ピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)。どうも，ユキです。
今回は，ピースの角度(単位はラジアン)を無限積(総乗)で表していこうと思います。
無限積とは1×2×3×4×5‥‥のように無限に続く積のことを言います。
このフレーズの元ネタは，人気女性youtuber「ゆきりぬ」氏のはじめの挨拶です。
ここでは，無限積で表すピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)に設定させていただきます。(自明)
これまでのピースの角度の記事。
今回の記事を読むメリット
・ピースの角度を無限積で求めることができる。
ピースの角度は2種類の表し方がある？
角度を表すには2種類あり、
・度数法…度で表す
・弧度法…\(\pi\)で表す
です。
普段皆さんは，ピースの角度を測るときは分度器を使うと思います。
ここで，大抵の人は分度器に指し示してある値を読む場合は，度数法で読みます。
しかしながら，そこで普通に読まない人も中には存在します。
具体例を出すと，分度器に指し示してある値の\(\frac{\pi}{180}\)を掛けた値，すなわち，弧度法で読む人もいます。
具体例を出すと，
「ピースの角度は30°」が度数法
「ピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)」が弧度法
になります。
ピースの角度を無限積で表す際のルール
今回は，無限積縛りでやっていこうと思います。
ですので，使って良い記号は，\(\sum\)，整数n，四則演算，有理数の累乗，ネイピア数などはつかってよいことにします。
つかってはいけない記号は\(\pi\)で，無限積を使わずにピースの角度を表してしまった場合も失格とします。
ここで，解析接続は無しとさせていただきます。
「ピースの角度は\((3\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots\)」
読み方「ピースの角度は3かけるパイ\(n=1\)から無限大までのコサイン\(\frac{\pi}{2^{n+1}}\)」です。
この式は，ヴィエトの公式を式変形して出されたピースの角度です。元の式は，こちら
$$\frac{2}{\pi}=\prod_{n=1}^{\infty}cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots$$
結果、「ゆきりぬ」氏の冒頭の挨拶をとてつもなく長くするためには、ヴィエトの公式を使えばよいということがわかりました
<検算>
ヴィエトの公式を３倍した数式に逆数をとると，ピースの角度\(\theta\)がもとまります。
「ピースの角度は\(\frac{1}{3}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}\)」
読み方「ピースの角度は\(\frac{1}{3}\)かけるパイ\(n=1\)から無限大までの\(\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}\)」
この式は，ウォリスの公式を式変形して出されたピースの角度です。元の式は，こちら
$$\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{\pi}{2}$$
<検算>
ウォリスの公式に\(\frac{1}{3}\)をかけると，ピースの角度\(\theta\)がもとまります。
【無限積】ピースの角度のまとめ
\((3\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots\)
\(\frac{1}{3}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}\)」
最後に
これまでに，無限級数，無限積分，そして今回の無限積。
全て共通して無限という言葉がはいっています。
その理由は、皆さんに無限に続く式の面白さをピースの角度を通して,知っていただきたいという目的と、
「ピースの角度は無限の可能性を秘めている」
ということを伝えたかったので、ピースの角度を無限で表すことに決めました。
（追記）ピースの角度を無限級数・無限積分で表してみた
