[宝くじ]ナンバーズ4の期待値を計算

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ユキ

３億円当たったらどうしよう。

と考えることはできても，外れたらどうしようとは考えない好都合な人間。

どうも，ユキです。

今日は，宝くじのナンバーズ４について数学を使って分析していこうと思います。

この記事を読むメリット

☑宝くじの期待値がわかる

ナンバーズ４とは？

ナンバーズ４は宝くじの種類の１つです。

４けたの数字(ナンバー)を選んで当てる。ただそれだけの宝くじです。

ナンバーズ4は，１口200円で，買い方は3つあります。

１．ストレート
２．ボックス
３．セット

では，それぞれの当選条件と当選金額を表で見てみましょう。

ナンバーズ4当選条件			当選金額
ストレート	数字の並びと順序が一致		90万円
ボックス	数字が一致して順序は問わない		3.75万円 ※4桁の数字が全て異なる場合
セット	ストレート	数字の並びと順序が一致	46.87万円
セット	ボックス	数字が一致して順序は問わない	1.87万円 4桁の数字が全て異なる場合

となっています。

さて，ナンバーズ４の基礎知識は伝え終わりました。次に，３つの買い方のうち，どれが最も優れているのかについて分析しましょう。

ナンバーズ４の期待値を計算しよう

期待値とは

期待値$E[X]$は，平均値の概念を拡張したもので，次式で定義されています。

$x_k$になる確率を$p_k$とすると，期待値$E[X]$は，

$E[X]=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$

です。

宝くじの期待値は一般的に50％以下となるように法律で定められています。

まあ，期待値の概念がわかりにくいと感じた人は，宝くじの還元率の話をしているんだぁと思っていてください。

では，宝くじの期待値（還元率）を求めましょう。

ストレートの期待値$E[X_1]$

ストレートにおける期待値(還元率)$E[X_1]$を求めます。

ナンバーズ4を0000～9999まで全て購入したときの当選金額は90万円で，購入費用は200×1万円なので，求める期待値$E[X_1]$は，

$E[X_1]=\frac{90万円}{200万円}=45$%

ストレートの期待値(還元率)は，45%になりました。

ボックスの期待値$E[X_2]$

結論からいうと，ボックスの期待値(還元率)は，45%になります。ボックスの期待値を求める為の計算は面倒なので，スキップしてもらって結構です。

数学が得意な人だけ見てください。

全てのパターンにおける当選確率と，当選金額を表にして表します。

数字の並び	例	確率	当たりの数	当選金額
全ての数字が異なる	1234，4123	p_1	24通り	$\frac{90}{24}$万円
ワンペア	1233，3123	p_2	6通り	$\frac{90}{6}$万円
ツーペア	2233，3223	p_3	3通り	$\frac{90}{3}$万円
スリーカード	1222,2122	p_4	4通り	$\frac{90}{4}$万円
ぞろ目	1111，2222	p_5	1通り	$\frac{90}{1}$万円

よって，ボックスの期待値(還元率)$E[X_2]$は，

$E[X_2]=\frac{\cancel{24}･\frac{90}{\cancel{24}}万円･p_1+\cancel{6}･\frac{90}{\cancel{6}}p_2+\cancel{3}･\frac{90}{\cancel{3}}p_3+\cancel{4}･\frac{90}{\cancel{4}}p_4+1･\frac{90}{1}p_5}{200万円}$

$E[X_2]=\frac{90万円}{200万円}(\underbrace{p_1+p_2+p_3+p_4+p_5}_{1})=45$%

ボックスの期待値も45%になりました。

ストレートの期待値$E[X_1]$とボックスの期待値$E[X_2]$は同じになりました。