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昨晩，企業さんとの会合に行ってきました。どうも，大学生のユキです。今日も，高校生からのリクエストを受けて，センター試験の数Ⅱを解説していこうと思います。
問題1
漸化式\(c_{n+1}=4c_n+3･4^n\)，\(c_1\)を満たす数列{\(c_n\)}があります。\(S_n=\sum_{k=1}^{n}c_k\)とするとき，\(S_n\)が\(8^12\)の倍数となる最小の自然数を求めなさい。
問題1解答
一般項\(c_n\)を計算
まずは，\(c_n\)を求めますが，その前に漸化式\(c_n\)の解析をしましょう。
\(c_{n+1}=4c_n+3･4^n\tag{1}\)
上の漸化式は，\(4^n\)が無ければ，
\(c_{n+1}+4c_n+3\)
となって，解けそうですね。
では，\(4^n\)を消すために式(1)の両辺を\(4^n\)で割りましょう。
\(\underbrace{\frac{c_{n+1}}{4^n}}_{d_{n+1}}=\underbrace{\frac{c_n}{4^{n-1}}}_{d_n}+3\)
\(d_{n}=d_{n-1}+3\)
\(d_{n}=d_{n-2}+\underbrace{3+3}_{3が2個}\)
\(d_{n}=d_{n-3}+\underbrace{3+3+3}_{3が3個}\)
\(d_{n}=d_1+\underbrace{\sum_{k=1}^{n-1}3}_{3がn-1個}\)
\(d_{n}=d_1+3(n-1)\)
ここで，\(d_1\)について，
\(d_1=\frac{c_1}{4^{1-1}}=4\)より，\(d_n\)は，
\(d_n=\frac{c_n}{4^{n-1}}=3n+1\)
よって，求めたい\(c_n\)は，
\(c_n=(3n+1)4^{n-1}\)
<終>
和\(S_n\)を計算
\(S_n=\sum_{k=1}^{n}(3k+1)4^{k-1}\)
これは，ただの数列の和の計算では解けない！なので，
\(S_n=\sum_{k=1}^{n}(3k+1)4^{k-1}\)
\(4S_n=\sum_{k=1}^{n}(3k+1)4^{k}\)
\(S_n-4S_n=4+\underbrace{3･4+3･4^2+3+4^3+\cdots+3･4^{n-1})}_{3\sum_{k=1}^{n-1}4^{k}}-3(n+1)･4^n\)
ここで，等比数列の和の公式を使うと，
\(-3S_n=4+\cancel{3}･4\frac{4^{n-1}-1}{\cancel{4-1}}-3(n+1)･4^n\)
\(-3S_n=\cancel{4}+\cancel{4^n}-\cancel{4}-3n･4^n-\cancel{4^n}\)
\(\cancel{-3}S_n=\cancel{-3}n･4^n\)
\(S_n=n･4^n\)
<終>
\(S_n\)が\(8^{12}\)の倍数となる最小の\(n\)
この問題を\(S_n\)が\(4^{24}\)と書き換えると，わかりやすいです。
\(S_n=n･4^{n}\)でしたから，
真っ先に思い浮かぶのが\(n=24\)ですので，
\(n=24\)
<終>
まとめ
$$c_{n+1}=4c_n+3･4^n$$
のような漸化式は，\(4^n\)が邪魔なので，両辺を\(4^n\)を割ってみる。
等比数列の和の公式
$$\sum_{k=1}^{n-1}r^{k}=r\frac{r^{n-1}-1}{r-1}$$
漸化式\(a_{n+1}=a_n+d_n\)を満たすとき，数列\(a_n\)は，
$$a_{n}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}d_k$$
関連問題
問題まとめページー＞
https://cupuasu.club/tag/highschool-math/
最後に
私は，1つ昔のセンター試験という試験を受験していました。二年生の終わりから，猛勉強
したけれども，2年生のときに受けたセンタープレテストから試験本番までに数学の点数を4点しか上げられませんでした。そんな私が大学入試の問題を解説するなんておかしな話ですよね？
