数学

[数列]隣接2項間漸化式の応用問題と解き方

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昨晩,企業さんとの会合に行ってきました。どうも,大学生のユキです。今日も,高校生からのリクエストを受けて,センター試験の数Ⅱを解説していこうと思います。

問題1

漸化式\(c_{n+1}=4c_n+3・4^n\),\(c_1\)を満たす数列{\(c_n\)}があります。\(S_n=\sum_{k=1}^{n}c_k\)とするとき,\(S_n\)が\(8^12\)の倍数となる最小の自然数を求めなさい。

問題1解答

一般項\(c_n\)を計算

まずは,\(c_n\)を求めますが,その前に漸化式\(c_n\)の解析をしましょう。

\(c_{n+1}=4c_n+3・4^n\tag{1}\)

上の漸化式は,\(4^n\)が無ければ,

\(c_{n+1}+4c_n+3\)

となって,解けそうですね。

では,\(4^n\)を消すために式(1)の両辺を\(4^n\)で割りましょう。

\(\underbrace{\frac{c_{n+1}}{4^n}}_{d_{n+1}}=\underbrace{\frac{c_n}{4^{n-1}}}_{d_n}+3\)

 

\(d_{n}=d_{n-1}+3\)

 

\(d_{n}=d_{n-2}+\underbrace{3+3}_{3が2個}\)

 

\(d_{n}=d_{n-3}+\underbrace{3+3+3}_{3が3個}\)

 

\(d_{n}=d_1+\underbrace{\sum_{k=1}^{n-1}3}_{3がn-1個}\)

 

\(d_{n}=d_1+3(n-1)\)

ここで,\(d_1\)について,

 

\(d_1=\frac{c_1}{4^{1-1}}=4\)より,\(d_n\)は,

 

\(d_n=\frac{c_n}{4^{n-1}}=3n+1\)

 

よって,求めたい\(c_n\)は,

 

\(c_n=(3n+1)4^{n-1}\)

 

<終>

和\(S_n\)を計算

 

\(S_n=\sum_{k=1}^{n}(3k+1)4^{k-1}\)

 

これは,ただの数列の和の計算では解けない!なので,

 

\(S_n=\sum_{k=1}^{n}(3k+1)4^{k-1}\)

 

\(4S_n=\sum_{k=1}^{n}(3k+1)4^{k}\)

 

\(S_n-4S_n=4+\underbrace{3・4+3・4^2+3+4^3+\cdots+3・4^{n-1})}_{3\sum_{k=1}^{n-1}4^{k}}-3(n+1)・4^n\)

 

ここで,等比数列の和の公式を使うと,

 

\(-3S_n=4+\cancel{3}・4\frac{4^{n-1}-1}{\cancel{4-1}}-3(n+1)・4^n\)

 

\(-3S_n=\cancel{4}+\cancel{4^n}-\cancel{4}-3n・4^n-\cancel{4^n}\)

 

\(\cancel{-3}S_n=\cancel{-3}n・4^n\)

 

\(S_n=n・4^n\)

 

<終>

\(S_n\)が\(8^{12}\)の倍数となる最小の\(n\)

この問題を\(S_n\)が\(4^{24}\)と書き換えると,わかりやすいです。

 

\(S_n=n・4^{n}\)でしたから,

 

真っ先に思い浮かぶのが\(n=24\)ですので,

 

\(n=24\)

<終>

まとめ

$$c_{n+1}=4c_n+3・4^n$$
のような漸化式は,\(4^n\)が邪魔なので,両辺を\(4^n\)を割ってみる。

等比数列の和の公式
$$\sum_{k=1}^{n-1}r^{k}=r\frac{r^{n-1}-1}{r-1}$$

漸化式\(a_{n+1}=a_n+d_n\)を満たすとき,数列\(a_n\)は,
$$a_{n}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}d_k$$

関連問題

問題まとめページー>

https://cupuasu.club/tag/highschool-math/

最後に

私は,1つ昔のセンター試験という試験を受験していました。二年生の終わりから,猛勉強
したけれども,2年生のときに受けたセンタープレテストから試験本番までに数学の点数を4点しか上げられませんでした。そんな私が大学入試の問題を解説するなんておかしな話ですよね?

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ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!