大学数学

自動制御Ⅰ演習問題(2018年度)

ユキ
ユキ
2018年の自動制御の過去問です。筆者は,2019年までに投資をしようと企んでいます。

この記事を読むメリット
☑自動制御の問題を解くことができるようになる。

自動制御Ⅰ2018演習問題

問題1

問題1:
図の制御対象で,電圧\(v(t)\)を検出して,電源電圧\(e(t)\)を次式で制御する。

\(e(t)=K_p(v^*(t)-v(t))+K_i\int_{0}^{t}(v^*-v(t))dt\)

ここで,\(K_p\),\(K_i\)は定数,\(v^*(t)\)は電流指令値である。

(1) 制御対象の伝達関数を求めよ。
(2) 制御系全体のブロック線図を書け。

問題1解答

(1) 解答

制御対象をラプラス表示して表すと,以下のようになる。

 

図.制御対称をラプラス表示した回路図

上の図から,伝達関数\(\frac{V(s)}{E(s)}\)

\(\frac{V(s)}{E(s)}=\frac{\frac{1}{sC}}{\underbrace{sL+R}_{Z}+\frac{1}{sC}}=\frac{1}{s^2LC+sRC+1}\)

(2) 解答

\(e(t)=K_p(v^*(t)-v(t))+K_i\int_{0}^{t}(v^*(t)-v(t))dt\)

の両辺をラプラス変換すると,

\( E(s)=K_p(V^*(s)-V(s))+\frac{K_i}{s}( V^*(s)-V(s)) \)

\( E(s)=(K_p+\frac{K_i}{s})( V^*(s)-V(s))\)

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問題2

問題2:
次式で与えられる1次遅れ要素のナイキスト線図を求める式を導出し,\(\omega:0\rightarrow \infty\)に対する軌跡を図示せよ。
\(G(s)=\frac{1}{2+s}\)

問題2解答

\(G(s)=\frac{1}{2+s}\)

\(G(j\omega)=\frac{1}{2+j\omega}=\frac{2-j\omega}{(2+j\omega)( 2-j\omega)}=\frac{2-j\omega}{4+\omega ^2}\)

ここで,\(G(j\omega)=x+jy\)とおくと,

\(x=\frac{2}{4+\omega ^2},y=\frac{-j\omega}{4+\omega ^2}\)

\(\frac{y}{x}=-\frac{\omega}{2}\)

\(x\)を\(\frac{y}{x}\)を使って表すと,

\(x=\frac{2}{4+4(\frac{y}{x})^2}\)

\(x(4+4(\frac{y}{x})^2)=2\)

\(4x^2+4y^2=2x\)

\((x-\frac{1}{4})^2+y^2=(\frac{1}{4})^2\)

 

よって,ナイキスト線図は,

図1.ナイキスト線図

<終>

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問題3

問題3:
伝達関数が,\(G(s)=1+\frac{1}{s}\)であるとき,ボード線図の略図を書け。
(片対数グラフ上に線を書く。)

問題3解答

\(G(j\omega)=\frac{1+j\omega}{j\omega}\)

 

よって,ボード線図は,

図2.ボード線図

<終>

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問題4

問題4:
図の制御系が安定であるための,\(K\)の条件をラウスの安定判別法により求めよ。

問題4解答

 

\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{\overbrace{\frac{\frac{1}{s^2(Ts+1)}}{1+Ks\frac{1}{s^2(Ts+1)}}}^{G’}}{1+\underbrace{\frac{\frac{1}{s^2(Ts+1)}}{1+Ks\frac{1}{s^2(Ts+1)}}}_{G’}}\)

\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+\underbrace{\frac{1}{\frac{\frac{1}{s^2(Ts+1)}}{1+Ks\frac{1}{s^2(Ts+1)}}}}_{\frac{1}{G’}}}\)

\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1}{ s^2(Ts+1)+Ks}}}\)

\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+s^2(Ts+1)+Ks}\)

\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ts^3+s^2+Ks+1}\)

ここで,ラウスの安定判別法より,分母の係数は全て正なので,

\(K>0\),\(T>0\)

\(s^3\)TK0
\(s^2\)110
\(s^1\)\(-\frac{T・1-K・1}{1}=K-T\)00
\(s^0\)\(-\frac{-(K-T)・1}{K-T}=1\)00

図3.ラウス表

ラウス表より,\(b_1>0\)より,

\(b_1=K-T>0\)

よって,安定条件は,

\(0<T<K\)

<終>

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問題5

問題5:
ラプラス逆変換して\(f(t)\)を求めよ。
(1) \(F(s)=\frac{1}{s(s+1)}\)
(2) \(F(s)=\frac{1}{s(s+1)}e^{-s}\)
(3) \(F(s)=\frac{cs+d}{s^2+as+b}\) ただし,\(a^2-4b=0\)

問題5解答

(1) 解答

\(F(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}\)

両辺を逆ラプラス変換すると,

\(f(t)=(1-e^{-t})u(t)\) ただし,\(u(t))は単位ステップ関数

 

(2) 解答

 

\(F’(s)=\frac{1}{s(s+1)}\)として,\(F(s)\)を逆ラプラス変換すると,

\(f(t)=f’(t-1)u(t-1)\)

\(f(t)=(1-e^{-(t-1)})u(t-1)\)

 

<終>

(3) 解答

 

\(F(s)=\frac{cs+d}{(s+\frac{a}{2})^2}\)

\(F(s)= \frac{c(s+\frac{a}{2})+d-c\frac{a}{2}}{(s+\frac{a}{2})^2}\)

\(F(s)= \frac{c}{s+\frac{a}{2}}+\frac{d-c\frac{a}{2}}{(s+\frac{a}{2})^2}\)

両辺を逆ラプラス変換すると,

\(f(t)=ce^{-\frac{a}{2}t}+( d-c\frac{a}{2})t e^{-\frac{a}{2}t}\)

<終>

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まとめ

 

ラプラス変換表ー>

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最後に

ユキ
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あなたが私を見かけたら貧しいひとだなぁと感じて,300円程度の資金援助をしてくだされば,今後の励みになります。よろしくお願いいたします。
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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!