[裏技公開]円周率Πの計算方法

数学の魔術師ならぬ，数学のペテン師。どうも，ユキです。今日は，円周率(\(\pi\))を求めましょう。紙と鉛筆を用意してください。また，プログラミングで計算が出来る方は，プログラムを組んで，計算することを推奨します。

円周率\(\pi\)の求め方

結論から言うと，以下の無限に続く連分数を計算することで，円周率を求めることができます。

\(\pi=\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9\cdots}}}}}\)

ただし，無限回の計算は，日本のスーパーコンピュータ「京」でも不可能ですし，計算能力がスーパーコンピュータ以上の量子コンピューターでも無理です。

なので，連分数を途中でぶった切りましょう。

\(\pi≒\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9}}}}}\)

連分数を途中で切ったので，上の式は\(\pi\)の近似式になります。上の近似式を計算していきます。

\(\pi≒\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9}}}}}\)

\(=\frac{4}{1+\frac{1}{3+\frac{4}{5+\frac{9}{7+\frac{16}{9}}}}}\)

\(=\frac{4}{1+\frac{1}{3+\frac{4}{5+\frac{9}{\frac{79}{9}}}}}\)

\(=\frac{4}{1+\frac{1}{3+\frac{4}{5+\frac{81}{79}}}}\)

\(=\frac{4}{1+\frac{1}{3+\frac{4}{\frac{476}{79}}}}\)

\(=\frac{4}{1+\frac{1}{3+\frac{316}{476}}}\)

\(=\frac{4}{1+\frac{1}{3+\frac{79}{119}}}\)

\(=\frac{4}{1+\frac{1}{\frac{436}{119}}}\)

\(=\frac{4}{1+\frac{119}{436}}\)

\(=\frac{4}{\frac{555}{436}}\)

\(=\frac{1744}{555}\)

\(=3.14234\cdots\)

\(\pi\)の真値は，3.141592\(\cdots\)なので，小数点以下2桁まで一致させることが出来ました。

円周率\(\pi\)の近似値を精度の低い順に並べました。

\(\frac{4}{1}\)	4
\(\frac{4}{1+\frac{1^2}{3}}\)	3
\(\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5}}}\)	3.1\(\dot{6}\)
\(\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7}}}}\)	3.13725\(\cdots\)
\(\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9}}}}}\)	3.14234\(\cdots\)
\(\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\frac{5^2}{11}}}}}}\)	3.14146\(\cdots\)
\(\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\frac{5^2}{11+\frac{6^2}{13}}}}}}}\)	3.14161\(\cdots\)