今日はセンター試験レベルの三角関数に関する問題を解きます。
問題
\(O\)を原点とする座標平面状で，直線\(l\)：\(y=\sqrt{3}x\)とする。また，中心が第1象限にあり，\(x\)軸と直線\(l\)の2線に接する半径1の円を\(C\)とします。ここで，円\(C\)上の点を\(P\)とし，\(P\)から\(x\)軸と直線\(l\)に下ろした垂線との交点をそれぞれ\(A，B\)とします。このとき以下の問に答えなさい。
(1) \(P\)の座標は，\(\theta\)(\(0 \leq \theta < 2\pi\))を用いて，どのように表されるか？
(2) 線分\(PA\)，\(PB\)を求めよ。また，\(PA+PB\)が最大となるときの\(\theta\)を求めなさい。
(3) \(PA+PB=\frac{5}{2}\)となるときの\(\theta\)の値を求めなさい。また，\(\theta=-\frac{1}{6}\)のとき，\(\tan \angle POB\)の値を求めなさい。
問題解答
問題(1)解答
円\(C\)の中心の座標を\((x_0，y_0)\)とすると，円\(C\)上の\(P\)の座標は，
\((x_0+\cos \theta，y_0+\sin \theta)\)
と表されます。
なので，円\(C\)の中心の座標\((x_0，y_0)\)を求めていきましょう。
作図をすると，
このようになります。
次に，原点から\((x_0，y_0)\)に補助線を引いてみましょう。
直角三角形の性質を利用すると，\((x_0，y_0)\)は，
\((x_0，y_0)=(\sqrt{3}，1)\)
となります。
よって，点\(P\)の座標は，
\((\sqrt{3}+\cos \theta，1+\sin \theta)\)
<終>
問題(2)解答
\(PB\)を求める為に補助線を引いてみましょう。
補助線と直線\(l\)の交点を\(H\)とします。すると，\(PB\)は\(PH\)を用いて，
\(PB=\sin \frac{\pi}{6} \sqrt{PH}\)
では，線分\(PH\)を求めましょう。
\(H\)の\(x\)座標は，\(y\)を用いて表すと，\(\frac{y}{\sqrt{3}}\)
線分\(PH\)は，
\(PH=\underbrace{\sqrt{3}+\cos \theta}_{点Pのx座標}-\underbrace{\frac{1+\sin \theta}{\sqrt{3}}}_{点Hのx座標}\)
と表されるので，求める\(PB\)は，
\(PB=\frac{\sqrt{3}}{2}{(\sqrt{3}＋\cos \theta)-(\frac{1+\sin \theta}{3})})\)
\(PB=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos \theta-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sin \theta\)
\(PB=1-\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{3}{2}\cos \theta\)
\(PA=1+\sin \theta\)
<終>
更に，\(PA+PB\)は，
\(PA+PB=2+\underbrace{\frac{1}{2}}_{\cos \frac{\pi}{3}}\sin \theta+\underbrace{\frac{\sqrt{3}}{2}}_{\sin \frac{\pi}{3}}\cos \theta\)
\(PA+PB=2+\sin (\theta+\frac{\pi}{3})\)
\(PA+PB\)が最大となるには，第2項が1となればいいので，
\(\theta+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\)
よって，\(PA+PB\)が最大となる\(\theta\)は，
\(\theta=\frac{\pi}{6}\)
<終>
問題(3)解答
\(PA+PB=\frac{5}{2}=2+\sin (\theta +\frac{\pi}{3})\)
\(\sin (\theta+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2} \)
図を書くと，
よって，\(\theta\)は，
\(\theta+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}，\frac{5\pi}{6}\)
\(\theta=-\frac{\pi}{6}，\frac{\pi}{2}\)
<終>
\(-\frac{\pi}{6}\)のとき，\(\tan \angle POB\)は，
\(\tan \angle POB=\frac{PO}{OB}=\frac{PO}{\sqrt{PO^2-PB^2}}\)
\(PB|_{\theta=-\frac{\pi}{6}}=1-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=2\)
\(PO|_{\theta=-\frac{\pi}{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(1+\frac{1}{2})^2}=3\)
よって，\(\tan \angle POB\)は，
\(\tan \angle POB=\frac{2}{\sqrt{3^2-2^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
まとめ
補助線を引くと問題が簡単になる。
三角関数の合成
$$\cos \alpha \sin \theta+ \sin \alpha \cos \theta=\sin (\theta +\alpha)$$
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問題まとめページー＞
https://cupuasu.club/tag/highschool-math/
最後に
三角関数と図形が絡むような問題は，補助線を引くことで問題の難易度を下げることができます。なので，隙あらば補助線を引いて，問題を解く為の糸口を見つけていきましょう。
