数学

[微分積分]2つの領域面積が等しいときに変数aを求める問題

ユキ
ユキ
センター試験あるある,会場に半袖で行く人が一人はいる。

どうも,ユキです。

今日は,積分の問題を解いていこうと思います。

この記事を読むメリット
☑微分積分のセンター試験レベルの演習問題を解くことができる。

問題

曲線\(C:y=\frac{1}{4}x^2 (x \leq 0)\)上に点\(P\)がある。

(1) 点\(P\)における曲線\(C\)の接線\(l\)の方程式を求めなさい。また,直線\(l\)と\(x\)軸との交点\(Q\)の座標を求めなさい。
(2) 点\(Q\)を通り\(l\)に垂直な直線\(m\)の方程式を求めなさい。
(3) 直線\(l\)と\(y\)軸との交点を\(R\)とすると,三角形\(AQR\)の面積を求めなさい。また,曲線\(C\),直線\(l\)および,\(y\)軸で囲まれた面積を求めなさい。
(4) 曲線\(C\),直線\(AQ\)および\(y\)軸で囲まれた図形の面積を\(S\)とし,曲線\(C\),直線\(l\),および直線\(AQ\)で囲まれた図形の面積を\(T\)とすると,\(S=T\)のときの\(a\)を求めなさい。
(5) \(f(a)=S-T\)とするとき,\(f(a)\)を求めなさい。また,\(0<a<2\sqrt{3}\)で変化するとき\(f(a)\)の最大値とそのときの\(a\)の値を求めなさい。

問題解答

問題(1)解答

\(y’(x)=\frac{1}{2}x^2\)

\(y’(a)=\frac{1}{2}a^2\)

直線\(l\)の方程式は傾きが\(y’(a)\)で\((a,\frac{1}{4}a^2)\)をとおるので,次のように求められます。

\(y=y’(a)(x-a)+\frac{1}{4}a^2\)

\(y=\frac{1}{2}a(x-a)+\frac{1}{4}a^2\)

\(y=\frac{1}{2}ax-\frac{1}{4}a^2\)

また,点\(Q\)の座標は,\(x\)軸と直線\(l\)の交点なので,

\(y=\frac{1}{2}ax-\frac{1}{4}a^2=0\)

\(x=\frac{1}{2}a\)

よって,交点\(Q\)の座標は,

\((\frac{1}{2}a,0)\)

となります。

<終>

問題(2)解答

直線\(m\)は,傾きが\(\frac{-1}{y’(a)}\)で点\(Q\)をとおるので,

\(y=-\frac{1}{y’(a)}(x-\frac{1}{2}a)+0\)

\(y=-\frac{2}{a}(x-\frac{1}{2}a)\)

\(y=-\frac{2}{a}x+1\)

<終>

問題(3)解答

直線\(l\)と\(y\)軸の交点を\(R\)とすると,三角形\(AQR\)の面積は,

\(\frac{1}{2}×AQ×QR\)

\(=\frac{1}{2}×(1-(-\frac{1}{4}a^2))×(\frac{1}{2})\)

\(=\frac{1}{16}a^3+, frac{1}{4}a\)

また,直線\(C\),直線\(l\)および\(y\)軸で囲まれた図形の面積は,

\(\int_{0}^{a}\underbrace{\frac{1}{4}x^2}_{曲線C}-\underbrace{(\frac{1}{2}ax-\frac{1}{4}a^2)}_{直線l}dx\)

\(=[\frac{1}{12}x^3-\frac{1}{4}ax^2+\frac{1}{4}a^2x]_{0}^{a}\)

\(=\frac{1}{12}a^3\)

<終>

問題(4)解答

領域\(S,T\)を図で表すと、

ただし、このままでは、領域\(S,T\)を比較できないので、

直線\(l\),直線\(AQ\),\(y\)軸で囲まれた面積を新たに\(H\)とすると,

\(S=T\)のとき,\(S+H=T+H\)とできます。図で表すと、

\(S+H\)は,三角形\(AQR\)の面積で,\(T+H\)は,曲線\(C\),直線\(l\)および\(y\)軸で囲まれた図形の面積なので,

\(\underbrace{\frac{1}{16}a^3+\frac{1}{4}a}_{S+H}=\underbrace{\frac{1}{12}a^3}_{T+H}\)

\(\frac{1}{48}a^3+\frac{1}{4}a=0\)

\(a(a^2-12)=0\)

\(a > 0\)より,

\(a=2\sqrt{3}\)

問題(5)解答

\(f(a)=S-T=S+H-(T+H)\)

\(f(a)=\underbrace{\frac{1}{16}a^3+\frac{1}{4}a}_{S+H}-\underbrace{\frac{1}{12}a^3}_{T+H}\)

\(f(a)=-\frac{1}{48}a^3+\frac{1}{4}a\)

\(f’(a)=-\frac{1}{16}a^2+\frac{1}{4}\)

\(f’(a)=0\)とすると,

\(-\frac{1}{16}a^2+\frac{1}{4}=0\)

\(a^2=4\)

\(a=2\)

\(f(2)=-\frac{8}{48}+\frac{2}{4}=\frac{1}{3}\)

\(a=2\)のとき,最大値\(\frac{1}{3}\)をとる。

まとめ

今日のまとめ

\(S=T\)を求めにくいときは、\(S+H=T+H\)として求める。

最後に

積分の計算がめんどくさいと感じたら工夫して解いてください。

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ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!