高校数学

[平面ベクトル]センター試験レベルの応用問題

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ユキ
ユキ
大学の工学部や理学部に入ったら,ベクトル積分というやつが出てきます。

どうも,ユキです。今日は,平面ベクトルの問題を解いていきましょう。

問題

\(OA=OB=1\),\(\angle AOB=150°\)を満たす三角形\(OAB\)に対して,辺\(AB\)を\(2:\sqrt{3}\)に内分する点を\(C\)とし,線分\(OC\)を\(C\)の方向に延長した半直線上に,\(OD=1\)となる点\(D\)をとる。このとき,以下の問いに答えなさい。

(1) \(\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},|\overrightarrow{OC}|\)を求めなさい。
(2) (1)を利用して,\(\overrightarrow{OD}・\overrightarrow{OA},|\overrightarrow{DA}|,\angle DOB,|\overrightarrow{DB}|\)を求めなさい。
(3) \(\overrightarrow{DA}・\overrightarrow{DB}\)を求めなさい。
(4) 辺\(OB\)の中点を\(E\)とし,線分\(DE\)と辺\(AB\)の交点を\(F\)とおくと,\(\overrightarrow{OF}\)をベクトル\(\overrightarrow{OB}\)と\(\overrightarrow{OD}\)を用いて表した後,\(\overrightarrow{OF}\)を\(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\)を用いて表しなさい。

問題解答

問題(1)解答

\(\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OB}=1・1・(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\overrightarrow{OC}=\frac{\sqrt{3}\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}}{2+\sqrt{3}}\)

\(\overrightarrow{OC}=(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB})\)

\(|\overrightarrow{OC}|=(2-\sqrt{3})\sqrt{(\sqrt{3}|\overrightarrow{OA}|+2|\overrightarrow{OB}|)^2}\)

\(|\overrightarrow{OC}|=(2-\sqrt{3})\sqrt{3\underbrace{|\overrightarrow{OA}|^2}_{1}+4\sqrt{3}\underbrace{\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OB}}_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}+4\underbrace{|\overrightarrow{OB}|^2}_{1})}\)

\(|\overrightarrow{OC}|=(2-\sqrt{3})\sqrt{3+4\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2})+4}\)

\(|\overrightarrow{OC}|=(2-\sqrt{3})\)

問題(2)解答

\(\overrightarrow{OD}・\overrightarrow{OA}=\frac{|\overrightarrow{OD}|}{|\overrightarrow{OC}|}\overrightarrow{OC}・\overrightarrow{OA}\)

\(\overrightarrow{OD}・\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB})・\overrightarrow{OA}\)

\(\overrightarrow{OD}・\overrightarrow{OA}=\sqrt{3}\underbrace{|\overrightarrow{OA}|^2}_{1}+2\underbrace{\overrightarrow{OB}・\overrightarrow{OA}}_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\overrightarrow{OD}・\overrightarrow{OA}=\sqrt{3}-\sqrt{3}=0\)

線分\(OD\)と線分\(OA\)が直角であることがわかりました。

次に,\(|\overrightarrow{DA}|\)を求めます。図を描くと,

\(OAD\)は直角二等辺三角形なので,

\(|\overrightarrow{DA}|=\sqrt{2}\)と求まります。

また,図から\(\angle DOB=60°\)となり,\(\triangle OBD\)が正三角形であることがわかるので,

\(|\overrightarrow{DB}|=1\)

となります。

<終>

問題(3)解答

\(|\overrightarrow{DA}|・|\overrightarrow{DB}|\)を求める為に,\(|\overrightarrow{AB}|^2\)を\(|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|^2\)及び\(|\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}|^2\)の2通りを計算します。

\(|\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|^2=1+1-2(-\frac{\sqrt{3}}{2})\)

\(|\overrightarrow{AB}|^2=2+\sqrt{3}\tag{1}\)

\(|\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}|^2=|\overrightarrow{DB}|^2+|\overrightarrow{DA}|^2-2\overrightarrow{DA}・\overrightarrow{DB}\)

\(|\overrightarrow{AB}|^2=3-2\overrightarrow{DA}・\overrightarrow{DB}\tag{2}\)

ここで,式(1)=式(2)より,

\(2+\sqrt{3}=3-2\overrightarrow{DA}・\overrightarrow{DB}\)

\(\overrightarrow{DA}・\overrightarrow{DB}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\)

<終>

問題(4)解答

\(\overrightarrow{OE}\)について,題意から

\(\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\)

