高校数学

[数列]隣接2項間漸化式のセンター試験で出題されるタイプの応用問題

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ユキ
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どうも,ユキです。

今日は,センター試験レベルの数学の問題を解いていきたいと思います。

問題1

\(a_1=1,a_{n+2}=a_n+3(n=1,2,3,\cdots)\)
を満たすとする。このとき,以下の問いに答えなさい。

(1) \(a_3,a_5,a_{2n-1}\)を求めなさい。
(2) \({a_n}\)が等差数列であるとき,\(a_2,a_n\)を求めなさい。
(3) (2)のとき,数列\({a_n}\)の初項から第\(n\)項までの和\(S_n\)を求めなさい。

問題1解答

(1)解答

\(a_3=1+3=4\)

\(a_5=4+3=7\)

よって,\(a_{2n-1}\)は,

\(a_{2n-1}=3n-2\)

<終>

(2)解答

\({a_n}\)が等差数列であるとき,\(a_2\)は次のように表される。

\(\frac{a_1+a_3}{2}=a_2\)

\(a_2=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}\)

また,\(a_n\)は,初項1,公差\(\frac{3}{2}\)の等差数列なので,

\(a_n=\frac{1}{2}(3n-1)\)

<終>

(3)解答

\(S_n\)は,

\(S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}(3k-1)\)

\(S_n=\frac{1}{2}(3\frac{1}{2}n(n+1)-n)\)

\(S_n=\frac{1}{4}(n(3n+3)-2n)\)

\(S_n=\frac{1}{4}n(3n+1)\)

問題2

数列\({b_n}\)は,漸化式
\(b_1=1,b_{n+2}=2b_n+3 (n=1,2,3,\cdots)\)
を満たすとき,以下の問いに答えなさい。

(1) \(b_3,b_5\)を求めなさい。また,\(b_{2n-1}=c_n\)と置いたとき,\(c_n\)の一般項を求めなさい。
(2) \(b_3,b_4,b_5\)がこの順で等差数列となるとき,\(b_2\)を求めなさい。また,\(b_{2n}\)を求めなさい。
(3) 数列\({b_n}\)の初項から第\(n\)項までの和\(T_n\)を求めなさい。
(4) \(U_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k kb_k\)としたとき,\(U_{2n}\)を求めなさい。

問題2解答

(1)解答

\(b_3=2+3=5\)

\(b_5=2・5+3=13\)

ここで,\(c_n\)を漸化式の形で書くと,

\(c_{n+1}=2 c_n+3\)

ここで,特性方程式\(\alpha=2\alpha +3\)は,\(\alpha=-3\)なので,

\(c_{n+1}+3=2(c_n+3)\)

\(c_{n}=2^{n-1}(c_1+3)-3\)

\(c_{n}=2^{n+1}-3\)

<終>

(2)解答

\(b_4=\frac{b_3+b_5}{2}=\frac{5+13}{2}=9\),

\(b_2=\frac{b_4-3}{2}=3\)

よって,\(b_{2n}\)は,

\(b_{2n}=2^{n-1}{b_2+3}-3=2^{n-1}(3+3)-3\)

\(b_{2n}=3(2^n-1)\)

<終>

(3)解答

\(T_{2n}\)を\(\sum\)を使って表すと,

\(T_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}b_k\)

\(b_n\)の一般項はもとまっていないので,少し工夫をしてもとめます。

\(T_{2n}=\sum_{k=1}^{n}b_{2k-1}+b_{2k}\)

\(T_{2n}=\sum_{k=1}^{n}2^{k+1}-3+3(2^k-1)=\sum_{k=1}^{n}5・2^k-6\)

ここで,等差数列の和の公式を使うと,

\(T_{2n}=5・2\frac{2^n-1}{2-1}-6n\)

よって,\(T_{2n}\)は,

\(T_{2n}=5・2^{n+1}-6n-10\)

<終>

(4)解答

\(U_{2n}\)は,\(\sum\)を用いて次のように表されます。

\(U_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}kb_k\)

ここでも,一般項\(b_n\)がもとまっていないので,工夫をしてもとめます。

\(U_{2n}=\sum_{k=1}^{n}\underbrace{(-1)^{2k}}_{1} 2k\underbrace{b_{2k}}_{3(2^{k}-1)}+\underbrace{(-1)^{2k-1}}_{-1}(2k-1)\underbrace{b_{2k-1}}_{2^{k+1}-3}\)

\(U_{2n}=\sum_{k=1}^{n}3k(2^{k+1}-1)-(2k-1)(2^{k+1}-3)\)

\(U_{2n}=\sum_{k=1}^{n}{3k・2^{k+1}-3k-2k・2^{k+1}+3k+2^{k+1}-3}\)

\(U_{2n}=\underbrace{\sum_{k=1}^{n}{ (k+1)・2^{k+1}}}_{R_n}-3n\)

ここで,第1項を\(R_n\)とおくと,

\begin{eqnarray}
R_n&=& \sum_{k=1}^{n}{ (k+1)・2^{k+1}}\\
-)2R_n&=& -4+\sum_{k=1}^{n}{ (k)・2^{k+1}}+(n+1)・2^{n+2}\\
-R_n&=& 4+\sum_{k=1}^{n}{2^{k+1}}-(n+1)・2^{n+2}
\end{eqnarray}

\(-R_n=4+4\frac{2^n-1}{2-1}+(n+1)・2^{n+2}\)

\(-R_n=\cancel{4}+\cancel{4・2^{n}}-\cancel{4}-n・2^{n+2}+\cancel{4・2^n}\)

\(R_n=n・2^{n+2}\)

よって,求める\(U_{2n}\)は,

\(R_n=n(2^{n+2}-3)\)

<終>

まとめ

$$\sum_{k=1}^{2n}=b_{k}=\sum_{k=1}^{n}b_{2k-1}+b_{2k}$$

$$\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}b_{k}=\sum_{k=1}^{n}b_{2k}-b_{2k-1}

\(S_n=\sum_{k=1}^{n}k・r^{k}\)の求め方

\begin{eqnarray}
S_n &=& \sum_{k=1}^{n}k・r^{k}\\
-)rS_n&=&\sum_{k=1}^{n}{(k-1)・r^{k}}+n・r^{n+1}\\
(1-r)S_n&=&\sum_{k=1}^{n}{r^{k}}-n・r^{n+1}
\end{eqnarray}

関連記事へのリンク

問題まとめページー>

https://cupuasu.club/tag/highschool-math/

最後に

センター試験レベルの数列であれば,慣れれば簡単なのですが,慣れるまでに時間がかかります。また,\(\sum\)の考え方はプログラミングにも応用できるので,\(\sum\)を使いこなせると便利です。

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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!