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最近，大学の専門の勉強をしていない。どうも，ユキです。
今日は，先日に記事であげた，連分数展開の話の続きで，どのようにして，連分数の公式が出てきたのか，説明します。
https://cupuasu.club/arithmetic-square-number/
平方根は連分数展開で計算(近似)できる
連分数展開は，例えば，\(\sqrt{31}\)の連分数展開であれば，
連分数展開の公式
$$\sqrt{n}=m+\frac{n-m^2}{m+\sqrt{n}}$$
を使います。
\(n=31\)，\(\sqrt{31}\)の整数部分は5なので，\(m=5\)とすると，
\(\sqrt{31}=5+\frac{6}{5+\sqrt{31}}\)
より，
\(\sqrt{31}=5+\frac{6}{10+\frac{6}{10+\frac{6}{10+\frac{6}{10+\frac{6}{10+\ddots}}}}}\)
という風に展開できます。
そして，今日のテーマは，どうして連分数展開の公式
\(\sqrt{n}=m+\frac{n-m^2}{m+\sqrt{n}}\)
を使うと，うまくいくのか？
また，\(e\)，\(\pi\)などその他無理数でも，連分数展開が可能なのかについてお話ししていこうと思います。
連分数展開の公式を導く
実数\(\sqrt{n}\)と\(n\)の関係は，\(n\geq 0\)とすると，
\((\sqrt{n})^2=n\)
です。ここで，\(\sqrt{n}\)の整数部分を\(m\)として，両辺を\(m^2\)で引きます。
\((\sqrt{n})^2-m^2=n-m^2\)
この式変形をして，連分数展開の公式に近づけていきます。
\((\sqrt{n}+m)(\sqrt{n}-m)=n-m^2\)
\((\sqrt{n}-m)=\frac{n-m^2}{m+\sqrt{n}}\)
よって，
\(\sqrt{n}=m+\frac{n-m^2}{m+\sqrt{n}}\)
となります。
平方根の連分数展開の公式は，\(\pi\)や\(e\)に使えるのか？
導出過程を見ていただきましたが，一番最初の式は，
\((\sqrt{n})^2=n\)
から始まっています。ですので，この公式は，平方根を連分数展開には向いていますが，
\(e\)，\(\pi\)を展開して導くことには対応していません。
\(e\)，\(\pi\)では，連分数展開が不可能？
結論からいうと，できることにはできます。ただ，今回私が教えました展開方法だと，平方
根のように規則性をもった，連分数に展開できない上に，そもそも連分数展開は不可能です。
例えば，円周率\(\pi\)の近似値を平方数の連分数展開で出そうとします。
\(\pi\)が，3.14まで既知であるとき，
\(\pi=3+\frac{1}{\frac{1}{\pi-3}}\)
\(\pi=3+\frac{1}{7+\frac{1}{\pi-3}-7}\)
ここから，先は円周率の値を厳密に知らないので，出すことが出来ません。
\(e\)も同様です。
\(e\)や\(\pi\)を速いスピードで計算したい。
\(e\)，\(\pi\)を連分数展開しようと思ったら，超幾何級数の連分数展開を使えば良いと思います。ただ，これが恐ろしく難しいので，オススメしません。
\(e\)，\(\pi\)の値を出したいだけの人は，マクローリン展開でも導くことは可能ですが，収束スピードが遅いので，実用的ありません。
そこで，収束スピードを上げる為に，用いられるのが連分数展開です。以下の2記事は，連分数展開を使って，\(e\)と\(\pi\)を高速で計算する方法について，解説した記事になります。
\(e\)を高速で計算する方法－＞
\(\pi\)を高速で計算する方法－＞
以下の3記事は，円周率\(\pi\)を求める公式に関するネタ記事です。
https://cupuasu.club/arithmetic-infinite-integration/
無限積分というのは，積分範囲が無限大の広さをもつ積分です。
https://cupuasu.club/arithmetic-infinite-series/
無限級数とは，\(1+1+1+1+\cdots\)
みたいに無限に続く項のことを言います。無限に続くので省略して
\(\sum_{k=1}^{\infty}1\)
と表します。ちなみに\(1+1+1+1+\cdots\)が\(-\frac{1}{2}\)になる裏技は，無限の近くで，1を小さくするというずるい技(解析接続)を使ってます。
https://cupuasu.club/arithmetic-infinite-product/
無限積というのは，\(2･2･2･\cdots\)のように無限に続く積のことです。省略して
\(\prod_{k=1}^{\infty}2\)
と表します。
平方根の計算：まとめ
1．平方根の近似式を計算することには長けている
2．\(e\)，\(\pi\)などの無理数には対応していない
3．\(e\)，\(\pi\)には手を出すな！ 小数点5桁まで覚えればOKです。
最後に
無理数は正則連分数展開が無限回まで続きます。
それが，無理数たる所以です。もしも，無理数を連分数展開したいのであれば，きれいな形に展開してあげましょう。
