ピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)[rad]。どうも，ユキです。
今日は，ピースの角度(単位はラジアン)を無限級数で表していこうと思います。
お気づきかもしれませんが，このフレーズの元ネタは，人気女性youtuberゆきりぬさんのはじめの挨拶です。
ここでは，無限級数で表すピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)に設定させていただきます。(自明)
今回行うのは,動画を見てピースの角度を見るというものではなく,\(\frac{\pi}{6}\)の導出です。
悪しからずご了承ください。
今回の記事を読むメリット
・角度の表し方がわかる
・ピースの角度を無限級数で求めることができる
ピースの角度は2種類の表し方がある？
角度を表すには2種類あり、
・度数法…度で表す
・弧度法…\(\pi\)で表す
です。
普段皆さんは，ピースの角度を測るときは分度器を使うと思います。
ここで，大抵の人は分度器に指し示してある値を読む場合は，度数法で読みます。
しかしながら，そこで普通に読まない人も中には存在します。
具体例を出すと，分度器に指し示してある値の\(\frac{\pi}{180}\)を掛けた値，すなわち，弧度法で読む人もいます。
具体例を出すと，
「ピースの角度は30°」が度数法
「ピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)」が弧度法
になります。
ピースの角度を無限級数で表す際のルール
今回は，無限級数縛りでやっていこうと思います。
ですので，使って良い記号は，\(\sum\)，整数n，四則演算，有理数の累乗，ネイピア数などはつかってよいことにします。
つかってはいけない記号は\(\pi\)で，無限級数を使わずにピースの角度を表してしまった場合も失格とします。
ここで，解析接続は無しとさせていただきます。
無限級数でピースの角度を求める①
読み方「ピースの角度は\(\frac{2}{3}\)かけるシグマ\(n=1\)から無限大までの(-1)の\(n-1\)乗かける\(\frac{1}{2n-1}\)」
この式は，\(tan^{-1}x\)のマクローリン展開を用いてはじき出されたピースの角度です。
元の式は，こちら
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=\frac{\pi}{4}$$
無限級数でピースの角度を求める②
読み方「ピースの角度はルート\(\frac{1}{\pi}\)かける\(n=1\)から無限大までの\(\frac{1}{n^2}\)」
または，\(\zeta\)関数を使った読み方を使うとちょっと楽になります。
読み方「ピースの角度はルート\(\frac{1}{6}\)かけるゼータ2」
この式は，\(\zeta\)関数を変形してはじき出されたピースの角度です。
元の式は，こちら
$$\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$
<検算>
ここで，求めるピースの角度を\(\theta\)とおくと，\(\frac{\pi^2}{6}\)は次のように表されます。
$$\frac{\pi^2}{6}=6\theta^2$$
あとは，\(\frac{\pi^2}{6}\)に無限級数を代入すれば，求めるピースの角度になります。
【無限級数】ピースの角度のまとめ
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}*\frac{2}{3}=\frac{\pi}{6}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}*\frac{1}{\pi}=\frac{\pi}{6}$$
最後に
勉強は，インパクトが大事です。
インパクトが強いと記憶に残ります。語呂合わせは，語呂合わせが変であることに強いインパクトを受けるから，覚えられるのです。
私は，皆さんに日常を面白おかしく生きてほしいので，数学に関する情報をこれからも発信していきます。
さぁみんなで一緒に「ピースの角度はルート\(\frac{1}{\pi}\)かける\(n=1\)から無限大までの\(\frac{1}{n^2}\！」
（追記）ピースの角度を無限積分・無限積で表してみた：
