[中堅国立レベル]空間ベクトル長さの最小値

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ユキ

ベクトル演算を制する者は，大学1次試験を制す。どうも，ユキです。今日は，ベクトルに関する大学入試問題について取り上げようと思います。

この記事を読むメリット

☑ベクトルの問題を1問解くことが出来る。
☑中堅国立レベルの入試問題にチャレンジできる。

空間ベクトル：問題

4点$O(0,0,0)，A(1,2,2)，B(1,0,-1)，C(2,-1,1)$がある。直線(OB\)上の点$P$を$OB：OP=1：t$となるようにとります。このとき，以下の問に答えなさい。

(1) 内積$\overrightarrow{AC}･\overrightarrow{AP}$を$t$を用いて表しなさい。

(2) $\triangle APC$の面積を$S(t)$とおく。$S(t)$が最小になる$t$の値と，そのときの$S(t)$の値を求めましょう。

(3) 点Rは直線AC上にある。このとき，線分PRの長さの最小値と，そのときの点Rの座標を求めましょう。

問題(1)解答

ベクトル$\overrightarrow{AC}$と，$\overrightarrow{AP}$について，

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$

$=(2,-1,1)-(1,2,2)=(1,-3,-1)$

$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$

ここで，題意より

$|\overrightarrow{OB}|：|\overrightarrow{OP}|=1：t$

$\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

$t(1,0,-1)-(1,2,2)=(t-1,-2,-t-2)$

よって，$\overrightarrow{AC}・\overrightarrow{AP}$は，

$\overrightarrow{AC}･\overrightarrow{AP}=(1,-3,-1)･(t-1,-2,-t-2)$

$t-1+6+(t+2)=2t+7$

<終>

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問題(2)解答

$\triangle APC$の面積は，$\angle APC $を用いると

$S(t)=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AP}|\sin \angle APC$

$S(t)= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AP}|\sqrt{1-\cos^2 \angle APC}$

$S(t)= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AP}|\sqrt{1-(\frac{\overrightarrow{AC}･\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AP}|})^2}$

$S(t)= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|\overrightarrow{AP}|\sqrt{|\overrightarrow{AC}|^2|\overrightarrow{AP}|^2-(\overrightarrow{AC}･\overrightarrow{AP})^2}$

ここで，$|\overrightarrow{AC}|^2$と$|\overrightarrow{AP}|^2$について，

$|\overrightarrow{AC}|^2=(1,-3,-1)･(1,-3,-1)=11$

$|\overrightarrow{AP}|^2$

$=(t-1,-2,-t-2)･(t-1,-2,-t-2)=2t^2+2t+9$

$S(t)$は，

$S(t)=\frac{1}{2}\sqrt{11(2t^2+2t+9)-(2t+7)^2}$

$S(t)=\frac{1}{2}\sqrt{22t^2+22t+99-4t^2-28t-49}$

$S(t)=\frac{1}{2}\sqrt{18t^2-6t+50}$

$S(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{9t^2-3t+25}$

$S(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{9(t-\frac{1}{6})^2+25-\frac{1}{4}}$

$S(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{9(t-\frac{1}{6})^2+\frac{99}{4}}$

$t=\frac{1}{6}$のとき，$S(t)$は最小値をとり，その値は$\frac{3\sqrt{22}}{4}$