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自動制御Ⅰ2018演習問題
問題1
問題1：
図の制御対象で，電圧\(v(t)\)を検出して，電源電圧\(e(t)\)を次式で制御する。
\(e(t)=K_p(v^*(t)-v(t))+K_i\int_{0}^{t}(v^*-v(t))dt\)
ここで，\(K_p\)，\(K_i\)は定数，\(v^*(t)\)は電流指令値である。
(1) 制御対象の伝達関数を求めよ。
(2) 制御系全体のブロック線図を書け。
問題1解答
(1) 解答
制御対象をラプラス表示して表すと，以下のようになる。
図．制御対称をラプラス表示した回路図
上の図から，伝達関数\(\frac{V(s)}{E(s)}\)
\(\frac{V(s)}{E(s)}=\frac{\frac{1}{sC}}{\underbrace{sL+R}_{Z}+\frac{1}{sC}}=\frac{1}{s^2LC+sRC+1}\)
(2) 解答
\(e(t)=K_p(v^*(t)-v(t))+K_i\int_{0}^{t}(v^*(t)-v(t))dt\)
の両辺をラプラス変換すると，
\( E(s)=K_p(V^*(s)-V(s))+\frac{K_i}{s}( V^*(s)-V(s)) \)
\( E(s)=(K_p+\frac{K_i}{s})( V^*(s)-V(s))\)
問題2
問題2：
次式で与えられる1次遅れ要素のナイキスト線図を求める式を導出し，\(\omega：0\rightarrow \infty\)に対する軌跡を図示せよ。
\(G(s)=\frac{1}{2+s}\)
問題2解答
\(G(s)=\frac{1}{2+s}\)
\(G(j\omega)=\frac{1}{2+j\omega}=\frac{2-j\omega}{(2+j\omega)( 2-j\omega)}=\frac{2-j\omega}{4+\omega ^2}\)
ここで，\(G(j\omega)=x+jy\)とおくと，
\(x=\frac{2}{4+\omega ^2}，y=\frac{-j\omega}{4+\omega ^2}\)
\(\frac{y}{x}=-\frac{\omega}{2}\)
\(x\)を\(\frac{y}{x}\)を使って表すと，
\(x=\frac{2}{4+4(\frac{y}{x})^2}\)
\(x(4+4(\frac{y}{x})^2)=2\)
\(4x^2+4y^2=2x\)
\((x-\frac{1}{4})^2+y^2=(\frac{1}{4})^2\)
よって，ナイキスト線図は，
図1．ナイキスト線図
<終>
問題3
問題3：
伝達関数が，\(G(s)=1+\frac{1}{s}\)であるとき，ボード線図の略図を書け。
(片対数グラフ上に線を書く。)
問題3解答
\(G(j\omega)=\frac{1+j\omega}{j\omega}\)
よって，ボード線図は，
図2．ボード線図
<終>
問題4
問題4：
図の制御系が安定であるための，\(K\)の条件をラウスの安定判別法により求めよ。
問題4解答
\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{\overbrace{\frac{\frac{1}{s^2(Ts+1)}}{1+Ks\frac{1}{s^2(Ts+1)}}}^{G’}}{1+\underbrace{\frac{\frac{1}{s^2(Ts+1)}}{1+Ks\frac{1}{s^2(Ts+1)}}}_{G’}}\)
\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+\underbrace{\frac{1}{\frac{\frac{1}{s^2(Ts+1)}}{1+Ks\frac{1}{s^2(Ts+1)}}}}_{\frac{1}{G’}}}\)
\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1}{ s^2(Ts+1)+Ks}}}\)
\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+s^2(Ts+1)+Ks}\)
\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ts^3+s^2+Ks+1}\)
ここで，ラウスの安定判別法より，分母の係数は全て正なので，
\(K>0\)，\(T>0\)
| \(s^3\) | T | K | 0 |
| \(s^2\) | 1 | 1 | 0 |
| \(s^1\) | \(-\frac{T･1-K･1}{1}=K-T\) | 0 | 0 |
| \(s^0\) | \(-\frac{-(K-T)･1}{K-T}=1\) | 0 | 0 |
図3．ラウス表
ラウス表より，\(b_1>0\)より，
\(b_1=K-T>0\)
よって，安定条件は，
\(0<T<K\)
<終>
問題5
問題5：
ラプラス逆変換して\(f(t)\)を求めよ。
(1) \(F(s)=\frac{1}{s(s+1)}\)
(2) \(F(s)=\frac{1}{s(s+1)}e^{-s}\)
(3) \(F(s)=\frac{cs+d}{s^2+as+b}\) ただし，\(a^2-4b=0\)
問題5解答
(1) 解答
\(F(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}\)
両辺を逆ラプラス変換すると，
\(f(t)=(1-e^{-t})u(t)\) ただし，\(u(t))は単位ステップ関数
(2) 解答
\(F’(s)=\frac{1}{s(s+1)}\)として，\(F(s)\)を逆ラプラス変換すると，
\(f(t)=f’(t-1)u(t-1)\)
\(f(t)=(1-e^{-(t-1)})u(t-1)\)
<終>
(3) 解答
\(F(s)=\frac{cs+d}{(s+\frac{a}{2})^2}\)
\(F(s)= \frac{c(s+\frac{a}{2})+d-c\frac{a}{2}}{(s+\frac{a}{2})^2}\)
\(F(s)= \frac{c}{s+\frac{a}{2}}+\frac{d-c\frac{a}{2}}{(s+\frac{a}{2})^2}\)
両辺を逆ラプラス変換すると，
\(f(t)=ce^{-\frac{a}{2}t}+( d-c\frac{a}{2})t e^{-\frac{a}{2}t}\)
<終>
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まとめ
ラプラス変換表ー＞
最後に
