[電磁気学]電流，ジュールの法則，キルヒホッフの法則

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ユキ

同じ大学にいる友達に全然会わない。

どうも，ユキです。

今日は，電流，電流密度ベクトルに関するお話です。

電流界

断面$S$を$dt$[s]間に$dQ$[C]の電荷が通過した時の電流$i$は次のように定義されます。

$i=\frac{dQ}{dt}\tag{1}$

しかし，電磁気学では電流$i$は計算に不向きな定義です。

理由は，細い導線に流れる電流を考える場合なら，電流の大きさだけを考えればいいですが，

広い断面を持つ導体を電流が流れる場合，場所によって，電流の向きや大きさが異なるからです。

そこで，電流密度$j$の出番です。任意の開曲面$S$を通る電流$i$は，

$i=\int_{S}j･ndS$

$n$：単位ベクトル

とします。

直流，交流の違い

電流は定常電流，直流電流，交流電流の3つのタイプに分かれています。

定常電流：	向きも大きさも変わらない電流
直流電流：	大きさが変わっても向きが変わらない電流
交流電流：	向きも大きさも変化する電流

図1．定常電流

図2．直流電流

図3．交流電流

オームの法則

導線に電圧を加えると電流が流れます。このとき，電圧$\phi$[V]と電流$i$[i]の間には次のような比例関係が成立します。

$\phi=Ri\tag{2}$

式(2)の比例係数$R$を電気抵抗といい，単位はV/A=Ω(オーム)で表されます。

また，抵抗$R$の逆数はコンダクタンスと呼ばれ，

$G=\frac{1}{R}$

電流の流れやすさを示します。単位はS(ジーメンス)です。

抵抗

断面積$S$，長さ$l$の棒状抵抗体

に関して，抵抗率を$\rho $とすると，抵抗$R$は，

$R=\rho \frac{l}{S}$

で表されます。

しかし，これでは，抵抗体の形が棒状である場合しか求められないので，

$R=\rho \int_{0}^{l}\frac{1}{S}dl\tag{3}$

とします。

こうすれば，場所によって断面積が異なる場合でも，抵抗の値を求めることができます。

例題1

長さ$l$，半径$a$の円筒電極と，これと同心の半径$b$の円筒電極の間の抵抗を求めなさい。ただし，電極間の物質の抵抗率は$\rho$とします。

例題1解答

式(3)を使います。

$R=\rho \int_{a}^{b}\frac{dr}{2\pi r l}=\frac{\rho}{2\pi l}[\log r]_{a}^{b}=\frac{\rho}{2\pi l}\log \frac{b}{a}$

となります。

ジュールの法則

導線中の2点A，Bを考えます。点Aの電位を$\phi_A$，点Bの電位を$\phi_B$とすると，

電荷$Q$を点Bから点Aに運ぶのに必要な仕事量$W$[J：ジュール]は，

$W=Q(\phi_A-\phi_B)$

となります。更に，仕事率(電力)$P$[W：ワット]は$\frac{dW}{dt}$より

$P=\frac{dW}{dt}=\underbrace{\frac{dQ}{dt}}_{i}\underbrace{(\phi_A-\phi_B)}_{\phi}=i\phi\tag{4}$

式(4)に，オームの法則の関係である式(2)を代入すると，仕事率(電力)$P$は，

$P=R i^2\tag{5}$

式(5)の関係式を，ジュールの法則と呼びます。電力$P$は抵抗で熱に変換されて現れるので，ジュール熱と呼ばれます。

また，単位体積当たりのジュール熱を$p$[W/m^3]とすると，

$p=\frac{\Delta P}{\Delta S \Delta l}=\frac{\Delta \phi \Delta i}{\Delta S \Delta l}$

$=\frac{E \cancel{\Delta l}･j \cancel{\Delta S}}{\cancel{\Delta S}\cancel{ \Delta l}}=j･E$

