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価値関数|人が損失を嫌がる理由[数学×マーケティング]

ユキ
ユキ
機材の購入によって,5,000円が吹っ飛んだ。どうも,ユキです。実は最近,動画投稿を
始めました。
今日は,価値関数に関するお話をします。

価値関数とは?

価値関数は、プロスペクト理論に出てくる関数の一種です。

価値関数\(f(x)\),実際の価値を\(x\)とすると,

\(f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
x^{\alpha}\\
-λ(-x)^{\beta}
\end{array}
\right.
\)

※\(0<\alpha<1,0<\beta<1,λ>1\)

と表されます。

グラフを書くとこんな感じ

図1.\(\alpha=\beta=0.88,λ=2.25\)

 

例えば,あなたが1万円を手に入れると\(x=1万円\),体感する価値は\(f(1万円)\)となります。

逆に,あなたが1万円を失うと\(x=-1万円\),体感する価値は\(f(-1万円)\)となります。

価値関数を分析

価値関数の\(\alpha,\beta,λ\)をそれぞれ,0.88,0.88,2.25として計算してみました。
\(x\)が―5万円~+5万円の範囲で価値関数\(f(x)\)を計算すると,次のようになりました。

\(x\)\(f(x)\)
―5万円-30709
―4万円-25235
―3万円-19591
―2万円-13712
―1万円-7450
0円0
1万円-3311
2万円-6094
3万円-8707
4万円-11215
5万円13649

 

金額\(|x|\)が2倍になっても,実際に体感する価値\(f(x)\)は,2倍より低くなります。

このことから,価値\(f(x)\)は,金額\(|x|\)が大きくなるにつれて増加率が逓減することがわかります。

また,価値関数\(f(x)\)について,\(\alpha=\beta\)とおくと,

\(f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
x^{\alpha}\\
-λ(-x)^{\alpha}
\end{array}
\right.\)

となります。このことから,得よりも損失の方がλ培だけ苦痛に感じます。

グラフによると,\(λ=2.25\)より得よりも損失の方が2.2~2.3倍くらい苦痛に感じるということがわかります。

次に,\(x\)円の損失は,何円の利益に相当するのかを計算します。

+の価値関数を\(f_1(x)\),―の価値関数を\(f_2(x)\)と定義すると,

\(f_1(x)=x^{\alpha}\),\(f_2(x)=-λ(-x)^{\alpha}\)とおけます。

\(\underbrace{f_1(x)}_{+の価値関数}+\underbrace{f_2(x)}_{-の価値関数}=0\)とおくと,

\( x^{\alpha}+( -λ(-x)^{\alpha})=0\)

\(x^{\alpha}=λ(-x)^{\alpha}=0\)

よって,

\(\underbrace{x}_{利益}=λ^{\frac{1}{\alpha}}\underbrace{(-x)}_{損}\)

となりました。

このことから,\(x\)円の損失によるショックは,\(λ^{\frac{1}{\alpha}}x\)円の利益による喜びに匹敵するということがわかります。

また,価値関数のグラフによると,\(λ=2.25,\alpha=\beta=0.88\)より,

\(λ^{\frac{1}{\alpha}}=2.25^{\frac{1}{0.88}}=2.51\)

\(x\)円の損失によるショックは,\(2.5x\)円相当の利益による喜びに匹敵する

ということがわかります。

価値関数の特徴

価値関数を数学的に分析した結果以下の事がわかりました。

1. 金額|x|が大きくなるにつれて\(f(x)\)の増加率は次第に低下する
2. 得よりも損失の方が2.2~2.3倍くらい苦痛に感じる
3. \(x\)円の損失によるショックは,\(2.5x\)円相当の利益による喜びに匹敵する

人間は,極度に損失を嫌う傾向があるということがわかりました。

価値関数|応用

価値関数からわかる人間の行動及び陥りやすい心理状態を2つご紹介します。

1. 損失回避性
2. フレーミング効果

損失回避性

 

損失回避性は,その名前の通り人間が損失を嫌う傾向があることをいいます。

損失回避性に関する具体例を2つ程だします。

具体例1

以下の2つのくじをあなたは選ぶことができます。片方しか選べないとき,どちらのくじを選びますか?

1) 必ず5万円が当たるくじ
2) 1/2の確率で10万円が当たり,1/2の確率で0円のくじ

 

この場合は,多くの人は「1) 必ず5万円が当たるくじ」を選びます。なぜなら,2)の選択肢を選ぶと1/2の確率で5万円の損失を被るからです。

 

では,次の例はどうでしょう?

 

具体例2

1) 必ず5万円の罰金を払わないといけない
2) 1/2の確率で10万円を払わないといけないが,1/2の確率で罰金が0円

 

このように,先ほどと条件を変えると,「2) 1/2の確率で10万円を払わないといけないが,1/2の確率で罰金が0円」という選択肢を選ぶ人の割合が多くなります。

 

リスク志向的」な人は,2)を選び続け,「リスク回避的」な人は,1)を選び続けます。

では,具体例1で1)を選び,具体例2で2)を選んだ人の思考はどうなっているのでしょうか?

 

実際に計算してみます。

具体例1―1)の得られる価値の期待値\(1×f(5万円)=13649\)
具体例1―2)の得られる価値の期待値\(\frac{1}{2}×f(0円)+\frac{1}{2}×f(10万円)=12559\)

 

具体例2―1)の得られる価値の期待値\(1×f(-5万円)=-30710\)
具体例2―1)の得られる価値の期待値\(\frac{1}{2}×f(0万円)+\frac{1}{2}×f(-10万円)=-28259\)

 

このように,価値関数の期待値を計算することによって,人間が持つ損失回避性をうまく説明できるというわけです。

フレーミング効果

続いて,フレーミング効果について説明します。

フレーミング効果(framing effect)は,問題や質問のされ方によって意思決定が変わる事をいいます。

あなたは,どちらの手術を受けたいと考えますか?

1) 失敗率10%の手術
2) 成功率90%の手術

この質問は,損失回避性から2)を選ぶ人が多い傾向があります。

フレーミング効果について詳しく知りたい方はこちらの記事へ

【言い換えの心理学】フレーミング効果・シャルパンティエ効果【例を挙げて解説】ビタミンC2000mgというのと、レモン100個分のビタミンCというとどちらがわかりやすいでしょうか?ということで今回は言い方によって、捉え方が変わってしまう認知バイアスの一つであるフレーミング効果とシャルパンティエ効果をみていきます。広告業やビジネスで活かすことのできるおもしろい効果です。...

価値関数:まとめ

価値関数は,

$$f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
x^{\alpha}\\
-λ(-x)^{\alpha}
\end{array}
\right.
$$

・人は損失を極度に嫌う
・損失回避性やフレーミング効果の元となっている

最後に

ブログ運営をしていると,価値関数が変わります。先日機材を5000円で購入したのですが,

5000円という大金を出し渋ることなく手放すことに成功しました。

そして,一ヶ月で100円稼いだときの喜びがえげつないです。

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ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!