高校数学

[中堅国立レベル]空間ベクトル長さの最小値

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ユキ
ユキ
ベクトル演算を制する者は,大学1次試験を制す。どうも,ユキです。今日は,ベクトルに関する大学入試問題について取り上げようと思います。

この記事を読むメリット

☑ベクトルの問題を1問解くことが出来る。
☑中堅国立レベルの入試問題にチャレンジできる。

空間ベクトル:問題

4点\(O(0,0,0),A(1,2,2),B(1,0,-1),C(2,-1,1)\)がある。直線(OB\)上の点\(P\)を\(OB:OP=1:t\)となるようにとります。このとき,以下の問に答えなさい。

 

(1) 内積\(\overrightarrow{AC}・\overrightarrow{AP}\)を\(t\)を用いて表しなさい。

 

(2) \(\triangle APC\)の面積を\(S(t)\)とおく。\(S(t)\)が最小になる\(t\)の値と,そのときの\(S(t)\)の値を求めましょう。

 

(3) 点Rは直線AC上にある。このとき,線分PRの長さの最小値と,そのときの点Rの座標を求めましょう。

 

 

問題(1)解答

 

ベクトル\(\overrightarrow{AC}\)と,\(\overrightarrow{AP}\)について,

 

\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\)

 

\(=(2,-1,1)-(1,2,2)=(1,-3,-1)\)

 

 

\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)

 

ここで,題意より

 

\(|\overrightarrow{OB}|:|\overrightarrow{OP}|=1:t\)

 

\(\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OB}\)

 

\(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)

 

\(t(1,0,-1)-(1,2,2)=(t-1,-2,-t-2)\)

 

 

よって,\(\overrightarrow{AC}・\overrightarrow{AP}\)は,

 

\(\overrightarrow{AC}・\overrightarrow{AP}=(1,-3,-1)・(t-1,-2,-t-2)\)

 

\(t-1+6+(t+2)=2t+7\)

 

<終>

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問題(2)解答

 

\(\triangle APC\)の面積は,\(\angle APC \)を用いると

 

\(S(t)=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AP}|\sin \angle APC\)

 

\(S(t)= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AP}|\sqrt{1-\cos^2 \angle APC}\)

 

\(S(t)= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AP}|\sqrt{1-(\frac{\overrightarrow{AC}・\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AP}|})^2}\)

 

\(S(t)= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|\overrightarrow{AP}|\sqrt{|\overrightarrow{AC}|^2|\overrightarrow{AP}|^2-(\overrightarrow{AC}・\overrightarrow{AP})^2}\)

 

ここで,\(|\overrightarrow{AC}|^2\)と\(|\overrightarrow{AP}|^2\)について,

 

\(|\overrightarrow{AC}|^2=(1,-3,-1)・(1,-3,-1)=11\)

 

\(|\overrightarrow{AP}|^2\)

 

\(=(t-1,-2,-t-2)・(t-1,-2,-t-2)=2t^2+2t+9\)

 

 

\(S(t)\)は,

 

\(S(t)=\frac{1}{2}\sqrt{11(2t^2+2t+9)-(2t+7)^2}\)

 

\(S(t)=\frac{1}{2}\sqrt{22t^2+22t+99-4t^2-28t-49}\)

 

\(S(t)=\frac{1}{2}\sqrt{18t^2-6t+50}\)

 

\(S(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{9t^2-3t+25}\)

 

\(S(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{9(t-\frac{1}{6})^2+25-\frac{1}{4}}\)

 

\(S(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{9(t-\frac{1}{6})^2+\frac{99}{4}}\)

 

 

\(t=\frac{1}{6}\)のとき,\(S(t)\)は最小値をとり,その値は\(\frac{3\sqrt{22}}{4}\)

 

<終>

 

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問題(3)解答

 

線分PRの長さが最小となるためには,ACとPRが垂直に交わり,かつ(2)の条件を満たせばOKです。

 

すなわち,

 

\(|\overrightarrow{PR}|=|\overrightarrow{AP}|\sin \angle CAP\)

 

(2) の結果を利用すると,

 

\(|\overrightarrow{PR}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AP}|\sin \angle CAP\frac{2}{|\overrightarrow{AC}|}\)

 

\(|\overrightarrow{PR}|=\frac{3\sqrt{22}}{4}\frac{2}{\sqrt{11}}\)

 

\(|\overrightarrow{PR}|=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

 

よって,\(|\overrightarrow{PR}|\)の最小値は,\(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

 

Rの座標について,

 

\(AC\perp PR\)を利用すると,

 

\(\overrightarrow{AC}・\overrightarrow{PR}=0\)

 

が成立するので,

 

\(\overrightarrow{AC}・\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{AC}・(\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP})\)

 

 

ここで,\(\overrightarrow{AR}\)は,直線AC上にあるので,\(\overrightarrow{AR}=s\overrightarrow{AC}\)とおける。

 

\(=\overrightarrow{AC}・(s\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})\)

 

\(=s|\overrightarrow{AC}|^2-\overrightarrow{AC}・\overrightarrow{AP}\)

 

\(=11s-(2\frac{1}{6}+7)=11s-\frac{22}{3}=0\)

 

\(s=\frac{2}{3}\)

 

よって,Rの座標は,

 

\(\overrightarrow{AR}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

 

\(\overrightarrow{OR}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{OA}\)

 

\(\overrightarrow{OR}=\frac{2}{3}(1,-3,-1)・(1,2,2)=(\frac{5}{3},0,\frac{4}{3})\)

 

Rの座標は,\((\frac{5}{3},0,\frac{4}{3})\)

 

<終>

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空間ベクトル最小値問題:まとめ

まとめ

点Rは直線AC上にある

$$\overrightarrow{AR}=s\overrightarrow{AC}$$

線分の長さの最小値は,
->平方完成を使って求める
$$or$$
->図形の性質を使って求める

関連問題

問題まとめページー>

https://cupuasu.club/tag/highschool-math/

 

最後に

この問題は,中堅国立レベルの入試問題なので,(2)まで解ければ上出来だと思います。

(3)は,図形的なイメージとセンスが問われるので,やや難しいかもしれません。

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ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!