数学検証

99.9%が騙される!? (確率のパラドックス4選)

ユキ
ユキ
99.9%が売りの天才詐欺師。どうも,ユキです。

今日は確率のパラドックスについてまとめてみました。

確率は,ときとして私たちに可能性を与え,ときには牙をむく存在であることを知って欲しいということで,直感に反する確率のお話をします。

モンティホール問題

問題

3つの扉の1つに景品があり,挑戦者がその1つを選ぶと,司会者が残りの扉のうち,挑戦者が選ばなかった扉の内,ハズレである扉を開け,挑戦者に扉を選び変える権利を与えられるゲームです。

さて,このとき,挑戦者は,扉を選び変える方がいいのか?それとも,選びなおさない方がいいのか?

 

答え:この場合は,挑戦者は扉を選び変えた方がいいです。

挑戦者が扉を変えると,景品をもらえる確率は上がります

 

 仮に挑戦者が一番目の扉を選んだとすると,司会者はハズレの扉である3番目を開きます

ここで,司会者がハズレの扉を開いた後の扉の選択肢を表にして表します。

挑戦者が扉を選ぶ司会者が扉を開けた後の選択肢挑戦者が扉を変える
1\(\cdots\)ハズレ1,22\(\cdots\)あたり
3\(\cdots\)ハズレ3,22\(\cdots\)あたり
2\(\cdots\)あたり3,2 または 1,21 または 3\(\cdots\)ハズレ
\(\vdots\)\(\vdots\)
当たる確率\(\frac{1}{3}\)当たる確率\(\frac{2}{3}\)

となります。

よって,挑戦者が扉を選びなおさなかった場合は,景品が入っている扉を開ける確率は

\(\frac{1}{3}\)

で,

扉を選びなおした場合は,景品の扉を開ける確率は

\(\frac{2}{3}\)

になります。

 

この問題は扉が3つだけだったから,確率の上昇に気づきにくいかもしれませんが,以下の場合ではどうでしょうか?

類題:

扉が30個で景品がどれか1つの扉に隠されていて,司会者がハズレの扉を28個開けた場合に,挑戦者は扉を選び変えた方がいいか,それとも,選び変えない方がいいのか。

 

扉を変えなかった場合,あたりの扉を開ける確率は,

\(\frac{1}{30}\)

扉を変えた場合,あたりの扉を開ける確率は

\(\frac{29}{30}\)

 

扉を選び変えた方が確率が高いのを目に見えて感じたと思います。 

 

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3囚人問題

  

問題:

ある3人の囚人ABCのうち,明日,ランダムに1人が釈放され,残り2人が処刑されることを囚人たちは知っている。

囚人Aは,看守に,自分以外の囚人で処刑される人を1人教えてくれ」と訪ねたところ,看守は,囚人Bが処刑されることを告げた。

それを聞いた囚人Aは,「釈放される確率が\(\frac{1}{3}\)から\(\frac{1}{2}\)に上がった」と喜んだという。果たして本当に確率は上昇したのだろうか。

 

 

答え:釈放される確率は\(\frac{1}{3}\)のまま。

 

まず,看守から処刑される人を聞く前の囚人たちが釈放される確率は

囚人Aが釈放される確率\(\frac{1}{3}\)
囚人Bが釈放される確率\(\frac{1}{3}\)
囚人Cが釈放される確率\(\frac{1}{3}\)

 

次に,場合分けをします。

(1)看守が囚人Bが処刑されると言ったとき

囚人Aが釈放される確率\(\frac{1}{3}\)
囚人Bが釈放される確率\(0\)
囚人Cが釈放される確率\(\frac{2}{3}\)

このように,囚人Bが釈放される確率が囚人Cに移ります。

(2)看守が囚人Cが処刑されると言ったとき

囚人Aが釈放される確率\(\frac{1}{3}\)
囚人Bが釈放される確率\(\frac{2}{3}\)
囚人Cが釈放される確率\(0\)

このように,囚人Cが釈放される確率が囚人Bに移ります。

よって,囚人Aが釈放される確率は、

\(\underbrace{\frac{1}{2}}_{Bが処刑と言う確率}\times\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)

釈放される確率は,\(\frac{1}{3}\)のままということになります。

 

出現率5%のガチャを20回引いても,4割ははずす

みなさんは,スマホゲームなどでガチャを引いたことはありますか?

出現率が5%のガチャを20回引いても、ガチャが少なくとも1回以上当たる確率は,

 

\(1-( \frac{95}{100} )^{20}=0.645\)

 

です。

ものの見事に4割の人は外すことがわかります。

ですが,この事実を知っていたとしてもスマホゲームのガチャってやめられないじゃないですか?

心理学では「コンコルド効果」というらしいですが,「コンコルド効果」に陥ったときの対処法について以下の記事で解説しています。

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精度は99.9%なのに陽性反応が出ても,陽性である確率はたったの9%

問題:

日本人の1万人に一人が罹患している病気について,病気の検査を行ったところ,検査の精度は99.9であった。ある人がこの病気の検査を受けたところ,陽性反応が出てしまった。

このとき,本当にこの人が病気に罹患している確率は何%だろうか?

 

答え:9%

ベイズの公式より,陽性と診断されたときに本当に罹患している確率を\(P(罹患|陽性)\)

 

\(P(罹患|陽性)=\frac{P(陽性|罹患)}{P(陽性|罹患)+P(陰性|罹患)}\)

 

\(P(陽性|罹患)=0.999\times \frac{1}{10000}\)

\(P(陰性|罹患)=0.001\times \frac{9999}{10000}\)

から,

\(P(罹患|陽性)=\frac{0.999}{0.999+9.999}=0.0908\)

 

そもそも,1万人に1人の病気で,精度が99.9%は低すぎる!

例えば,私が,1万人の人に陰性と言えば,9999人への診断は的中するので,

精度は,99.99%になります。

C言語を始めるための手順[下準備です]皆さんこんばんにちは、ユウです。 今回はエディタでのファイルの作り方とコンパイルの仕方について紹介します。 ぜひ、C言語を始...

おまけ:誕生日のパラドックス

誕生日のパラドックスをご存じでしょうか??

同じクラス・部署に、同じ誕生日の人がいることはありませんか?

実は、教室に23人くらいいれば、同じ誕生日の人は半分以上の確率で存在します!

詳しくは,以下の記事をご覧ください

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おまけ:経済学のアノマリー(パラドックス)

古典経済学では,人間はホモ・エコノミクス的に(自分の利益を最大化するために)行動すると言われていませんが、

実際の所,自分の利益を最大化するために行動するよりも、感情に流されて行動しがちです。

このように,感情に流されて非合理的な行動を取ることをアノマリーといいます。

そして,人がアノマリーな行動をとる原理は,数学的に求められています。

最後に

確率は面白いパラドックスが隠れています。

しかし,世の中には確率のパラドックスを利用して,人々を騙す詐欺師が横行しています。精度99.9%,出現確率5%などは,別に嘘を言っているわけではありません。

だから,このような確率を見て,誤った解釈をしてしまうと,自己責任で片付けられてしまいます。

皆さんも気をつけましょう。

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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!