高校数学

[三角関数と方程式]直線と円が接するとき円の中心座標

ユキ
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ホップ,ステップ,ジャンプ,どうもユキです。

今日はセンター試験レベルの三角関数に関する問題を解きます。

問題

\(O\)を原点とする座標平面状で,直線\(l\):\(y=\sqrt{3}x\)とする。また,中心が第1象限にあり,\(x\)軸と直線\(l\)の2線に接する半径1の円を\(C\)とします。ここで,円\(C\)上の点を\(P\)とし,\(P\)から\(x\)軸と直線\(l\)に下ろした垂線との交点をそれぞれ\(A,B\)とします。このとき以下の問に答えなさい。

(1) \(P\)の座標は,\(\theta\)(\(0 \leq \theta < 2\pi\))を用いて,どのように表されるか?
(2) 線分\(PA\),\(PB\)を求めよ。また,\(PA+PB\)が最大となるときの\(\theta\)を求めなさい。
(3) \(PA+PB=\frac{5}{2}\)となるときの\(\theta\)の値を求めなさい。また,\(\theta=-\frac{1}{6}\)のとき,\(\tan \angle POB\)の値を求めなさい。

問題解答

問題(1)解答

円\(C\)の中心の座標を\((x_0,y_0)\)とすると,円\(C\)上の\(P\)の座標は,

\((x_0+\cos \theta,y_0+\sin \theta)\)

と表されます。

なので,円\(C\)の中心の座標\((x_0,y_0)\)を求めていきましょう。

作図をすると,

このようになります。

次に,原点から\((x_0,y_0)\)に補助線を引いてみましょう。

直角三角形の性質を利用すると,\((x_0,y_0)\)は,

\((x_0,y_0)=(\sqrt{3},1)\)

となります。

よって,点\(P\)の座標は,

\((\sqrt{3}+\cos \theta,1+\sin \theta)\)

<終>

問題(2)解答

\(PB\)を求める為に補助線を引いてみましょう。

補助線と直線\(l\)の交点を\(H\)とします。すると,\(PB\)は\(PH\)を用いて,

\(PB=\sin \frac{\pi}{6} \sqrt{PH}\)

では,線分\(PH\)を求めましょう。

\(H\)の\(x\)座標は,\(y\)を用いて表すと,\(\frac{y}{\sqrt{3}}\)

線分\(PH\)は,

\(PH=\underbrace{\sqrt{3}+\cos \theta}_{点Pのx座標}-\underbrace{\frac{1+\sin \theta}{\sqrt{3}}}_{点Hのx座標}\)

と表されるので,求める\(PB\)は,

\(PB=\frac{\sqrt{3}}{2}{(\sqrt{3}+\cos \theta)-(\frac{1+\sin \theta}{3})})\)

\(PB=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos \theta-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sin \theta\)

\(PB=1-\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{3}{2}\cos \theta\)

\(PA=1+\sin \theta\)

<終>

更に,\(PA+PB\)は,

\(PA+PB=2+\underbrace{\frac{1}{2}}_{\cos \frac{\pi}{3}}\sin \theta+\underbrace{\frac{\sqrt{3}}{2}}_{\sin \frac{\pi}{3}}\cos \theta\)

\(PA+PB=2+\sin (\theta+\frac{\pi}{3})\)

\(PA+PB\)が最大となるには,第2項が1となればいいので,

\(\theta+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\)

よって,\(PA+PB\)が最大となる\(\theta\)は,

\(\theta=\frac{\pi}{6}\)

<終>

問題(3)解答

\(PA+PB=\frac{5}{2}=2+\sin (\theta +\frac{\pi}{3})\)

\(\sin (\theta+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2} \)

図を書くと,

よって,\(\theta\)は,

\(\theta+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\)

\(\theta=-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\)

<終>

\(-\frac{\pi}{6}\)のとき,\(\tan \angle POB\)は,

\(\tan \angle POB=\frac{PO}{OB}=\frac{PO}{\sqrt{PO^2-PB^2}}\)

\(PB|_{\theta=-\frac{\pi}{6}}=1-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=2\)

\(PO|_{\theta=-\frac{\pi}{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(1+\frac{1}{2})^2}=3\)

よって,\(\tan \angle POB\)は,

\(\tan \angle POB=\frac{2}{\sqrt{3^2-2^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

まとめ

補助線を引くと問題が簡単になる。

三角関数の合成
$$\cos \alpha \sin \theta+ \sin \alpha \cos \theta=\sin (\theta +\alpha)$$

関連記事へのリンク

問題まとめページー>

https://cupuasu.club/tag/highschool-math/

最後に

三角関数と図形が絡むような問題は,補助線を引くことで問題の難易度を下げることができます。なので,隙あらば補助線を引いて,問題を解く為の糸口を見つけていきましょう。

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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!