高校数学

[裏技]eを小数第3位まで高速に計算する方法

数学の魔術師ならぬ,数学のペテン師。どうも,ユキです。

今日は,\(e\)を求めましょう。紙と鉛筆を用意してください。また,プログラミングで計算が出来る方は,プログラムを組んで,計算することを推奨します。

\(e\)の求め方

 

\(e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5+\frac{5}{6+\cdots\cdots }}}}}}\)

 

この無限に続く連分数を計算すると求まります。

 

おっと,無限回の計算は,私のような数学が得意な大学生でも不可能です。そして,プログラムを組んでも無限回の計算は不可能です。

 

では,どうやって計算するのか?

 

無限回続いているので,計算を途中で打ち切って近似値として求めましょう。

 

\(e\)の近似値を求めましょう。

 

\(e\)を求める式はこちらの式でした。

 

\(e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5+\frac{5}{6+\cdots\cdots }}}}}}\)

 

まず,この式を途中でぶった切ります。

 

\(e≒2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5+\frac{5}{6}}}}}}\)

 

\(e\)を求める式を途中で切ったので,見事に\(e\)の近似式ができあがりました。

 

後は,この式を計算してあげます。

 

\(e≒2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5+\frac{5}{6}}}}}}\)

\(=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{\frac{35}{6}}}}}}\)

\(=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{24}{35}}}}}\)

\(=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{\frac{164}{35}}}}}\)

\(=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{105}{164}}}}\)

\(=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{\frac{597}{164}}}}\)

\(=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{328}{597}}}\)

\(=2+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1522}{597}}}\)

\(=2+\frac{1}{1+\frac{597}{1522}}\)

\(=2+\frac{1}{\frac{2119}{1522}}\)

\(=2+\frac{1522}{2119}\)

\(=2.7182633318\cdots\)

 

\(e\)の真値は,2.718281828\(\cdots\)で,近似式と有効数字4桁まで一致しています。この結果を見てあなたは\(e\)を求めるのは面倒くさいと感じましたか?それとも,速い!と感じましたか?

実際に計算

 

\(=2+\frac{1}{1}\)3
\(=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}\)2.\(\dot{6}\)
\(=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3}}}\)2.\(\dot{7}{2}\)
\(=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4}}}}\)2.7169811\(\cdots\)
\(=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5}}}}}\)2.71844660\(\cdots\)
\(=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5+\frac{5}{6}}}}}}\)2.1782633318\(\cdots\)
\(=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5+\frac{5}{6+\frac{6}{7}}}}}}}\)2.7182836938\(\cdots\)

 

この結果から,連分数を多く残して計算してあげると,\(e\)の近似式の精度は上がることがわかります。

\(e\)の近似式のスピードの比較

\(e\)の求め方を先ほどの式の他に2つご紹介しましょう。

 

1つ目は,高校数学で出てくる式

$$e=\displaystyle \lim_{0 \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n\tag{1}$$

 

2つ目は,大学数学の微分積分学で出てくる式

$$e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\tag{2}$$

この式は,\(e^x\)をマクローリン展開して得られる数式です。

 

この2つの式は表し方を変えただけで,本質的には同じものです。

連分数展開近似による\(e\)の近似値マクローリン展開近似による\(e\)の近似値
32
2.\(\dot{6}\)2.5
2.\(\dot{7}{2}\)2.\(\dot{6}\)
2.7169811\(\cdots\)2.708\(\dot{3}\)
2.71844660\(\cdots\)2.71\(\dot{6}\)
2.1782633318\(\cdots\)2.718056\(\cdots\)
2.7182836938\(\cdots\)2.718254\(\cdots\)

\(e\)の真値は,2.718281984\(\cdots\)くらいです。連分数展開の方がマクローリン展開よりも,収束が速いことが見て取れます。

 

連分数展開を使った\(e\)の近似値の求め方は,この3つの中では最速で求めることが出来ます。更に、その気になれば,近似値をさらに速く計算する方法を作り出すことも出来ます。

しかしながら,更に速いスピードで近似値を求める為には,連分数の式を連分数で微調整しなければならないので,かなり厄介です。興味がある人は微調整して,更に\(e\)を速く求める式を編み出してください。

最後に

ネイピア数の値をどうしても思い出せないという方は,\(e\)の連分数展開を思い出していただいて,近似値を求めていただきたいです。また,\(e\)の近似値をプログラミングで厳密に計算する際は,わずかながらに誤差があることを念頭に置きつつ,計算をしてください。

私が計算したときは,小数点第15位が限界でした。

 

https://ci.nii.ac.jp/naid/110002333727

\(e\)の連分数展開を引用

https://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/pi2002.pdf

\(\pi\)の連分数展開を引用

http://kk62526.server-shared.com/pi/Acceleration.html

級数の収束を加速させる為の補正項に関する記事が書かれているサイト



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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!