$$\require{cancel}$$
どうも，ユキです。
今日は，いろいろ数列の公式化と，その公式を使って，4つの自然数の和の公式を導出してみせます。
数列の万能公式を教える前に
数列の万能公式に関係するあなたは，この問題を解けますか？
問題1：\(\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}-\sqrt{k+1}\)
問題2：\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\)
また，この問題には公式が存在すると言うことを知っていますか？
問題1の解答
まず，数列の中身を展開して書き下してみましょう。
\(\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}-\sqrt{k+1}=1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\cdots-\sqrt{n-1}+\sqrt{n-1}-\sqrt{n}+\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\)
ここで，隣り合う項が次々と打ち消されることがわかります。
\(\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}-\sqrt{k+1}=1-\cancel{\sqrt{2}}+\cancel{\sqrt{2}}-\cancel{\sqrt{3}}+\cancel{\sqrt{3}}-\cdots-\cancel{\sqrt{n}}+\cancel{\sqrt{n}}-\sqrt{n+1}\)
よって，
\(\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}-\sqrt{k+1}=1-\sqrt{n+1}\)
となることがわかります。
問題2の解答
この問題は，先ほどとは異なり，問題を解くために，2つステップを踏みます。
1 部分分数分解をつかう
\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k-1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)
2 数列の中身を展開する
\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\cdots-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
この展開式も，打ち消される所があるので打ち消していくと，
\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\cancel{\frac{1}{2}}+\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}}+\cancel{\frac{1}{3}}=\cdots-\cancel{\frac{1}{n}}+\cancel{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+1}\)
となり，結局
\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{n+1}\)
となります。
数列の万能公式登場！
2つの数列の問題を公式としたものがこちらになります。こちらの公式を是非とも、理解していただきたい。
$$\sum_{k=1}^{n}f(k+1)-f(k)=f(n+1)-f(1)\tag{1}$$
ここで，この式(1)と問題1，2とを見比べて，\(f(k+1)\)，\(f(k)\)，\(f(1)\)を問題1，2でいうとどの部分か見ていきます。
問題1の場合，\(f(k+1)=\sqrt{k+1}\)，\(f(k)=\sqrt{k}\)，\(f(1)=1\)
\(\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}-\sqrt{k+1}=1-\sqrt{n+1}\)
問題2の場合，\(f(k+1)=\frac{1}{k+1}\)，\(f(k)=\frac{1}{k}\)，\(f(1)=1\)
\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)
この公式は，様々な公式を生み出します。
つまり、万能の公式です。
4つの自然数の和の公式の導出
先ほどの公式(1)を使って，自然数の和の公式を導出します。
\(\sum_{k=1}^{n}k^r\) \(r\)は自然数
の和の公式を導出するためには，
\(\sum_{k=1}^{n}(k+1)^{r+1}-k^{r}\)
を考えることで，導出できることが知られています。実際にやってみましょう。
\(\sum_{k=1}^{n}1=n\)の導出
この公式は，皆さんおなじみかもしれませんが，一応導出しておきます。
まず，以下のような数列を考えます。
\(\sum_{k=1}^{n}(k+1)-(k)\)
この数列は，式(1)の形になっているので，
\(\sum_{k=1}^{n}(k+1)-k=(n+1)-(1)\)
式を整理すると，
\(\sum_{k=1}^{n}1=n\)
が導けました。
\(\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\)の導出
以下のような数列を考えます。
\(\sum_{k=1}^{n} (k+1)^2-(k)^2\)
この数列は式(1)の形になっているので，
\(\sum_{k=1}^{n} (k+1)^2-(k)^2=(n+1)^2-1\)
\(\sum_{k=1}^{n} 2k+1=n^2+2n\)
