この記事を読むメリット
☑大学入試レベルの数列の問題にチャレンジできる。
☑中堅私立大学レベルの問題に挑戦できる。
問題
\(a_1=16，a_{n+1}=\frac{1}{8}a_n^2\)とします。
(1) \(b_n=log_{2} a_n\)とするとき，\(b_n\)を\(n\)の式で表しなさい
(2) \(a_n>4096\)となる最小の自然数\(n\)を求めなさい。
問題(1)解答
両辺に対数2をとると，
\(log_2 a_{n+1}=log_2 \frac{1}{8} a_n^2\)
\(\underbrace{log_2 a_{n+1}}_{b_{n+1}}=\underbrace{log_2 \frac{1}{8}}_{-3}+\underbrace{2log_2 a_n}_{b_n}\)
\(b_{n+1}=2b_n-3\)
\(b_{n+1}-3=2(b_n-3)\)
\((b_n-3)=2^{n-1}(b_1-3)\)
整理すると，
\(b_n=2^{n-1}+3\)
<終>
問題(2)解答
(1)がヒントになっていることに気づくと，この問題は大して難しくありません。
\(a_n>4096\)
両辺に対数2をとると，
\(\underbrace{log_2 a_n}_{b_{n}}>\underbrace{log_2 2^{12}}_{12}\)
\(2^{n-1}+3>12\)
条件を満たす最小の自然数\(n\)は，5
<終>
まとめ
(1)は(2)のヒントであることに気づく
関連問題
問題まとめページー＞
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最後に
今回の数列問題は，誘導がついていたので，なんとか解くことが出来ましたが，誘導を外されると途端に難しくなります。数学が得意な人は，数列の問題の誘導から数列問題の解法パターンを覚えていくのもありだと思います。
