高校数学

【高校数学】三角関数の定義と象限について【基礎】

ユキ
ユキ
どうも,ユキです。

tanが好き。あの漸近線がたまらない。

ということで、高校数学の三角関数について,高校数学を例題と解説をみてわかりやすくしていこうと思います。

今日紹介する公式はこちら!!

 $$sin\theta=\frac{y}{r}\tag{1}$$

$$cos\theta=\frac{x}{r}\tag{2}$$

$$tan\theta=\frac{y}{x}\tag{3}$$

今回の記事を読むメリット

・三角関数の基礎がわかる

・象限について理解できる

三角関数とは

三角関数とは,直角三角形の関数のことを言います。

関数というのは,だいたいxとyの変数で表されますが,xに何かをいれたら,それに応じてyが出てくるという意味です。

例えば,y=2xであれば,xに2を代入したらyが4と出ますね。

三角関数には,

\(sin\theta\)

\(cos\theta\)

\(tan\theta\)

があります。

この場合の変数はyとθですね。

まず,これらの定義についてみていきます。

\(sin\theta\)\(cos\theta\)\(tan\theta\)の定義

定義に必要な図を描きます。まず,xy平面上に,中心(0,0),半径rの円を描きます。

次に円の中に三角形を書いて,角度を\(\theta\)とします。

そうすると,\(sin\theta\)\(cos\theta\)\(tan\theta\)は次式で定義されます。

 

 $$sin\theta=\frac{y}{r}\tag{1}$$

$$cos\theta=\frac{x}{r}\tag{2}$$

$$tan\theta=\frac{y}{x}\tag{3}$$

 

※piは円周率のことです。

角度は度で表すこともありますが,高校数学ではラジアン[rad]で表現することが多いため,それに沿って進めていきます。

piは180度と表すため,90度は\(\frac{pi}{2}\)と表せます。

次の例題と問題を解いて覚えましょう。

三角関数の例題と問題

例題1

次の直角三角形から\(sin\theta\)\(cos\theta\)\(tan\theta\)を求めてみよう,

 

例題1解答:

$$sin\theta=\frac{12}{13}$$

$$cos\theta=\frac{5}{13}$$

$$tan\theta=\frac{12}{5}$$

 

問題1

次の直角三角形から\(sin\theta\)\(cos\theta\)\(tan\theta\)を求めよ。

(1)

(2)

 

難(3)

          

(4)              

(5)             

☆(6)

三角関数の値の符号と象限

一般に、三角関数\(sin\theta\),\(cos\theta\),\(tan\theta\)の値の符号は、\(\theta\)の動径がどの象限にあるかに依存します。

 

上の3図は、教科書から引っ張ってきましたが、この3図はすべてを覚える必要はありせん。

1つの図で覚えたほうがてっとり早いです。その図がこちらです。

覚えるのはこの図だけです。

この図は横軸を\(cos\theta\),縦軸を\(sin\theta\)して半径1の円を描いて,円の中に色を塗っただけです。

この図からは,3つのことが分かります。

1.\(cos\theta\)は軸から右側が正で,左側が負

2.\(sin\theta\)は軸から上側が正で,下側が負

3.\(cos\theta\)と\(sin\theta\)の範囲は円の内側(境界線を含む)なので,

$$-1≦cos\theta≦1,-1≦sin\theta≦1$$

 

ここで,なぜ横軸を\(cos\theta\),縦軸を\(sin\theta\)とおけるのか疑問に思う人もいるかもしれませんので,説明します。

 

まず,横軸を\(x\),縦軸を\(y\)として半径\(r\)の円を描きます。

ここで,図全体を\(\frac{1}{r}\)倍します。

 

すると,\(sin\theta=\frac{y}{r}\),\(cos\theta=\frac{x}{r}\)だったので,

となり、先ほどの図と同じ図になります。

三角関数のまとめ

三角関数のまとめ

 $$sin\theta=\frac{y}{r}\tag{1}$$

$$cos\theta=\frac{x}{r}\tag{2}$$

$$tan\theta=\frac{y}{x}\tag{3}$$

最後に

数学の公式は,問題を解くための道具であることを理解して欲しいです。

また,公式を覚えるだけではなく,理解することが大事だと思います。

本記事では,公式の導出や例題を使って公式を覚えてもらう仕様にしています。

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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!