\(2\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1=n^2+2n\)
\(2\sum_{k=1}^{n}k+n=n^2+2n\)
\(2\sum_{k=1}^{n}k=n^2+n\)
\(2\sum_{k=1}^{n}k=n(n+1)\)
よって，
\(\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\)
\(\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)の導出
以下の数列を考えて，先ほど同様に式変形を行います。
\(\sum_{k=1}^{n} (k+1)^3-(k)^3=(n+1)^3-1\)
\(\sum_{k=1}^{n} 3k^2+3k+1=(n+1)^3-1\)
\(3\sum_{k=1}^{n}k^2=(n+1)^3-1-\sum_{k=1}^n(3k+1)\)
\(3\sum_{k=1}^{n}k^2=n^3+3n^2+3n-(3\frac{n(n+1)}{2}+n)\)
\(3\sum_{k=1}^{n}k^2=n^3+3\frac{n+1}{2}-n\)
\(3\sum_{k=1}^{n}k^2=n(n^2+3\frac{n+1}{2}-1)\)
\(\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(2n^2+3(n+1)-2)\)
\(\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(2n^2+3n+1)\)
よって，
\(\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
\(\sum_{k=1}^{n}k^3=(\frac{1}{2}n(n+1))^2\)の導出
以下の数列を考えて，先ほど同様に式変形を行います。
\(\sum_{k=1}^{n} (k+1)^4-(k)^4=(n+1)^4-1\)
\(\sum_{k=1}^{n} 4k^3+6k^2+4k+1=n^4+4n^3+6n^2+4n\)
\(\sum_{k=1}^{n} 4k^3=n^4+4n^3+6n^2+4n-\sum_{k=1}^{n}(6k^2+4k+1)\)
\(\sum_{k=1}^{n} 4k^3=n^4+4n^3+6n^2+4n-(n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n)\)
\(\sum_{k=1}^{n} 4k^3=n^4+2n^3+n^2\)
\(\sum_{k=1}^{n} k^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2\)
よって，
\(\sum_{k=1}^{n} k^3={ \frac{1}{2}n(n+1) }^2\)
等比級数の和の公式の導出
\(\sum_{k=1}^{n}ar^{k^1}=a\frac{r^{n}-1}{r-1}\)の導出
\(\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=\sum_{k=1}^{n}a\frac{r-1}{r-1}r^{k-1}\)
\(=a\sum_{k=1}^{n}\underbrace{\frac{r^{k}}{r-1}}_{f(k+1)}-\underbrace{\frac{r^{k-1}}{r-1}}_{f(k)}\)
\(=a\underbrace{\frac{r^n}{r-1}}_{f(n+1)}-\underbrace{\frac{1}{r-1}}_{f(1)}\)
よって，
\(\sum_{k=1}^{n}ar^{k^1}=a\frac{r^{n}-1}{r-1}\)
おまけ：\(\sum_{k=1}^{n}\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}=\frac{(2n+2)!!}{(2n+1)!!}-2\)の導出
\(\sum_{k=1}^{n}\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}=\sum_{k=1}^{n}{(2k+2)-(2k+1)}\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}\)
\(=\sum_{k=1}^{n}\underbrace{\frac{(2k+2)!!}{(2k+1)!!}}_{f(k+1)}-\underbrace{\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}}_{f(k)}\)
\(=\underbrace{\frac{(2n+2)!!}{(2n+1)!!}}_{f(n+1)}-\underbrace{\frac{2}{1}}_{f(1)}\)
よって，
\(\sum_{k=1}^{n}\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}=\frac{(2n+2)!!}{(2n+1)!!}-2\)
まとめ
\(\sum_{k=1}^{n}f(k+1)-f(k)=f(n+1)-f(1)\)の能力は，
･一般項にルートが入っていても，スマートに解ける
･部分分数分解を使う問題は大抵解ける
･自然数の和の公式を4つとも導出できる。
･等比級数の和の公式を導出できる
･初めて見る2重階乗の公式まで導出できる
これら5つを兼ね備えた万能な公式ということがわかりました。
最後に
実は，この公式は，まだ可能性を秘めています。
その可能性が見えてくるのは，難関大学の入試問題を解いているときか，大学数学の勉強をしているときくらいです。
ですが，その可能性を探求する前に，まずはこの公式を使いこなして，マスマスターへの一歩を踏み出していただきたい。
