数学検証

【検証】ピースの角度を無限積で表してみたwww【理系のおふざけ】

ユキ
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ピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)。どうも,ユキです。

今回は,ピースの角度(単位はラジアン)を無限積(総乗)で表していこうと思います。

無限積とは1×2×3×4×5‥‥のように無限に続く積のことを言います。

このフレーズの元ネタは,人気女性youtuber「ゆきりぬ」氏のはじめの挨拶です。

ここでは,無限積で表すピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)に設定させていただきます。(自明)

これまでのピースの角度の記事。

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今回の記事を読むメリット

・ピースの角度を無限積で求めることができる。

ピースの角度は2種類の表し方がある?

角度を表すには2種類あり、

・度数法…度で表す

・弧度法…\(\pi\)で表す

です。

普段皆さんは,ピースの角度を測るときは分度器を使うと思います。

ここで,大抵の人は分度器に指し示してある値を読む場合は,度数法で読みます。

しかしながら,そこで普通に読まない人も中には存在します。

具体例を出すと,分度器に指し示してある値の\(\frac{\pi}{180}\)を掛けた値,すなわち,弧度法で読む人もいます。

具体例を出すと,

「ピースの角度は30°」が度数法

「ピースの角度は\(\frac{\pi}{6}\)」が弧度法

になります。

ピースの角度を無限積で表す際のルール

今回は,無限積縛りでやっていこうと思います。

ですので,使って良い記号は,\(\sum\),整数n,四則演算,有理数の累乗,ネイピア数などはつかってよいことにします。

つかってはいけない記号は\(\pi\)で,無限積を使わずにピースの角度を表してしまった場合も失格とします。

ここで,解析接続は無しとさせていただきます。

「ピースの角度は\((3\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots\)

読み方「ピースの角度は3かけるパイ\(n=1\)から無限大までのコサイン\(\frac{\pi}{2^{n+1}}\)」です。

この式は,ヴィエトの公式を式変形して出されたピースの角度です。元の式は,こちら

$$\frac{2}{\pi}=\prod_{n=1}^{\infty}cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}$$

$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots$$

結果、「ゆきりぬ」氏の冒頭の挨拶をとてつもなく長くするためには、ヴィエトの公式を使えばよいということがわかりました

<検算>

 

ヴィエトの公式を3倍した数式に逆数をとると,ピースの角度\(\theta\)がもとまります。

 

「ピースの角度は\(\frac{1}{3}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}\)

読み方「ピースの角度は\(\frac{1}{3}\)かけるパイ\(n=1\)から無限大までの\(\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}\)

 

この式は,ウォリスの公式を式変形して出されたピースの角度です。元の式は,こちら

$$\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{\pi}{2}$$

<検算>

 

ウォリスの公式に\(\frac{1}{3}\)をかけると,ピースの角度\(\theta\)がもとまります。

【無限積】ピースの角度のまとめ

【無限積】ピースの角度まとめ

\((3\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots\)

\(\frac{1}{3}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}\)

最後に

これまでに,無限級数,無限積分,そして今回の無限積。

全て共通して無限という言葉がはいっています。

その理由は、皆さんに無限に続く式の面白さをピースの角度を通して,知っていただきたいという目的と、

「ピースの角度は無限の可能性を秘めている」

ということを伝えたかったので、ピースの角度を無限で表すことに決めました。

 

(追記)ピースの角度を無限級数・無限積分で表してみた

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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!