いたときの点\((x,y,...

次回の記事

[電磁気学]電界と電位電磁気学初心者の勉強を足止めする記事となっております。電界と電位についてのざっくりとした説明と,例題を載せています。実は,電位は電界のベクトル戦績分で,電界は,電位の勾配で表されます。...

次回の記事にベクトル線積分が登場しますので,補足事項として->

[大学数学]ベクトル線積分の例題ベクトル線積分は、大学数学の1つ「ベクトル解析」という科目で登場します。そこで、弊記事で、ベクトル線積分についての例題を取り上げます。ベクトル解析は、大学の物理学を理解する為に必要な学問なので勉強しておいた方が良いと思います。...

ガウスの法則のまとめ

まとめ

電界を求める式
$$|E|=\frac{Q}{4\pi \epsilon |r-r’|^3}(r-r’)$$
電界に関するガウスの法則
$$\oint_{S}E・ndS=\frac{1}{\varepsilon}\sum_{i=1}^{N}Q_{i}$$

点電荷は,電気力線を吐き出したり吸い込んだりする穴のようなもの

 

最後に

先日Twitterにて,私が勉強の際に利用しているサイトの運営者,電気の神髄の「摺り足の加藤」さんと,電験王の「たけちゃん」さんのお二方に初めて返信をいただいたこともあって,テンション爆上がりしていました。これからも引き続き頑張ろうと思った1日でした。

ABOUT ME
ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!