隣接2項間漸化式のセンター試験で出題されるタイプの応用問題

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ユキ

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どうも，ユキです。

今日は，センター試験レベルの数学の問題を解いていきたいと思います。

問題1

$a_1=1，a_{n+2}=a_n+3(n=1，2，3,\cdots)$
を満たすとする。このとき，以下の問いに答えなさい。

(1) $a_3，a_5，a_{2n-1}$を求めなさい。
(2) ${a_n}$が等差数列であるとき，$a_2，a_n$を求めなさい。
(3) (2)のとき，数列${a_n}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めなさい。

問題1解答

(1)解答

$a_3=1+3=4$

$a_5=4+3=7$

よって，$a_{2n-1}$は，

$a_{2n-1}=3n-2$

<終>

(2)解答

${a_n}$が等差数列であるとき，$a_2$は次のように表される。

$\frac{a_1+a_3}{2}=a_2$

$a_2=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$

また，$a_n$は，初項1，公差$\frac{3}{2}$の等差数列なので，

$a_n=\frac{1}{2}(3n-1)$

<終>

(3)解答

$S_n$は，

$S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}(3k-1)$

$S_n=\frac{1}{2}(3\frac{1}{2}n(n+1)-n)$

$S_n=\frac{1}{4}(n(3n+3)-2n)$

$S_n=\frac{1}{4}n(3n+1)$

問題2

数列${b_n}$は，漸化式
$b_1=1，b_{n+2}=2b_n+3 (n=1，2，3，\cdots)$
を満たすとき，以下の問いに答えなさい。

(1) $b_3，b_5$を求めなさい。また，$b_{2n-1}=c_n$と置いたとき，$c_n$の一般項を求めなさい。
(2) $b_3，b_4，b_5$がこの順で等差数列となるとき，$b_2$を求めなさい。また，$b_{2n}$を求めなさい。
(3) 数列${b_n}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めなさい。
(4) $U_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k kb_k$としたとき，$U_{2n}$を求めなさい。

問題2解答

(1)解答

$b_3=2+3=5$

$b_5=2･5+3=13$

ここで，$c_n$を漸化式の形で書くと，

$c_{n+1}=2 c_n+3$

ここで，特性方程式$\alpha=2\alpha +3$は，$\alpha=-3$なので，

$c_{n+1}+3=2(c_n+3)$

$c_{n}=2^{n-1}(c_1+3)-3$

$c_{n}=2^{n+1}-3$

<終>

(2)解答

$b_4=\frac{b_3+b_5}{2}=\frac{5+13}{2}=9$，

$b_2=\frac{b_4-3}{2}=3$

よって，$b_{2n}$は，

$b_{2n}=2^{n-1}{b_2+3}-3=2^{n-1}(3+3)-3$

$b_{2n}=3(2^n-1)$

<終>

(3)解答

$T_{2n}$を$\sum$を使って表すと，

$T_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}b_k$

$b_n$の一般項はもとまっていないので，少し工夫をしてもとめます。

$T_{2n}=\sum_{k=1}^{n}b_{2k-1}+b_{2k}$

$T_{2n}=\sum_{k=1}^{n}2^{k+1}-3+3(2^k-1)=\sum_{k=1}^{n}5･2^k-6$

ここで，等差数列の和の公式を使うと，

$T_{2n}=5･2\frac{2^n-1}{2-1}-6n$

よって，$T_{2n}$は，

$T_{2n}=5･2^{n+1}-6n-10$

<終>

(4)解答

$U_{2n}$は，$\sum$を用いて次のように表されます。

$U_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}kb_k$

ここでも，一般項$b_n$がもとまっていないので，工夫をしてもとめます。

$U_{2n}=\sum_{k=1}^{n}\underbrace{(-1)^{2k}}_{1} 2k\underbrace{b_{2k}}_{3(2^{k}-1)}+\underbrace{(-1)^{2k-1}}_{-1}(2k-1)\underbrace{b_{2k-1}}_{2^{k+1}-3}$

$U_{2n}=\sum_{k=1}^{n}3k(2^{k+1}-1)-(2k-1)(2^{k+1}-3)$

$U_{2n}=\sum_{k=1}^{n}{3k･2^{k+1}-3k-2k･2^{k+1}+3k+2^{k+1}-3}$

$U_{2n}=\underbrace{\sum_{k=1}^{n}{ (k+1)･2^{k+1}}}_{R_n}-3n$

ここで，第1項を$R_n$とおくと，

\begin{eqnarray}
R_n&=& \sum_{k=1}^{n}{ (k+1)･2^{k+1}}\\
-)2R_n&=& -4+\sum_{k=1}^{n}{ (k)･2^{k+1}}+(n+1)･2^{n+2}\\
-R_n&=& 4+\sum_{k=1}^{n}{2^{k+1}}-(n+1)･2^{n+2}
\end{eqnarray}

$-R_n=4+4\frac{2^n-1}{2-1}+(n+1)･2^{n+2}$

$-R_n=\cancel{4}+\cancel{4･2^{n}}-\cancel{4}-n･2^{n+2}+\cancel{4･2^n}$

$R_n=n･2^{n+2}$

よって，求める$U_{2n}$は，

$R_n=n(2^{n+2}-3)$

<終>

まとめ

$$\sum_{k=1}^{2n}=b_{k}=\sum_{k=1}^{n}b_{2k-1}+b_{2k}$$

$$\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}b_{k}=\sum_{k=1}^{n}b_{2k}-b_{2k-1}

$S_n=\sum_{k=1}^{n}k･r^{k}$の求め方

\begin{eqnarray}
S_n &=& \sum_{k=1}^{n}k･r^{k}\\
-)rS_n&=&\sum_{k=1}^{n}{(k-1)･r^{k}}+n･r^{n+1}\\
(1-r)S_n&=&\sum_{k=1}^{n}{r^{k}}-n･r^{n+1}
\end{eqnarray}