高校数学

[数列]階差数列の応用問題

ユキ
ユキ
最近,投資の勉強をしている。

どうも,ユキです。

今日は,大学入試1次試験数学の数列の演習問題を解いていこうと思います。是非ご覧ください。

この記事を読むメリット
☑数列の演習問題に慣れることができる
☑隣接2項間の漸化式の問題を解くことができる
☑階差数列の応用問題を解くことができる

問題

(1) \(c_1=1,c_{n+1}=2c_n+1 (n=1,2,3 \cdots)\)とするとき,一般項\(c_n\)を求めましょう。
(2) (1)の\(c_n\)を用いて,新たに数列{\(d_n\)}を
\(d_1=1,d_{n+1}=dc_n+3n(c_n+1) (n=1,2,3 \cdots)\)と定義するとき,一般項\(d_n\)を求めましょう。

問題解答

問題(1)解答

\(c_{n+1}=2c_n+1\)

\(c_{n}=2^n-1\)

<終>

問題(2)解答

\(d_{n+1}=d_n+3n・2^n\tag{1}\)

式(1)は,階差数列なので,\(d_2\)は次のように表されます。

\(d_n=d_1+\sum_{k=1}^{n-1}3k・2^k\)

ここで,\(\sum_{k=1}^{n-1}3k・2^k \)を計算します。

\(\begin{array}\\ 2\sum_{k=1}^{n-1}3k・2^k&=&3・0・2+3・1・2^2+\cdots +3(n-2)・2^{n-1}&+3(n-1)・2^n\\
-)\sum_{k=1}^{n-1}3k・2^k&=&3・1・2+3・2・2^2+\cdots +3(n-1)・2^{n-1}&\\
\\
\sum_{k=1}^{n-1}3k・2^k&=&\underbrace{-3\sum_{k=1}^{n-1}2^k}_{-3・(2^n-2)} &+3(n-1)・2^n\\
\end{array}\)

よって,数列\(d_n\)は,

\(d_n=1-3・(2^n-2)+3(n-1)・2^n\)

\(d_n=3(n-2)・2^n+7\)

<終>

まとめ

今日の公式

\(a_{n+1}=a_n+b_n\)を満たす階差数列の一般項\(a_n\)は,

$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$$

関連問題

問題まとめページー>

https://cupuasu.club/tag/highschool-math/

最後に

今日は,家に引きこもって勉強をするのがベストかなぁ。

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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!