今回は，人狼ゲームで，村人が連続でつられる確率は，\(\int_{k=1}^{n}sin^nx dx\)という積分を使って表すことが出来る、ということを話していこうと思います。
これまでも人狼ゲームに関する記事を書いているので,よかったら読んでください。
人狼ゲームで，村人が\(m\)日連続でつられる確率
せっかくですから，問題形式を作ってみました。
ですが，この問題はそこそこ難しいので，結果だけ知りたいという人は，まとめだけでも見ていってください。
自作問題
問題1：次の文は，人狼ゲームにまつわる問いである。問題文を読んで次の問いに答えよ
人狼が1人で，村人が\(n-1\)の合計\(n\)人の\(n\)人村を考える。人狼は毎日，1日の終わりに1人ずつ捕食するので，人狼を処刑したい。そこで，\(n\)人村の住民は毎日，昼に集まって，1人ずつランダムに処刑することにした。
ただし，処刑は，人狼がいなくなるまでの間だけ続き，「占い師」，「霊能者」，「狂人」，「ハンター」など特殊な役職についている人はいないものとする。
(1) 1日目の昼に，村人が処刑される確率\(a_1\)をもとめよ。
(2) 2日目の昼に，村人が処刑される確率\(a_2\)をもとめよ
(3) \(k\)日目の昼に，村人が処刑される確率\(a_k\)をもとめよ。
(4) \(n\)が奇数のとき，
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^nx dx=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{4}{5}\frac{2}{3}1$$
となり，\(n\)が偶数のとき，
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^nx dx=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}$$
となることを部分積分を用いて示せ。
(5) (4)の結果を用いて，\(k\)日目の昼に，村人が処刑される確率\(a_k\)を積分の形で表せ。ただし，\(n\)は奇数とし，\(n>2k\)とする。
(6) \(n\)が偶数である場合の\(a_k\)を積分の形で表せ，ただし，\(n>2k+1\)とする。
自作問題の解答
解答(1)
\(n\)人の中から，村人\(n-1\)人の誰かが処刑されればよいので，
$$a_1=\frac{n-1}{n}$$
解答(2)
1日目の昼に村人が処刑され，かつ2人目に村人が処刑されればよい。
ただし，1日目と2日目で\(n\)人村から村人2人減っていることを考慮すると，2日目の\(n\)人村人の人数は，\(n-1-1=n-2\)人となる。
よって，1日目の昼に村人が処刑され，かつ2人目に村人が処刑される確率\(a_2\)は，
$$a_2=a_1\times \frac{n-3}{n-2}=\frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2}$$
解答(3)
確率\(a_k\)は，1日目から\(k\)日目まで村人が処刑され続ける確率なので，
$$a_k=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{n-2k+1}{n-2k+2}$$
解答(4)
\(I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^n x dx\)とおくと，
$$ I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n-1} x sin xdx $$
ここで，部分積分を使うと，
$$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n-1} x (-cos x) dx $$
$$=[ sin^{n-1} x (-cos x) ]_{0}^\frac{\pi}{2} -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}( sin^{n-1} x )’ (-cos x) dx $$
$$=0-(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n-2} x (cos x)(-cos x) dx $$
$$=(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n-2} x (cos^2 x) dx $$
$$=(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n-2} x (1- sin^2 x) dx $$
$$=(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n-2} x dx- (n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n} x dx $$
ここで，\( I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^n x dx \)，\( I_{n-2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n-2} x dx \)より，
$$=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n$$
元の式が\(I_n\)なので，
$$I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n $$
$$I_n=\frac{n-1}{n} I_{n-2}$$
\(n\)が奇数であることを利用すると，\(I_n\)は，
$$ I_n=\frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} I_{n-4}$$
$$ I_n=\frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \frac{n-5}{n-4}I_{n-6}$$
$$ I_n=\frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{4}{5} \frac{2}{3}I_1$$
ここで，\(I_1\)について，
$$I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin x dx=1$$
より，
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^nx dx=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{4}{5}\frac{2}{3}1$$
\(n\)が偶数の場合は，先ほど同様に式変形をすると，
$$ I_n=\frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{3}{4}\frac{1}{2}I_0$$
ここで，\(I_0\)について，
$$I_0=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx=\frac{\pi}{2}$$
より，
$$ I_n=\frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}$$
<終>
解答(5)
\(a_k\)を次のように変形させる
$$a_k=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}･\cdots･\frac{n-2k+1}{n-2k+2} \frac{n-2k-1}{n-2k}･\cdots･\frac{2}{3}1$$
$$÷\frac{n-2k-1}{n-2k}･\cdots･\frac{2}{3}1$$
そうすると，解答(4)で用いた\(I_n\)を使って\(a_k\)が表せる
$$a_k=I_n÷I_{n-2k}$$
よって，\(a_k\)は，
$$a_k=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^nx dx÷\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n-2k}xdx$$
解答(6)
\(a_k\)を変形すると，
$$a_k=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}･\cdots･\frac{n-2k+1}{n-2k+2} \frac{n-2k-1}{n-2k}･\cdots･\frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}$$
$$÷\frac{n-2k-1}{n-2k}･\cdots･\frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}$$
\(I_n\)を使って，\(a_k\)が表せる
$$a_k=I_n÷I_{n-2k}$$
よって，\(a_k\)は，
$$a_k=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^nx dx÷\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n-2k}x dx $$
\(n\)人村，1人狼のとき、人狼が勝つ確率を\(a_n\)とする。
(1)\(n\)が奇数のとき，
\(a_n=\frac{(n-1)!!}{n!!}\)
(2)\(n\)が偶数のとき
\(a_n=2\frac{(n-1)!!}{n!!}\)
と，前回の記事でもとめていた。これらを積分の形で表すと，
(1)\(n\)が奇数のとき，
\(a_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^nx dx\)
(2)\(n\)が偶数のとき
\(a_n=\pi \times \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^nx dx\)
https://cupuasu.club/html-tag-no1/
人狼積分：まとめ
･人狼が1人で，\(k\)日目まで，人狼が生き残っている確率\(a_k\)は，
$$a_k=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^nx dx÷\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n-2k}x dx$$
･\(n\)が奇数のとき，
$$a_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^nx dx$$
･\(n\)が偶数のとき
$$a_n=\pi \times \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^nx dx$$
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最後に
まさか，人狼の勝つ確率を積分で無理矢理表すとは思わなかったでしょう。
人狼の勝つ確率を求める確率の近似式も，この部分積分の結果がわずかに反映されています。
『人狼積分』
良い響きですね。
