どうも，ユキです。
いきなりですが3つの質問をします。
質問1：\(2･4\)と\(3^2\)はどちらが大きいですか？
質問2：\(554･556\)と\(555^2\)はどちらが大きいですか?
質問3：\(k\neq \frac{1}{2}\)のとき，\(\frac{(2k)(2k-2)}{(2k-1)^2}<1\)を示せますか?
質問の答え
質問1の答え
答えは，\(3^2\)です。
\(2･4=8\)，\(3^2=9\)
より，
\(2･4\)<\(3^2\)
が成立します。
「何を当たり前のことを言っているんだ」と思われるかもしれませんが，次に行きます。
質問2の答え
答えは，\(555^2\)です。
\(554･556\)と\(555^2\)，それぞれインド式計算を使って計算すると，
\(554･556=100(55+56)+4･6=308024\)
\(555･555=100(55+56)+5･5=308025\)
より，
\(554･556<555^2\)
もしくは，あなたが勘の良いガキであれば，上の不等式を次のようにして導くでしょう。
\(554･556=(555-1)(555+1)=555^2-1\)
\(555^2=555^2\)
\(555^2-1<555^2\)
より，
\(554･556<555^2\)
という方法でも導けます。実は，\(2･4\)<\(3･3\)も計算せずに同じように示すことができました。
\(2･4=(3-1)(3+1)=3^2-1\)
\(3^2-1<3^2\)
\(2･4<3^2\)
質問3答え
これも，先程の2つの不等式のようにすれば導けます。なので，先程の不等式と形を一緒にしましょう。
\(\frac{(2k)(2k-2)}{(2k-1)^2}<1\)
両辺を\((2k-1)^2\)倍すると，
この不等式を示せばいいので，先ほどと同じように，
\({(2k-1)+1}{(2k-1)-1}=(2k-1)^2-1\)
と変形できます。
\((2k-1)^2-1<(2k-1)^2\)
よって，
\((2k)(2k-2)<(2k-1)^2)\)
さらに，両辺を\(\frac{1}{(2k-1)^2}\)倍すると，
\(\frac{(2k)(2k-2)}{(2k-1)^2}<1\)
となり，示すことが出来ました。
結論
$$\frac{(2k)(2k-2)}{(2k-1)^2}<1$$
結論：平方数は2つの自然数の積よりも大きい
最後に
この記事は，人狼確率論という記事から派生した内容になっています。人狼ゲームが不得意な方，人狼確率論に興味がある方はこちらの記事も一読していただけると助かります。
