数学

[早技]平方根を計算する公式の導出(eやπの導出も!?)

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近,大学の専門の勉強をしていない。どうも,ユキです。

今日は,先日に記事であげた,連分数展開の話の続きで,どのようにして,連分数の公式が出てきたのか,説明します。

https://cupuasu.club/arithmetic-square-number/ 

平方根は連分数展開で計算(近似)できる

分数展開は,例えば,\(\sqrt{31}\)の連分数展開であれば,

連分数展開の公式

$$\sqrt{n}=m+\frac{n-m^2}{m+\sqrt{n}}$$

を使います。

\(n=31\)\(\sqrt{31}\)の整数部分は5なので,\(m=5\)とすると,

\(\sqrt{31}=5+\frac{6}{5+\sqrt{31}}\)

より,

\(\sqrt{31}=5+\frac{6}{10+\frac{6}{10+\frac{6}{10+\frac{6}{10+\frac{6}{10+\ddots}}}}}\)

という風に展開できます。

 

そして,今日のテーマは,どうして連分数展開の公式

\(\sqrt{n}=m+\frac{n-m^2}{m+\sqrt{n}}\)

を使うと,うまくいくのか?

また,\(e\)\(\pi\)などその他無理数でも,連分数展開が可能なのかについてお話ししていこうと思います。

連分数展開の公式を導く

\(\sqrt{n}\)\(n\)の関係は,\(n\geq 0\)とすると,

 

\((\sqrt{n})^2=n\)

 

です。ここで,\(\sqrt{n}\)の整数部分を\(m\)として,両辺を\(m^2\)で引きます。

 

\((\sqrt{n})^2-m^2=n-m^2\)

 

この式変形をして,連分数展開の公式に近づけていきます。

 

\((\sqrt{n}+m)(\sqrt{n}-m)=n-m^2\)

\((\sqrt{n}-m)=\frac{n-m^2}{m+\sqrt{n}}\)

よって,

\(\sqrt{n}=m+\frac{n-m^2}{m+\sqrt{n}}\)

となります。

平方根の連分数展開の公式は,\(\pi\)や\(e\)に使えるのか?

出過程を見ていただきましたが,一番最初の式は,

\((\sqrt{n})^2=n\)

から始まっています。ですので,この公式は,平方根を連分数展開には向いていますが,

 

\(e\)\(\pi\)を展開して導くことには対応していません。

 

\(e\)\(\pi\)では,連分数展開が不可能?

 

結論からいうと,できることにはできます。ただ,今回私が教えました展開方法だと,平方

 

根のように規則性をもった,連分数に展開できない上に,そもそも連分数展開は不可能です。

 

例えば,円周率\(\pi\)の近似値を平方数の連分数展開で出そうとします。

\(\pi\)が,3.14まで既知であるとき,

\(\pi=3+\frac{1}{\frac{1}{\pi-3}}\)

 

\(\pi=3+\frac{1}{7+\frac{1}{\pi-3}-7}\)

 

ここから,先は円周率の値を厳密に知らないので,出すことが出来ません。

 

\(e\)も同様です。

\(e\)や\(\pi\)を速いスピードで計算したい。

\(e\)\(\pi\)を連分数展開しようと思ったら,超幾何級数の連分数展開を使えば良いと思います。ただ,これが恐ろしく難しいので,オススメしません。

 

\(e\),\(\pi\)の値を出したいだけの人は,マクローリン展開でも導くことは可能ですが,収束スピードが遅いので,実用的ありません。

 

そこで,収束スピードを上げる為に,用いられるのが連分数展開です。以下の2記事は,連分数展開を使って,\(e\)と\(\pi\)を高速で計算する方法について,解説した記事になります。

\(e\)を高速で計算する方法->

[裏技]eを小数第3位まで高速に計算する方法e(ネイピア数)を高速で計算する方法を編み出しました。eはマクローリン展開の式がよく知られていますが、マクローリン展開より速いスピードで計算できるアルゴリズムが存在します。それは、連分数展開です。弊記事では、マクローリン展開と連分数展開の計算量の違いを見ることができます。...

\(\pi\)を高速で計算する方法->

[裏技公開]円周率Πの計算方法円周率πを高速で計算する裏技を見つけましたので、シェアします。結論から言うと、マクローリン展開を使った円周率の計算よりも速く計算することができます。計算方法が楽?なので、手計算で円周率を計算出来ます。...

 

以下の3記事は,円周率\(\pi\)を求める公式に関するネタ記事です。

 

https://cupuasu.club/arithmetic-infinite-integration/

無限積分というのは,積分範囲が無限大の広さをもつ積分です。

 

https://cupuasu.club/arithmetic-infinite-series/

 

 

無限級数とは,\(1+1+1+1+\cdots\)

みたいに無限に続く項のことを言います。無限に続くので省略して

\(\sum_{k=1}^{\infty}1\)

と表します。ちなみに\(1+1+1+1+\cdots\)\(-\frac{1}{2}\)になる裏技は,無限の近くで,1を小さくするというずるい技(解析接続)を使ってます。

 

https://cupuasu.club/arithmetic-infinite-product/

 

無限積というのは,\(2・2・2・\cdots\)のように無限に続く積のことです。省略して

\(\prod_{k=1}^{\infty}2\)

と表します。

平方根の計算:まとめ

ここにボックスタイトルを入力

1.平方根の近似式を計算することには長けている

2.\(e\)\(\pi\)などの無理数には対応していない

3.\(e\)\(\pi\)には手を出すな! 小数点5桁まで覚えればOKです。

最後に

無理数は正則連分数展開が無限回まで続きます。

それが,無理数たる所以です。もしも,無理数を連分数展開したいのであれば,きれいな形に展開してあげましょう。

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ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!