大学数学

自動制御Ⅰ演習問題(2017年度)

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ユキ
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2017年の自動制御の過去問です。お金が欲しい。

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自動制御Ⅰ2017演習問題

問題1

問題1:
図の制御対象で,電圧\(i(t)\)を検出して,電源電圧\(e(t)\)を次式で制御する。

\(e(t)=K_p(i^*(t)-i(t))+K_i\int_{0}^{t}(i^*(t)-i(t))dt\)

ここで,\(K_p\),\(K_i\)は定数,\(i^*(t)\)は電流指令値である。
(1) 制御対象の伝達関数を求めよ。
(2) 制御系全体のブロック線図を書け。

 

問題1解答

(1) 解答

回路図をラプラス表示すると,

 

図1.ラプラス表示した回路図

 

図1.から伝達関数\(\frac{I(s)}{E(s)}\)は,

 

\(\frac{I(s)}{E(s)}=\frac{1}{\cancel{R_2}} \underbrace{\frac{\frac{\frac{1}{sC}\cancel{R_2}}{\frac{1}{sC}+R_2}}{sL+R_1+\frac{\frac{1}{sC}R_2}{\frac{1}{sC}+R_2}}}_{\frac{R_2I(s)}{E(s)}}\)

 

\(\frac{I(s)}{E(s)}=\frac{\frac{1}{sC}}{(sL+R_1)(\frac{1}{sC}+R_2)+\frac{1}{sC}R_2}=\frac{1}{(sL+R_1)(sCR_2+1)+R_2}\)

\(\frac{I(s)}{E(s)}=\frac{1}{s^2LCR_2+s(CR_1R_2+L)+R_1+R_2}\tag{1}\)

<終>

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(2) 解答

\(e(t)=K_p(i^*(t)-i(t))+K_i\int_{0}^{t}(i^*-i(t))dt\)のラプラス変換

\( E(s)=K_p(I^*(s)-I(s))+\frac{K_i}{s}( I^*(s)-I(s)) \)

\( E(s)=(K_p+\frac{K_i}{s})( I^*(s)-I(s))\tag{2}\)

ここで,式(1),式(2)を使ってブロック線図を作図すると,

<終>

 

 

問題2

問題2:
次式で与えられる1次遅れ要素のナイキスト線図を求める式を導出し,\(\omega:0\rightarrow \infty\)に対する軌跡を図示せよ。
\(G(s)=\frac{1}{0.5+s}\)

問題2解答

\(G(s)=\frac{1}{0.5+s}\)

\(G(j\omega)=\frac{1}{0.5+j\omega}=\frac{2-4j\omega}{(1+2j\omega)( 1-2j\omega)}=\frac{2-4j\omega}{1+4\omega ^2}\)

ここで,\(G(j\omega)=x+jy\)とおくと,

\(x=\frac{2}{1+4\omega ^2},y=\frac{-4j\omega}{1+4\omega ^2}\)

\(\frac{y}{x}=-2\omega\)

\(x\)を\(\frac{y}{x}\)を使って表すと,

\(x=\frac{2}{1+(\frac{y}{x})^2}\)

\(x(1+(\frac{y}{x})^2)=2\)

\(x^2+y^2=2x\)

\((x-1)^2+y^2=1\)

 

上の式から,ナイキスト線図は,

図2.ナイキスト線図

<終>

問題3

問題3:
伝達関数が,\(G(s)=\frac{20(s+0.1)}{s(s+2)}\)であるとき,ボード線図の略図を書け。
(片対数グラフ上に線を書く。)

問題3解答

\(G(j\omega)=\frac{1+10j\omega}{j\omega(1+0.5j\omega)}\)

 

図2.ボード線図

問題4

問題4:
図のブロック線図で示される制御系で安定となる\(K\)の条件を求めよ。

問題4解答

まず,\(\frac{Y(s)}{U(s)}\)について求める。

\(\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{\frac{1}{s(s+1)}}{1+2\frac{1}{s(s+1)}}\)

\(\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+s+2}\)

続いて,\(\frac{Y(s)}{R(s)}\)を求める。

\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{ K\frac{1}{s^2+s+2}}{1+\frac{1}{s+2}K\frac{1}{s^2+s+2}}\)

\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{ K}{ s^2+s+2+\frac{1}{s+2}K}\)

\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{ K(s+2)}{ (s^2+s+2)(s+2)+K}\)

\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{ K(s+2)}{ s^3+3s^2+4s+K+4}\tag{1}\)

ここで式(1)は,ラウスの安定判別法より,分母の係数は全て正なので,

\(K>-4\)

\(s^3\)140
\(s^2\)3K+40
\(s^1\)-\frac{K+4-12}{3}=\frac{8-K}{3}00
\(s^0\)-\frac{-(K+4)\frac{8-K}{3}}{\frac{8-K}{3}}=K+400

図3.ラウス表

 

ラウス表より,\(b_1>0\),\(c_1>0\)

\(b_1=\frac{8-K}{3}>0\)

\(K<8\) \(c_1=K+4>0\)

\(-4<K\)

よって,安定条件は,

\(-4<K<8\)

<終>

 

問題5

問題5:
図のブロック線図で示される制御系で,目標値が0から1に変化したときの出力のステップ応答を求めよ。

問題5解答

(1) 解答

\(r(t)\)は,単位ステップ関数なので,\(R(s)=\frac{1}{s}\)

従って,\(Y(s)\)は

\(Y(s)=\frac{1}{s}\frac{\frac{2(s+1)}{s^2+3s+4}}{1+2\frac{s+1}{s^2+3s+4}}\)

\(Y(s)=\frac{1}{s}\frac{2(s+1)}{s^2+5s+6}\)

\(Y(s)=\frac{1}{s}\frac{2(s+1)}{(s+2)(s+3)}\)

\(Y(s)=\frac{1}{3}\frac{1}{s}-\frac{1}{s+2}+\frac{4}{3}\frac{1}{s+3}\)

ここで,両辺を逆ラプラス変換すると,

\(y(t)=\frac{1}{3}-e^{-2t}+\frac{4}{3}e^{-3t}\)

<終>

 

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まとめ

ラプラス変換表->

ラプラス変換表と微分方程式ラプラス変換は,線形な微分方程式を代数方程式に置き換える為に使われます。弊記事では,ラプラス変換表とラプラス変換を使って微分方程式を解く例題を用意しています。なお,弊記事のラプラス変換表は,著作権は発生してないため,自由に引用してもらってかまいません。...

最後に

ユキ
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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!