どうも，ユキです。
今日は，大学入試1次試験数学の数列の演習問題を解いていこうと思います。是非ご覧ください。
この記事を読むメリット
☑数列の演習問題に慣れることができる
☑隣接2項間の漸化式の問題を解くことができる
☑階差数列の応用問題を解くことができる
問題
(1) \(c_1=1，c_{n+1}=2c_n+1 (n=1，2，3 \cdots)\)とするとき，一般項\(c_n\)を求めましょう。
(2) (1)の\(c_n\)を用いて，新たに数列{\(d_n\)}を
\(d_1=1，d_{n+1}=dc_n+3n(c_n+1) (n=1，2，3 \cdots)\)と定義するとき，一般項\(d_n\)を求めましょう。
問題解答
問題(1)解答
\(c_{n+1}=2c_n+1\)
\(c_{n}=2^n-1\)
<終>
問題(2)解答
\(d_{n+1}=d_n+3n・2^n\tag{1}\)
式(1)は，階差数列なので，\(d_2\)は次のように表されます。
\(d_n=d_1+\sum_{k=1}^{n-1}3k・2^k\)
ここで，\(\sum_{k=1}^{n-1}3k・2^k \)を計算します。
\(\begin{array}\\ 2\sum_{k=1}^{n-1}3k・2^k&=&3・0・2+3・1・2^2+\cdots +3(n-2)・2^{n-1}&+3(n-1)・2^n\\
-)\sum_{k=1}^{n-1}3k・2^k&=&3・1・2+3・2・2^2+\cdots +3(n-1)・2^{n-1}&\\
\\
\sum_{k=1}^{n-1}3k・2^k&=&\underbrace{-3\sum_{k=1}^{n-1}2^k}_{-3・(2^n-2)} &+3(n-1)・2^n\\
\end{array}\)
よって，数列\(d_n\)は，
\(d_n=1-3・(2^n-2)+3(n-1)・2^n\)
\(d_n=3(n-2)・2^n+7\)
<終>
まとめ
\(a_{n+1}=a_n+b_n\)を満たす階差数列の一般項\(a_n\)は，
$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$$
関連問題
問題まとめページー＞
https://cupuasu.club/tag/highschool-math/
最後に
今日は，家に引きこもって勉強をするのがベストかなぁ。
