大学数学

[電磁気学]電界と電位

ユキ
ユキ
ベクトル線積分は,電磁気学の鬼門。どうも,ユキです。今日は,電位,電位差の話をします。

この記事を読むメリット

☑電位の定義を電磁気学的に理解できます。
☑あわよくば,ベクトル線積分が出来るようになります。

電位差と電位の定義

仕事の定義を思いだそう

電位について考える前に,電界中で,\(B\)から\(A\)まで電荷を運ぶときの仕事について考えます。

 

$$仕事=受ける力×距離×\cos \theta [Nm]$$
でした。

 

加える力を\(F’\),受ける力(重力など)を\(F\)と置き,進む方向を表すベクトルを\(dr\)とすると,

 

$$W_{BA}=\int_{A}^{B}F’・dr$$

図1.重力による位置エネルギー

 

補足:\(F’・dr\)は,\(F’\cos \theta d|r|\)と表すことも出来ますが,\(\theta\)を定義するのが面倒なので,\(F’・dr\)のように内積で表すことが普通です。

 

図より,\(F’=-F\)なので,\(W_{BA}\)は,

 

$$W_{BA}=-\int_{A}^{B}F・dr\tag{1}$$
\(F\):受ける力(重力など)
\(dr\):運ぶ向きを表す微小な位置ベクトル

電位と電位差の定義とその違い

 

ようやく本題に入ります。

 

電位差\(\phi_{BA}\)は,次式で表されます。

 

$$\phi_{BA}=-\int_{A}^{B}E・dr\tag{2}$$

図2.\(\phi_B\)から見た\(\phi_A\)

む,この式はどこかで見覚えがありますね!

 

式(2)の両辺に電荷\(Q\)をかけると,

 

$$Q\phi_{BA}=-\int_{A}^{B}QE・dr$$

 

\(W_{BA}=Q\phi_{BA}\),\(F=QE\)から,

 

$$W_{BA}=-\int_{A}^{B}F・dr$$

 

となって式(1)と一致します。

 

電位\(phi\)の定義は,

$$\phi=-\int_{\infty}^{B}E・dr\tag{3}$$

 

電位は,電界が0になる点を基準に選びます。電界が0になる点は,電界の式から,\(r=\infty\)のときであることは明らかです。

 

$$E(\infty)=\frac{Q}{4\pi \varepsilon (\infty)^2}=0$$

図3.電荷があっても,無限遠点の電位は0

また,電位差\(V_{BA}\)は,電位\(V_B\)と電位\(V_A\)の差であることもわかります。

 

$$\phi_{BA}=\phi_B-\phi_A$$

図4.無限遠点を基準とした2つの電位\(\phi_A\),\(\phi_B\)

電位に関する例題

例題1:
誘電率\(\varepsilon\)の座標空間上に\(Q\)[C]の電荷を点\((a,0)\)に置いたとき,

(1) \((0,y)\)に働く電界\(E_1\)と電位\(\phi_1\)を求めましょう。ただし,電位の基準は,無限遠点とします。

(2) \(-Q\)[C]の電荷を\((-a,0)\)に置いたとき,\((0,y)\)に働く電界\(E_2\)と電位\(\phi_2\)を求めましょう。

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例題1解答

(1)解答例

電界\(E\)について,

 

\(E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon |(0,y)- (a,0)|^{3}}((0,y)- (a,0))\)

 

\(E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon |(- a,y)|^{3}}(- a,y)\)

 

\(E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon \sqrt{a^2+y^2}^{3}}(- a,y)\)[V/m]

 

<終>

 

電位\(\phi\)について,

 

\(\phi=-\int_{\infty}^{(0,y)} E・dr\)

 

\(y\)軸方向の単位ベクトル(大きさ1のベクトル)を\((0,1)\)とすると,\(dr\)は,

 

\((0,1)dy\)したがって,電位\(\phi\)は,

 

\(\phi=-\int_{\infty}^{y}\frac{Q}{4\pi\varepsilon \sqrt{a^2+y^2}^{3}}(-a,y)・(0,1)dy\)

 

\(\phi=-\int_{\infty}^{y}\frac{Q}{4\pi\varepsilon \sqrt{a^2+y^2}^{3}}ydy\)

 

\(\phi=[\frac{Q}{4\pi\varepsilon \sqrt{a^2+y^2}}]_{\infty}^{y}\)

 

\(\phi=\frac{Q}{4\pi\varepsilon \sqrt{a^2+y^2}}\)[V]

 

単位ベクトルは,今回は簡単のため\((0,1)\)としましたが,無限遠点に向かう単位ベクトルであれば,\((1,0)\)や,\((-a,y)\)など,任意にとってかまいません。

 

<終>

(2)解答

(1) の結果を利用して,\((-a,0)\)にある\(-Q\)[C]の電荷が点\((0,y)\)に作る電界を計算します。

 

\(\frac{Q}{4\pi\varepsilon \sqrt{a^2+y^2}}(-a,-y)\)

 

これらを踏まえると,電界\(E_2\)は重ね合わせの原理より,

 

\(E_2=\frac{Q}{4\pi\varepsilon \sqrt{a^2+y^2}^3}(-a,-y)+\frac{Q}{4\pi \varepsilon \sqrt{a^2+y^2}^3}(-a,y)\)[V/m]

 

\(E_2=\frac{Q}{4\pi\varepsilon \sqrt{a^2+y^2}^3}(-2a,0)\)

 

電位\(\phi_2\)について,

 

\(\phi_2=\int_{\infty}^{(0,y)}E・dr\)

 

\(y\)軸方向の単位ベクトル(大きさ1のベクトル)を\((0,1)\)とすると,\(dr\)は,\((0,1)dy\)

したがって,電位\(phi\)は,

 

\(\phi=-\int_{\infty}^{y}\frac{Q}{4\pi\varepsilon \sqrt{a^2+y^2}^3}(-2a,0)・(0,1)dy\)

 

\(\phi=-\int_{\infty}^{y}\frac{Q}{4\pi\varepsilon \sqrt{a^2+y^2}^3}・0dy=0\)

 

よって,

\(\phi=0\)V

<終>

電界と電位:関連問題

電験1種

電験2種

電験3種

前回の電磁気学の記事

[電磁気学]電気力線とガウスの法則[例題付き]電気力線の性質とガウスの法則についてまとめた記事になります。関連する電験の問題へのリンクを載せていますので、電験勉強用にご活用ください。ガウスの法則は、電場(電界)を求めるのに役に立つ法則で、電磁気学の問題を解くときに重宝します。...

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電界と電位:まとめ

今日のまとめ

与える力を\(F\)とすると,仕事\(W_{BA}\)は,
$$W_{BA}=\int_{A}^{B}F・dr$$
受ける力を\(F\)とすると,仕事\(\phi_{BA}\)は,
$$\phi_{BA}=-\int_{A}^{B}E・dr$$
$$W=QV$$
$$F=QE$$

最後に

今回は,電界から電位を求めましたが,逆に電位から電界を計算する方法も存在します。その方法は,ベクトルの微分とスカラー場の勾配の計算方法などを熟知していれば,マスター出来ます。計算方法がわからない人は,ベクトル解析という参考書を使って,計算練習してみるのが良いと思います。

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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!