よって，

$p=j･E\tag{6}$

となります。

キルヒホッフの法則

キルヒホッフの法則は，キルヒホッフ第1法則(電流則)とキルヒホッフ第2法則(電圧則)の2種類があります。

この法則は，電気回路学の基礎となっている法則です。

キルヒホッフ第1法則

定常的な電流を考えます。($\frac{dQ}{dt}=0$)

すると，$i=\int_{S}j･ndS=0$

となり，流れ出る電流と流れ出る電流は等しいことがわかります。

導線の接点に関してキルヒホッフ第1法則を適用すると，

$-I_1+I_2+I_3=0$

が成立します。この式をより一般的に書くと，

$\sum_{i}I_i=0\tag{7}$

キルヒホッフ第2法則

電界$E$は，静電界$E_s$と起電力$\phi_e$が発生させる電界$E_e$の和であるので，

$E=E_s+E_e$

ここで，両辺に閉曲線線積分を行うと，

$\oint_{c}E･dr=\oint_{c}E_e･dr+\underbrace{\oint_{c}E_s･dr}_{0}=\oint_{c}E_e･dr$

$\oint_{c}E･dr=\oint_{c}\rho j･dr=I\oint_{c}\rho \frac{dr}{S}$

$\sum \phi_e=\sum RI\tag{8}$

と書くことができます。

例題2

各回路に流れる電流$I_1，I_2，I_3$および，$a，b$間の電圧$\phi_{ab}$を求めなさい。

例題2解答

ループ①，ループ②を定義します。

ループ①，ループ②にキルヒホッフ第②法則を適用すると，

$E_1-E_3=R_1I_1-R_3I_3\tag{9}$

$E_2-E_3=R_2I_2-R_3I_3\tag{10}$

また，接点$a$にキルヒホッフ第1法則を適用すると，

$I_1+I_2+I_3=0\tag{11}$

式(9)～(11)を行列表示に書き直すと，

$\left(\begin{array}{ccc}
E_1-E_3\\
E_2-E_3\\
0
\end{array}
\right)=\left(\begin{array}{ccc}
R_1&0&-R_3\\
0&R_2&-R_3\\
1&1&1
\end{array}
\right) \left(\begin{array}{ccc}
I_1\\
I_2\\
I_3\\
\end{array}
\right)\\ $

クラメルの公式＋サラス展開より，電流$I_1，I_2，I_3$は，それぞれ，

$I_1=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
E_1-E_3&0&-R_3\\
E_2-E_3&R_2&-R_3\\
0&1&1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}
R_1&0&-R_3\\
0&R_2&-R_3\\
1&1&1\end{array}\right|}=\frac{R_2(E_1-E_3)-R_3(E_2-\cancel{E_3})+R_3(E_1-\cancel{E_3})}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_1=\frac{R_2(E_1-E_3)+R_3(E_1-E_2)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_2=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
R_1&E_1-E_3&-R_3\\
0&E_2-E_3&-R_3\\
1&0&1
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}
R_1&0&-R_3\\
0&R_2&-R_3\\
1&1&1
\end{array}\right|}=\frac{R_1(E_2-E_3)-R_3(E_1-\cancel{E_3})+R_3(E_2-\cancel{E_3})}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_2=\frac{R_1(E_2-E_3)+R_3(E_2-E_1)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

$I_3=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
R_1&0&E_1-E_3\\
0&R_2&E_2-E_3\\
1&1&0
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}
R_1&0&-R_3\\
0&R_2&-R_3\\
1&1&1
\end{array}\right|}=\frac{R_2(E_3-E_1)+R_1(E_3-E_2)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

※修正済み

よって，点$a$，$b$の電位差$\phi_{ab}$は，

$\phi_{ab}=E_3-R_3I_3=E_3-R_3\frac{R_2(E_2-E_1)+R_1(E_3-E_1)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$

(別解)

テブナンの定理を利用します。

テブナンの定理を利用して，電流$I_1$を求めましょう。

まず，回路を$a，b$で切り離します。