[お金の数学]単利と複利の違い

ユキ

年利5%は，何年で元本を2倍にする?　どうも，ユキです。

今回は，ファイナンス入門ということで，お金に関する数学の話をします。

この記事を読むと得られる効用

1．かの有名な物理学者であるアインシュタインが，「人類最高の発明は，複利だ。」と言った理由がわかる。
2．投資入門について学びたくなる。
3．投資をしたくなる。

元本と元金

本文に元本という言葉が出てきますが，似たような言葉に元金という言葉があります。

元本と元金は，どちらも，利息を含まない元のお金という意味がありますが，元本と元金で微妙にニュアンスが異なります。

元本は利益のためのお金のことで，元金とは賃貸のためのお金のことを言います。この記事では，投資で儲けたい人の為の記事なので，元のお金のことを元本と言うことにしま

す。

単利

単利は，元本がお金を生みます。図で書くと，

図1．単利のお金が増えるアルゴリズム

この図では，元本を100万円，年利を0.1にしました。100万円が1年ごとに$100\times 0.1$円を生み出すので，$n$年後のお金の合計は，

$$100+(100\times 0.1 \times n)=100(1+0.1n)万円$$

となります。

$n$に1や2を代入してみると上の式が成立していることがわかります。

今度は，元本を$P$万円，年利を$r$のとき，$n$年後のお金の合計を求めましょう。

先ほどの式を100$\Rightarrow P$，$0.1 \Rightarrow r$と置き換えれば，金額の合計は，

$$P(1+rn)万円\tag{1}$$

ということがわかります。

複利

複利は，前期のお金の合計がお金を生みます。図で表すと，

図2．複利でお金が増えるアルゴリズム

元本が100万円で，年利が0.1です。0年度のお金の合計は，0円なので，1年度のお金の合計は，

$100+100\times 0.1=100\times(1+0.1)万円$

2年後のお金の合計は，

$100(1+0.1)\times(1+0.1)=100(1+0.1)^2万円$

3年後のお金の合計は，

$100(1+0.1)^2\times(1+0.1)=100(1+0.1)^3万円$

となります。あってる自信が無いので，式を展開みると，

$100(1+0.1)^3=100(1+3\times 0.1+3\times 0.01+0.001)$

$=1\times 100万円+3\times 10万円+3\times 1万円+1000円$

です。この式は，100万円が1つ，10万円が3つ，1万円が3つ，1000円が1つですから，先ほどの図と一致しています。

今度は，元本を$P$万円，年利を$r$のとき，$n$年後のお金の合計を求めましょう。

先ほどの式を100$\Rightarrow P$，$0.1 \Rightarrow r$と置き換えれば，金額の合計は

$$P(1+r)^n万円\tag{2}$$

ということがわかります。$n$に1,2,3を代入してみると正しいことがわかります。

単利と複利の違い

2つの式を見比べてみましょう。

単利の式

$$P(1+nr)万円\tag{1}$$

複利の式

$$P(1+r)^n万円\tag{2}$$

単利の式と複利の式を比べると，複利の方がお金の増える割合が大きいということがわかります。$n\geq 0$のとき，

$$P(1+r)^n \geq P(1+nr)$$

という不等式が成立することからも明らかです。

単利と複利のお金の増えるスピードの比較

では，元本5000万円を年利3%で運用してみましょう。

	単利(年利3%)	複利(年利3%)
0年目	5000万円	5000万円
1年目	5150万円	5150万円
2年目	5300万円	5304万円
3年目	5450万円	5464万円
4年目	5600万円	5628万円
5年目	5600万円	5796万円
6年目	5750万円	5970万円
7年目	5900万円	6149万円
8年目	6050万円	6334万円
9年目	6200万円	6524万円
10年目	6500万円	6720万円