数学検証

【検証】ピースの角度を無限級数で表してみたwww【理系のおふざけ】

ユキ
ユキ

ピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)[rad]。どうも,ユキです。

今日は,ピースの角度(単位はラジアン)を無限級数で表していこうと思います。

お気づきかもしれませんが,このフレーズの元ネタは,人気女性youtuberゆきりぬさんのはじめの挨拶です。

ここでは,無限級数で表すピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)に設定させていただきます。(自明)

 今回行うのは,動画を見てピースの角度を見るというものではなく,\(\frac{\pi}{6}\)の導出です。

悪しからずご了承ください。

今回の記事を読むメリット

・角度の表し方がわかる

・ピースの角度を無限級数で求めることができる

ピースの角度は2種類の表し方がある?

角度を表すには2種類あり、

・度数法…度で表す

・弧度法…\(\pi\)で表す

です。

普段皆さんは,ピースの角度を測るときは分度器を使うと思います。

ここで,大抵の人は分度器に指し示してある値を読む場合は,度数法で読みます。

しかしながら,そこで普通に読まない人も中には存在します。

具体例を出すと,分度器に指し示してある値の\(\frac{\pi}{180}\)を掛けた値,すなわち,弧度法で読む人もいます。

具体例を出すと,

「ピースの角度は30°」が度数法

「ピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)」が弧度法

になります。

ピースの角度を無限級数で表す際のルール

今回は,無限級数縛りでやっていこうと思います。

ですので,使って良い記号は,\(\sum\),整数n,四則演算,有理数の累乗,ネイピア数などはつかってよいことにします。

つかってはいけない記号は\(\pi\)で,無限級数を使わずにピースの角度を表してしまった場合も失格とします。

ここで,解析接続は無しとさせていただきます。

無限級数でピースの角度を求める①

読み方「ピースの角度は\(\frac{2}{3}\)かけるシグマ\(n=1\)から無限大までの(-1)\(n-1\)乗かける\(\frac{1}{2n-1}\)

この式は,\(tan^{-1}x\)のマクローリン展開を用いてはじき出されたピースの角度です。

元の式は,こちら

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=\frac{\pi}{4}$$

無限級数でピースの角度を求める②

読み方「ピースの角度はルート\(\frac{1}{\pi}\)かける\(n=1\)から無限大までの\(\frac{1}{n^2}\)」

または,\(\zeta\)関数を使った読み方を使うとちょっと楽になります。

読み方「ピースの角度はルート\(\frac{1}{6}\)かけるゼータ2

 

この式は,\(\zeta\)関数を変形してはじき出されたピースの角度です。

元の式は,こちら

$$\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

<検算>

ここで,求めるピースの角度を\(\theta\)とおくと,\(\frac{\pi^2}{6}\)は次のように表されます。

$$\frac{\pi^2}{6}=6\theta^2$$

あとは,\(\frac{\pi^2}{6}\)に無限級数を代入すれば,求めるピースの角度になります。

【無限級数】ピースの角度のまとめ

ピースの角度(無限級数)のまとめ

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}*\frac{2}{3}=\frac{\pi}{6}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}*\frac{1}{\pi}=\frac{\pi}{6}$$

最後に

勉強は,インパクトが大事です。

インパクトが強いと記憶に残ります。語呂合わせは,語呂合わせが変であることに強いインパクトを受けるから,覚えられるのです。

私は,皆さんに日常を面白おかしく生きてほしいので,数学に関する情報をこれからも発信していきます。 

さぁみんなで一緒に「ピースの角度はルート\(\frac{1}{\pi}\)かける\(n=1\)から無限大までの\(\frac{1}{n^2}\!」

 

(追記)ピースの角度を無限積分・無限積で表してみた:

【検証】ピースの角度を無限積分で表してみたwww【理系のおふざけ】無限積分しばりで,Let’s integral。ピースの角度(単位はラジアン)を表していきます。積分は,ともぞうの頭の体積を求めたり,波平の落下速度をもとめたりするだけではなく,ピースの角度にまで及んでいると言うことを是非学んでいただきたいです。積分の可能性を最大限に活かすことが私の役目です。...
【検証】ピースの角度を無限積で表してみたwww【理系のおふざけ】今日は,ピースの角度を無限積(総乗)で表していこうと思います。無限積とは1×2×3×4×5‥‥のように無限に続く積のことを言います。このフレーズの元ネタは,人気女性youtuber「ゆきりぬ」氏のはじめの挨拶です。もしも、ゆきりぬさんの冒頭の挨拶がとてつもなく長かったら、という妄想から生まれた記事です。...
ABOUT ME
ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!