数学

【検証】カイジのeカードの勝つ確率と,1つしかない最適戦略【必勝法?】

ユキ
ユキ
どうも,ユキです。

今日は,賭博黙示録カイジに登場するEカードを確率で分析します。

私は,eカードは数当てゲームに過ぎないと思いつつも,それなりに面白さを感じています。

また,必勝法がないことを証明したので,皆さんにシェアしたいと思います。

今回の記事を読むメリット

・カイジのeカードの勝つ確率がわかる

・カイジのeカードでの最適戦略がわかる

eカードとは

 

 

 

カイジを見たことがある人はわかるかもしれませんが、説明します。

eカードは,3つの役職

  • 「皇帝」
  • 「市民」
  • 「奴隷」

を使って戦うカードゲームです

  

      

 

順に,「皇帝」カード,「市民」カード,「奴隷」カードです。

 

eカードのルール

 

1. ゲームプレイ人数は2人です。

 

2. 「皇帝側」と「奴隷側」に分かれて戦います

・「皇帝側」は皇帝1枚と市民4

・「奴隷側」は奴隷1枚と市民4

 

自分のカードを確認したら,カードが相手に見えないように,伏せておきます。

 

3. 勝負はターン制で,1ターンごとにお互いにカードを1枚ずつだします,

 

4. ターン終了時に伏せていた2枚のカードを表にして,お互いに出したカードを確認します。

 

5. 2人が同じカードを出していたら,次のターンに進み,2人がそれぞれ異なるカードを出していたら,ゲームが終了します。

 

6. ゲームの勝敗

強さの関係は3つだけ

  • 「皇帝」は「市民」に勝つ
  • 「市民」は「奴隷」に勝つ
  • 「奴隷」は「皇帝」に勝つ

 

 

図:3つのカード「皇帝」,「市民」,「奴隷」の関係

「奴隷」が勝つ確率と「皇帝」が勝つ確率を計算

 

自分が「奴隷」を出したターンに,相手が「皇帝」を出していればよいから,

「奴隷」を出すまでのターン数

「皇帝」を出すまでのターン数

が一致していれば,奴隷は勝てます。

 

eカードは数当てゲームと同じ

 

奴隷側が負ける場合(例:)

例:奴隷側が3番目に「奴隷」を出して,Bが5番目に「皇帝」を出す場合

奴隷
奴隷側:1番目2番目3番目4番目5番目
皇帝側:1番目2番目3番目4番目5番目
皇帝

 

奴隷側が勝つ場合(例:)

例:奴隷側が5番目に「奴隷」を出して,Bが5番目に「皇帝」を出す場合

奴隷
奴隷側:1番目2番目3番目4番目5番目
皇帝側:1番目2番目3番目4番目5番目
皇帝

 

分母:2人がカードの出すパターンは,

 $$5通り\times 5通り=25通り$$

分子:そのうち,奴隷が勝つ場合は次の5通り

奴隷
奴隷側:1番目2番目3番目4番目5番目
皇帝側:1番目2番目3番目4番目5番目
皇帝
奴隷
奴隷側:1番目2番目3番目4番目5番目
皇帝側:1番目2番目3番目4番目5番目
皇帝
奴隷
奴隷側:1番目2番目3番目4番目5番目
皇帝側:1番目2番目3番目4番目5番目
皇帝
奴隷
奴隷側:1番目2番目3番目4番目5番目
皇帝側:1番目2番目3番目4番目5番目
皇帝

よって,奴隷が勝つ確率は,

$$\frac{奴隷が勝つ}{カードを出す}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$$

 

逆に,皇帝が勝つ確率は

$$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$$

 

賢い人は,eカードが時間のかかる15までの数当てゲームと同じということがわかりましたよね?

意外に奴隷が勝つ確率もある!

 

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【別解】eカードで奴隷が勝つ確率

それぞれ回を重ねるごとの勝つ確率を足す。

皇帝が勝つ確率奴隷が勝つ確率
1回目\(\frac{8}{25}\)\(\frac{1}{25}\)
2回目\(\frac{6}{25}\)\(\frac{1}{25}\)
3回目\(\frac{4}{25}\)\(\frac{1}{25}\)
4回目\(\frac{2}{25}\)\(\frac{1}{25}\)
5回目\(\frac{0}{25}\)\(\frac{1}{25}\)

これらを足し合わせると上の解説同様に

皇帝が勝つ確率は

$$\frac{4}{5}$$

となる。

eカードに必勝法はない

結論から申し上げますと,eカードは何ゲーム繰り返しても必勝法にたどり着くことはありません

eカードは15までの数あてゲームと確率学的には同じなので,必勝法は存在しないことがわかります(自明)

ただし,最適戦略は存在します。最適戦略は数学的に求めることが可能です。 

eカードの最適戦略

 

結論:テキトーに出しましょう!

 

「市民」以外のカードを出すターン数をランダムに選ぶと良いことが知られています。

次の記事で証明(東京大学入試問題の改題)を載せておきますので,興味がある人だけ見てください。

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eカード確率:まとめ

eカードの確率まとめ

eカードの勝つ確率は,奴隷側だと,\(\frac{1}{5}\),皇帝側だと,\(\frac{4}{5}\)
eカードの確率モデルは1~5までの確率モデルと変わらない

eカードの最適戦略は,皇帝側であれば「皇帝」のカード,奴隷側であれば「奴隷」のカードを出すターン数をランダムに決めるだけでいい

最後に

eカードは,「カイジ」のようにイカサマがなく,私のようにランダム表を使わなければ,心理戦として普通に楽しめるゲームなので,やってみてはいかがでしょうか。

ですが基本的に皇帝サイドが優位なゲームなので,公平性という面ではつまらないかもしれませんが,少しルールを変えるだけもっと楽しめると思います。

負けたら,どぉしてだよぉぉぉおおおおおお!!というだけでも十分楽しめるゲームであると思います。

次回は最適戦略を求めていきます。ぜひ読んでください。

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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!