[空間ベクトル]正四面体⇒三角錐の体積を求める問題

ユキ

来年は，FXと株式投資に挑戦したい。

どうも，ユキです。

今日は，空間ベクトルの入試問題を解いていきましょう。

記事の内容
☑ベクトルの大学入試1次試験レベルの問題
☑ベクトルで三角錐の体積を求める

問題

正方形ABCDを底面とする正四角錐OABCDがあり，各辺の長さは1である。底面の対角線の交点をＥとし，$\overrightarrow{OF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OE}$となる点Fをとる。また，辺OA上に点Pを，直線BF上に点QをPQ⊥OAとなるようにとる。以下，$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$とおき，実数$s$，$t$を用いて，$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{a}，\overrightarrow{BQ}=t\overrightarrow{BF}$と表せるとする。このとき，以下の問に答えなさい。

(1) $\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}，\overrightarrow{b}･\overrightarrow{c}，\overrightarrow{c}･\overrightarrow{a}$をそれぞれ求めなさい。

(2) $\overrightarrow{OQ}$を$s，t，\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい。また，$s$と\(t)の関係式を求めなさい。

(3) 三角形CPQの重心をRとする。点Rが平面ABC上にあるとき，$\overrightarrow{OR}$を求めなさい。

(4) 三角形BDRの面積を求めなさい。更に，三角錐FBDRの体積を求めなさい。

解答

(1)解答

図1．各辺の長さが1の正四面体OABCD

$\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}･\overrightarrow{c}=1･1･\cos 60^°=\frac{1}{2}$

$\overrightarrow{a}･\overrightarrow{c}=|\overrightarrow{OA}|･|\overrightarrow{OB}|\cos 90^°=0$

(2)解答

$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BQ}$

$=\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{BF}$

$=\overrightarrow{OB}+t(\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OB})$

$=(1-t)\overrightarrow{OB}+\frac{3}{2}t\overrightarrow{OE}$

$=(1-t)\overrightarrow{OB}+\frac{3}{2}t(\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}{2})$

$=(1-t)\overrightarrow{OB}+\frac{3}{4}t(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$

<終>

また，$s，t$の関係式について，PQ⊥OAより，

$\overrightarrow{PQ}･\overrightarrow{OA}=0$

$(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})･\overrightarrow{OA}=0$

$(\overrightarrow{OQ}-s\overrightarrow{OA})･\overrightarrow{OA}=0$

$\overrightarrow{OA}･\overrightarrow{OQ}=s\tag{1}$

先ほど求めた$\overrightarrow{OQ}$に，$\overrightarrow{OA}$との内積をとると，

$\overrightarrow{OA}･\overrightarrow{OQ}={(1-t)\overrightarrow{OB}+\frac{3}{4}t(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})}･\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OA}･\overrightarrow{OQ}=\frac{3}{4}t+\frac{1}{2}(1-t)$

$\overrightarrow{OA}･\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{4}t+\frac{1}{2}\tag{2}$

式(1)=式(2)より，$s$と$t$の関係式は，

$s=\frac{1}{4}t+\frac{1}{2}\tag{3}$

<終>

(3)解答

Rは三角形CPQの重心なので，

$\overrightarrow{OR}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}}{3}$

$=\frac{\overrightarrow{OC}+s\overrightarrow{OA}+(1-t)\overrightarrow{OB}+\frac{3}{4}t(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})}{3}$

$=(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}t)\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}(1-t) \overrightarrow{OB}+(\frac{1}{3}s+\frac{1}{4}t)\overrightarrow{OA}$

$s+t+u=1$より，

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}t+\frac{1}{3}(1-t)+\frac{1}{3}s+\frac{1}{4}t=1$

$\frac{1}{6}t+\frac{1}{3}s+\frac{2}{3}=1$

$\frac{1}{3}s=-\frac{1}{6}+\frac{1}{3}$

$s=-\frac{1}{2}t+1\tag{4}$

ここで，(2)の答えを利用します。

式(3)と式(4)を連立すると，

$s=\frac{1}{4}t+\frac{1}{2}$
$s=-\frac{1}{2}t+1$

$s$，$t$はそれぞれ，

$s=\frac{2}{3}$
$t=\frac{2}{3}$

$s，t$を$\overrightarrow{OR}$に代入すると，

$\overrightarrow{OR}=\frac{1}{3}((\frac{3}{4}\frac{2}{3}+\frac{2}{3})\overrightarrow{OC}+(1-\frac{2}{3})\overrightarrow{OB}+(\frac{3}{4}\frac{2}{3}+1)\overrightarrow{OC})$

$\overrightarrow{OR}=\frac{7}{18}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{9}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$