数学検証

【検証】ピースの角度を無限積分で表してみたwww【理系のおふざけ】

ユキ
ユキ
ピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)。どうも,ユキです。

今日は,ピースの角度(単位はラジアン)を無限積分で表していこうと思います。

前回に引き続き,名前がゆから始まってぬで終わるyoutuberのはじめの挨拶です。

前回同様,無限積分で表すピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)に設定させていただきます。(自明)

Let’s integral

今回の記事を読むメリット

・ピースの角度を無限積分で求めることができる。

ピースの角度は2種類の表し方がある?

角度を表すには2種類あり、

・度数法…度で表す

・弧度法…\(\pi\)で表す

です。

普段皆さんは,ピースの角度を測るときは分度器を使うと思います。

ここで,大抵の人は分度器に指し示してある値を読む場合は,度数法で読みます。

しかしながら,そこで普通に読まない人も中には存在します。

具体例を出すと,分度器に指し示してある値の\(\frac{\pi}{180}\)を掛けた値,すなわち,弧度法で読む人もいます。

具体例を出すと,

「ピースの角度は30°」が度数法

「ピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)」が弧度法

になります。

ピースの角度を無限積分で表す際のルール

今回は,無限積分縛りでやっていこうと思います。

ですので,使って良い記号は,\(\sum\),整数n,四則演算,有理数の累乗,ネイピア数などはつかってよいことにします。

つかってはいけない記号は\(\pi\)で,無限積分を使わずにピースの角度を表してしまった場合も失格とします。

ここで,解析接続は無しとさせていただきます。

「ピースの角度は\(\frac{1}{6}(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)^2\)」

読み方「ピースの角度は\(\frac{1}{6}\)かけるインテグラルマイナス無限大から無限大までのe

の-x2dx2乗」

この式は,ガウス積分という特殊な無限積分を用いてピースの角度を表しています。元の式はこちら,

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$$

 

<検算>

 

このガウス積分の両辺を2乗して,6で割ってあげれば,求めるピースの角度が求まります。

 

「ピースの角度は\(\frac{1}{3}(\int_{-\infty}^{\infty}sinx^2 dx)^2\)」

読み方「ピースの角度は\(\frac{1}{3}\)かけるインテグラルマイナス無限大から無限大までのサインxの二乗dx2乗」

この式は,フレネル積分という無限積分を用いてピースの角度を表しています。元の式はこちら,

$$\int_{-\infty}^{\infty}sinx^2dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$

または,

$$\int_{-\infty}^{\infty}cosx^2dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$

 

<検算>

 

このフレネル積分の両辺を二乗して,3で割ってあげれば,求めるピースの角度が求まります。

【無限積分】ピースの角度のまとめ

【無限積分】ピースの角度のまとめ

\(\frac{1}{6}(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)^2\

\(\frac{1}{3}(\int_{-\infty}^{\infty}sinx^2 dx)^2\)

最後に

今回の記事は,積分は単にともぞうの頭の体積を求めたり,波平の落下速度をもとめたりするだけではなく,ピースの角度(単位はラジアン)まで表せるということを体験していただきたかったが為に作成しました。

(追記)ピースの角度を無限級数・無限積で表してみた:

【検証】ピースの角度を無限級数で表してみたwww【理系のおふざけ】ピースの角度はπ/6(単位はラジアン)でとどまって良いのか?もっと知的なピースの角度の表し方はないのか?と考えて生み出されたのがこの記事です。ピースの角度を無限級数縛りで表します。ちなみにπは無理数なので,無限和になって初めて現れます。...
【検証】ピースの角度を無限積で表してみたwww【理系のおふざけ】今日は,ピースの角度を無限積(総乗)で表していこうと思います。無限積とは1×2×3×4×5‥‥のように無限に続く積のことを言います。このフレーズの元ネタは,人気女性youtuber「ゆきりぬ」氏のはじめの挨拶です。もしも、ゆきりぬさんの冒頭の挨拶がとてつもなく長かったら、という妄想から生まれた記事です。...
ABOUT ME
ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!