ここで,\(\overrightarrow{OF}\)について,係数比較で解いていきましょう。

図1.\(CF:FB=s:1-s,DF:FE=k:1-k\)とおいた

図のように辺の比をおくと,次の2式を導くことができます。

\(\overrightarrow{OF}=(1-k) \overrightarrow{OC}+k\overrightarrow{OB}=(1-k) (2-\sqrt{3})\overrightarrow{OD}+k\overrightarrow{OB}\tag{3}\)

\(\overrightarrow{OF}=(1-s) \overrightarrow{OD}+s\overrightarrow{OE}=(1-s) \overrightarrow{OD}+\frac{s}{2}\overrightarrow{OB}\tag{4}\)

式(3)=式(4)より,係数比較を行うと,以下の連立方程式が得られます。

\((1-k)(2-\sqrt{3})=(1-s)\tag{5}\)

\(k=\frac{s}{2}\tag{6}\)

\(k=1-\frac{1}{\sqrt{3}}\)となるので,式(3)に代入して,

\(\overrightarrow{OF}=(\frac{1}{\sqrt{3}}(2-\sqrt{3})\overrightarrow{OD}+(1-\frac{1}{\sqrt{3}})\overrightarrow{OB})\)

\(\overrightarrow{OF}=(\frac{2\sqrt{3}}{3}-1)\overrightarrow{OD}+(1-\frac{\sqrt{3}}{3})\overrightarrow{OB})\)

\(\overrightarrow{OF}\)を\(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\)を用いて表すと,

\(\overrightarrow{OF}=(\frac{2\sqrt{3}}{3}-1)\frac{1}{2-\sqrt{3}}\overrightarrow{OC}+(1-\frac{\sqrt{3}}{3})\overrightarrow{OB})\)

\(\overrightarrow{OF}=(\frac{2\sqrt{3}}{3}-1)\frac{1}{\cancel{2-\sqrt{3}}}\cancel{(2-\sqrt{3})}(\sqrt{3}\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB})+(1-\frac{\sqrt{3}}{3})\overrightarrow{OB})\)

\(\overrightarrow{OF}=(\frac{2\sqrt{3}}{3}-1)(\sqrt{3}\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB})+(1-\frac{\sqrt{3}}{3})\overrightarrow{OB})\)

\(\overrightarrow{OF}=(2-\sqrt{3})\overrightarrow{OA}+(\frac{4\sqrt{3}}{3}-2) \overrightarrow{OB}+(1-\frac{\sqrt{3}}{3})\overrightarrow{OB}\)

\(\overrightarrow{OF}=(2-\sqrt{3})\overrightarrow{OA}+(\sqrt{3}-1) \overrightarrow{OB}\)

(別解)

図を書くと,

図2.三角形ODEと直線BCに関して,メネラウスの定理が適用出来る

ここで,メネラウスの定理より

\(\frac{OC}{CD}・\frac{DF}{FE}・\frac{EB}{BO}=1\)

\(\frac{DF}{FE}=\frac{CD}{OC}・\frac{BO}{BE}=\frac{OD-OC}{OC}・\frac{BO}{BO-EO}\)

\(\frac{DF}{FE}=\frac{1-(2-\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}・\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2-\sqrt{3}}\)

よって,\(\overrightarrow{OF}\)は,

\(\overrightarrow{OF}=\frac{(2-\sqrt{3})\overrightarrow{OD}+2(\sqrt{3}-1) \overrightarrow{OE}}{2(\sqrt{3}-1)+(2-\sqrt{3})}\)

\(\overrightarrow{OF}=\frac{(2-\sqrt{3})\overrightarrow{OD}+(\sqrt{3}-1) \overrightarrow{OB}}{\sqrt{3}}\)

\(\overrightarrow{OF}=(\frac{2\sqrt{3}}{3}-1)\overrightarrow{OD}+(1-\frac{\sqrt{3}}{3}) \overrightarrow{OB}\)

後は,先程のようにして解きます。

<終>

まとめ

\(\overrightarrow{OF}\)の求め方は2つ

1.\(\overrightarrow{OF}\)について,

$$\overrightarrow{OF}=(1-k) \overrightarrow{OD}+k\overrightarrow{OE}$$

$$\overrightarrow{OF}=(1-s) \overrightarrow{OC}+s\overrightarrow{OB}$$

として係数比較してもとめる

2.\(\overrightarrow{OF}\)をチェバ・メネラウスの定理を使ってもとめる。

関連問題へのリンク

問題まとめページー>

https://cupuasu.club/tag/highschool-math/

 

最後に

\(\overrightarrow{OF}\)は2つの求め方があるという話をしましたが,速さはどっちも同じくらいなので,先に思いついた方で解けばいいかと思います。今回の問題の場合は,連立方程式を作って解いた方が簡単ですね。

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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!