高校数学

logで置換して解く数列の問題

ユキ
ユキ
受験は,数列のように連続的に努力を重ねた者が成功する。どうも,ユキです。今日は,またまた高校生の質問にお答えいたしまして,数列の問題を解いていこうと思います。

この記事を読むメリット

☑大学入試レベルの数列の問題にチャレンジできる。
☑中堅私立大学レベルの問題に挑戦できる。

問題

\(a_1=16,a_{n+1}=\frac{1}{8}a_n^2\)とします。

(1) \(b_n=log_{2} a_n\)とするとき,\(b_n\)を\(n\)の式で表しなさい

(2) \(a_n>4096\)となる最小の自然数\(n\)を求めなさい。

 

問題(1)解答

 

両辺に対数2をとると,

 

\(log_2 a_{n+1}=log_2 \frac{1}{8} a_n^2\)

 

\(\underbrace{log_2 a_{n+1}}_{b_{n+1}}=\underbrace{log_2 \frac{1}{8}}_{-3}+\underbrace{2log_2 a_n}_{b_n}\)

 

\(b_{n+1}=2b_n-3\)

 

\(b_{n+1}-3=2(b_n-3)\)

 

\((b_n-3)=2^{n-1}(b_1-3)\)

 

整理すると,

\(b_n=2^{n-1}+3\)

 

<終>

問題(2)解答

 

(1)がヒントになっていることに気づくと,この問題は大して難しくありません。

 

\(a_n>4096\)

 

両辺に対数2をとると,

 

\(\underbrace{log_2 a_n}_{b_{n}}>\underbrace{log_2 2^{12}}_{12}\)

 

\(2^{n-1}+3>12\)

 

条件を満たす最小の自然数\(n\)は,5

 

<終>

まとめ

今日のまとめ

(1)は(2)のヒントであることに気づく

関連問題

問題まとめページー>

https://cupuasu.club/tag/highschool-math/

最後に

今回の数列問題は,誘導がついていたので,なんとか解くことが出来ましたが,誘導を外されると途端に難しくなります。数学が得意な人は,数列の問題の誘導から数列問題の解法パターンを覚えていくのもありだと思います。

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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!