大学数学

対称性のある磁界を求めたい[アンペールの周回積分の法則]

ユキ
ユキ
対称性を使って,磁束密度を簡単に計算したい。どうも,ユキです。今日は,磁束密度に関する公式である。アンペールの法則に関するお話をしていきます。

この記事を読むメリット

☑アンペールの周回積分の法則について理解できる

アンペールの周回積分の法則とは?

磁束密度\(B\)を計算する一般的な方法として,ビオ-サバールの法則がありました。

ビオ-サバールの法則[磁束密度を求める]ビオ-サバールの法則は磁束密度を求めるための法則です。ビオ-サバールの法則を使えば、どんな電流であっても磁束密度を求めることができます。弊記事で、ビオ-サバールの法則を使って磁束密度を求めていきましょう。...

今回は,そんなアンペールの法則よりも簡単に磁束密度を計算できるアンペールの周回積分の法則についてご紹介します。

 

アンペールの周回積分の法則は,式で表すと以下の通りです。

 

$$\int_{c}B・ds=\mu_0 NI$$

 

\(\mu_0\)は真空の透磁率,\(I\)は電流,\(N\)は,積分路と電流が鎖交する回数です。

 

積分路と電流が鎖交するとはどういうことでしょうか?

 

例えば、

3回巻きのコイルであれば,積分路と電流の鎖交数が3回なので、\(N=3\)となり、

$$\oint_{c}B・ds=3\mu_0 I$$

となります。

 

下の図のように、積分路が電流と3回ほど鎖交したときは、\(N=3\)で、

->

$$\oint_{c}B・ds=3\mu_0 I$$

と表すことができます。

 

このアンペールの法則を磁束密度\(B\)について解くだけで,磁束密度\(B\)を求めることはできますが,

求めることができる磁束密度\(B\)は,対称性のあるものに限定されます。

では,早速例題を解いていきましょう。

例題1

無限長直線電流による磁束密度\(B\)をアンペールの周回積分の法則を用いて導きなさい。

例題1解答

半径\(r\)の閉ループ積分路をとると,鎖交回数\(N=1\)なので,アンペールの周回積分の法則より

\(\int_{c}B・ds=\mu_0 I\)

となります。ここで,微小ベクトル\(ds=r d \phi i_{\phi}\),磁束密度\(B=|B|i_{\phi}\)より,

\(|B|\int_{0}^{2\pi}i_{\phi}・i_{\phi}r d\phi=\mu_0 I\)

\(|B|\underbrace{\int_{0}^{2\pi}r d\phi}_{2\pi r} =\mu_0 I\)

\(|B|=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\)

\(B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\)[T]

例題2


半径\(a\)の円形導線に電流\(I\)が流れているとき,円の中心軸(\(z\)軸)上で\(-\infty \to \infty\)まで磁束密度\(B\)の線積分を行うと,その値はいくらになりますか?

(1) アンペールの法則を用いて求めなさい。
(2) 直接積分を用いて求めなさい。

例題2解答

(1)解答

アンペールの法則を用いると,積分路と電流の鎖交回数\(N=1\)なので,

\(\int_{c}B・ds=\mu_0 I\)

となる。

<終>

(2)解答

半径\(a\)の円形導線に流れる電流\(I\)が点\((z,0,0)\)に作る磁束密度の大きさ\(|B|\)について考える。

ビオ-サバールの法則より,

\(|B|=\int_{c} \frac{\mu_0 I |ds(r’)|\sin \theta}{4\pi |r-r’|^2}\)

\(|ds(r’)|=a d\phi\),\(|r-r’|=\sqrt{z^2+a^2}\),\(\sin \theta=\frac{a}{\sqrt{z^2+a^2}}\)より,

\(|B|=\int_{0}^{2\pi}\frac{\mu_0 I a^2 d\phi}{4\pi (z^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}\)

\(|B|=\frac{\mu_0 I a^2}{2(z^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}\)

ここで,磁束密度\(B\)について,\(z:-\infty \to \infty\)の範囲で積分してあげると,

\(\int_{-\infty}^{\infty}|B|dz=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mu_0 I a^2}{2(z^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}dz\)

\(z=a \tan \theta\)とおくと,\(dz=\frac{a}{\cos^2 \theta}d\theta\),積分範囲は,\(\theta:-\frac{\pi}{2} \to \frac{\pi}{2}\)より,

\(\int_{-\infty}^{\infty}|B|dz=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mu_0 I a^2}{2a^3(1+\tan^2 \theta)^{\frac{3}{2}}}\frac{a}{\cos^2 \theta} d\theta\)

\(\int_{-\infty}^{\infty}|B|dz=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mu_0 I }{2} \cos \theta d\theta\)

\(\int_{-\infty}^{\infty}|B|dz=[\frac{\mu_0 I }{2} \sin \theta]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\)

\(\int_{-\infty}^{\infty}|B|dz=\mu_0 I\)

アンペールの法則|まとめ

まとめ

アンペールの法則は,対称性のある磁束密度\(B\)を計算するときに用いられ,

$$\int_{c}B・ds=\mu_0 I$$

で表される。

最後に

物理学において,対称性というフレーズは結構便利だったりします。

例えば,今日の記事で紹介した対称性のある磁束密度や磁界は,アンペールの法則を使えば求められます。

同様に,対称性のある電界や電束密度に関しては,ガウスの法則を使えば求められます。

対称性を使えば,難しい積分を解かずに済むケースが出てきます。

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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!