今日は確率のパラドックスについてまとめてみました。
確率は，ときとして私たちに可能性を与え，ときには牙をむく存在であることを知って欲しいということで，直感に反する確率のお話をします。
モンティホール問題
問題：
3つの扉の1つに景品があり，挑戦者がその1つを選ぶと，司会者が残りの扉のうち，挑戦者が選ばなかった扉の内，ハズレである扉を開け，挑戦者に扉を選び変える権利を与えられるゲームです。
さて，このとき，挑戦者は，扉を選び変える方がいいのか？それとも，選びなおさない方がいいのか？
答え：この場合は，挑戦者は扉を選び変えた方がいいです。
挑戦者が扉を変えると，景品をもらえる確率は上がります。
仮に挑戦者が一番目の扉を選んだとすると，司会者はハズレの扉である3番目を開きます。
ここで，司会者がハズレの扉を開いた後の扉の選択肢を表にして表します。
| 挑戦者が扉を選ぶ | 司会者が扉を開けた後の選択肢 | 挑戦者が扉を変える |
| 1\(\cdots\)ハズレ | 1,2 | 2\(\cdots\)あたり |
| 3\(\cdots\)ハズレ | 3,2 | 2\(\cdots\)あたり |
| 2\(\cdots\)あたり | 3,2 または 1,2 | 1 または 3\(\cdots\)ハズレ |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | |
| 当たる確率\(\frac{1}{3}\) | 当たる確率\(\frac{2}{3}\) |
となります。
よって，挑戦者が扉を選びなおさなかった場合は，景品が入っている扉を開ける確率は
\(\frac{1}{3}\)
で，
扉を選びなおした場合は，景品の扉を開ける確率は
\(\frac{2}{3}\)
になります。
この問題は扉が3つだけだったから，確率の上昇に気づきにくいかもしれませんが，以下の場合ではどうでしょうか？
類題：
扉が30個で景品がどれか1つの扉に隠されていて，司会者がハズレの扉を28個開けた場合に，挑戦者は扉を選び変えた方がいいか，それとも，選び変えない方がいいのか。
扉を変えなかった場合，あたりの扉を開ける確率は，
\(\frac{1}{30}\)
扉を変えた場合，あたりの扉を開ける確率は
\(\frac{29}{30}\)
扉を選び変えた方が確率が高いのを目に見えて感じたと思います。
3囚人問題
問題：
ある3人の囚人A，B，Cのうち，明日，ランダムに1人が釈放され，残り2人が処刑されることを囚人たちは知っている。
囚人Aは，看守に，自分以外の囚人で処刑される人を1人教えてくれ」と訪ねたところ，看守は，囚人Bが処刑されることを告げた。
それを聞いた囚人Aは，「釈放される確率が\(\frac{1}{3}\)から\(\frac{1}{2}\)に上がった」と喜んだという。果たして本当に確率は上昇したのだろうか。
答え：釈放される確率は\(\frac{1}{3}\)のまま。
まず，看守から処刑される人を聞く前の囚人たちが釈放される確率は
| 囚人Ａが釈放される確率 | \(\frac{1}{3}\) |
| 囚人Ｂが釈放される確率 | \(\frac{1}{3}\) |
| 囚人Ｃが釈放される確率 | \(\frac{1}{3}\) |
次に，場合分けをします。
(1)看守が囚人Bが処刑されると言ったとき
| 囚人Ａが釈放される確率 | \(\frac{1}{3}\) |
| 囚人Bが釈放される確率 | \(0\) |
| 囚人Cが釈放される確率 | \(\frac{2}{3}\) |
このように，囚人Bが釈放される確率が囚人Cに移ります。
(2)看守が囚人Cが処刑されると言ったとき
| 囚人Aが釈放される確率 | \(\frac{1}{3}\) |
| 囚人Bが釈放される確率 | \(\frac{2}{3}\) |
| 囚人Cが釈放される確率 | \(0\) |
このように，囚人Cが釈放される確率が囚人Bに移ります。
よって，囚人Aが釈放される確率は、
\(\underbrace{\frac{1}{2}}_{Bが処刑と言う確率}\times\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
釈放される確率は，\(\frac{1}{3}\)のままということになります。
出現率5%のガチャを20回引いても，4割ははずす
みなさんは,スマホゲームなどでガチャを引いたことはありますか？
出現率が５％のガチャを２０回引いても、ガチャが少なくとも1回以上当たる確率は，
\(1-( \frac{95}{100} )^{20}=0.645\)
です。
ものの見事に4割の人は外すことがわかります。
ですが,この事実を知っていたとしてもスマホゲームのガチャってやめられないじゃないですか？
心理学では「コンコルド効果」というらしいですが,「コンコルド効果」に陥ったときの対処法について以下の記事で解説しています。
精度は99.9%なのに陽性反応が出ても，陽性である確率はたったの9%
問題：
日本人の1万人に一人が罹患している病気について，病気の検査を行ったところ，検査の精度は99.9であった。ある人がこの病気の検査を受けたところ，陽性反応が出てしまった。
このとき，本当にこの人が病気に罹患している確率は何％だろうか？
答え：9%
ベイズの公式より，陽性と診断されたときに本当に罹患している確率を\(P(罹患|陽性)\)
\(P(罹患|陽性)=\frac{P(陽性|罹患)}{P(陽性|罹患)+P(陰性|罹患)}\)
\(P(陽性|罹患)=0.999\times \frac{1}{10000}\)
\(P(陰性|罹患)=0.001\times \frac{9999}{10000}\)
から，
\(P(罹患|陽性)=\frac{0.999}{0.999+9.999}=0.0908\)
そもそも，1万人に1人の病気で，精度が99.9%は低すぎる！
例えば，私が，1万人の人に陰性と言えば，9999人への診断は的中するので，
精度は，99.99%になります。
おまけ：誕生日のパラドックス
誕生日のパラドックスをご存じでしょうか？？
同じクラス・部署に、同じ誕生日の人がいることはありませんか？
実は、教室に23人くらいいれば、同じ誕生日の人は半分以上の確率で存在します！
詳しくは,以下の記事をご覧ください
おまけ：経済学のアノマリー(パラドックス)
古典経済学では,人間はホモ･エコノミクス的に(自分の利益を最大化するために)行動すると言われていませんが、
実際の所,自分の利益を最大化するために行動するよりも、感情に流されて行動しがちです。
このように,感情に流されて非合理的な行動を取ることをアノマリーといいます。
そして,人がアノマリーな行動をとる原理は,数学的に求められています。
最後に
確率は面白いパラドックスが隠れています。
しかし，世の中には確率のパラドックスを利用して，人々を騙す詐欺師が横行しています。精度99.9%，出現確率5%などは，別に嘘を言っているわけではありません。
だから，このような確率を見て，誤った解釈をしてしまうと，自己責任で片付けられてしまいます。
皆さんも気をつけましょう。
