数学検証

【誕生日が一致する確率】乃木坂46なら1組は存在!?【パラドックス】

ユキ
ユキ
どうも、ユキです。

ひたすらに誕生日が遅い。

小学校、中学校、あるいは高校の時に同じクラスに自分と誕生日が同じ人はいましたか?

私はいませんでした。

普通に考えれば、一緒の誕生日が人がいるには365人以上必要だと思いますよね?

実は少し違うんです。

では今から、誕生日にまつわる2つの確率の問題を順番に解いていきましょう。

今回の記事を読むメリット

・誕生日が一致する確率がわかる

・誕生日のパラドックスがわかる

・乃木坂46では同じ誕生日がいるのかがわかる

n人の中で同じ誕生日の人が少なくとも2人以上いる場合の確率

解く手順

  • 文言に「少なくとも」とあるので、余事象を求める

考え方は,n人の中で同じ誕生日の人がいない確率

(イメージ)空っぽの教室に生徒を1人ずつ入れて,先に入った人と誕生日がかぶらない確率を掛けていく

1人目の人「誰もいないから誕生日がかぶらない確率は(365-0)/365」

2人目の人「1人いるから誕生日がかぶらない確率は(365-1)/365」

3人目の人「2人おるから誕生日がかぶらない確率は(365-2)/365」

n人目の人「n-1人いるから誕生日がかぶらない確率は(365-(n-1))/365」

得られた確率

よって、n人の中で同じ誕生日の人が少なくとも2人以上いる場合の確率Pは、

『P=1-365!/(365-(n-1))!』

となる。

誕生日のパラドックス

この確率を利用して、誕生日が一致する確率が50%以上になるには23人程度で済みます。

通常の考えであれば、365人以上集まれば100%に近い数字になると思われますが、この計算では70人ほどで確率が99.9%を超えます。

このことを「誕生日のパラドックス」と言います。

直感と違うと言う意味のパラドックスです。

そのほかの確率のパラドックスはこちらにあります。

https://cupuasu.club/arithmetic-probably-paradox/

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自分以外のn人の中で自分と同じ誕生日の人が少なくとも2人以上いる確率

解く手順

文言に「少なくとも」とあるので、余事象を求める

考え方は、n人の中で自分と同じ誕生日の人がいない確率

(イメージ)自分1人だけが教室にいる状態を考えて、n人の生徒を教室に1人ずつ招き入れていく。

1人目が入室「自分の誕生日と違う確率は364/365」

2人目が入室「自分の誕生日と違う確率は364/365」

3人目が入室「自分の誕生日と違う確率は364/365」

n人目が入室「自分の誕生日と違う確率は364/365」

よって、求める確率Pは

『P=1-(364/365)^n』

でした。

(余談)C言語を使って確率計算

上で求めた2つの確率をそれぞれ、90%を超えるまでに必要な人数をC言語で計算しました。

条件をつけたいときはfor文を使うよりwhile文の方が楽です。

あと、関数を自作して使ってますので、C言語の関数の値の受け渡しについて勉強しているとソースコードを理解できるかもしれません。

誕生日が一致する確率のまとめ

同じ誕生日の人が少なくとも2人以上いる場合の確率が90%を超えるために、必要な人数は42人であることがわかった。

もう一度言います、『90%を超えるには42人』です。

ユキ
ユキ
えっ、思ったより少ない!?

これが途中でも解説した誕生日のパラドックスです。

自分と同じ誕生日の人が少なくとも2人以上いる場合の確率が90%を超えるために,必要な人数は841(=)人となります。

 

誕生日が一致する確率まとめ

・同じ誕生日が少なくとも2人以上いる確率が90%を超えるには、42人以上

・意外に少ないと思うことが、「誕生日のパラドックス」である。

・自分と同じ誕生日の人が少なくとも2人以上いる場合の確率が90%を超えるために,必要な人数は841(=)人

じゃあ乃木坂46なら誕生日一致??

因みに、本当に42人だけで誕生日が一致するのかと思い、大人気アイドルである乃木坂46のメンバー(2019年現在の人数:40人)を調べてみました!

・生田絵梨花さん新内眞衣さんが1月22日

・4期生では北川悠里さん賀喜遥香さんが8月8日

でした。

2組もいましたね。

最後に

確率は、常に我々の想像の上を行きます。

確率に右往左往される人生を送っている人は、母集団の標本が大標本でランダムサンプルであることに注意を払いつつ確率を求めましょう。

また、誕生日であれば年末年始に出産を避けることやうるう年などの考慮をすると、同じような確率にはなりませんね。

確率は1つの指標に過ぎないことも頭に入れておいてください。

では、もう1つだけ確率を求めて終わりにします。

あなたが私の記事を最後まで読んでブラウザバックする確率は100%!

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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!