どうも,ユキです。
高校数学の数学1と数学Aについて公式をまとめました。
どうぞ！！
数学Ⅰ
第1章 数と式
語句まとめ：単項式，多項式，次数，係数，同類項，降べきの順
指数法則：
\(a^m\times a^n=a^{m+n}\)，\((a^m)^n=a^{mn}\)，\((ab)^n=a^nb^n\)
展開の公式：
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
\((a+b)^3=a^3+3a^b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
\((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)
因数分解の公式：
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
\(a^3+3a^b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\)
\(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\)
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\)
展開の工夫：
Aとおいて\((A+x)(A-x)\)，掛ける順序を変える
因数分解の工夫：
Aとおいて\(A^2+(a+b)A+ab\)，次数の低い方の文字について式を整理，次数が同じのときは\(x\)について降べきの順に整理，共通因数があればくくり出す。
語句まとめ：整数，自然数，有理数，無限小数，有限小数，循環小数，無理数
循環小数：
\(0.aaa\dots=0.\dot{a}\)
\(0.abcabcabc\dots=0.\dot{a}b\dot{c}\)
\(1.abcabcabc=1.\dot{a}b\dot{c}\)
整数の四則演算の性質：
２つの有理数の和，差，積，商は常に有理数
２つの実数の和，差，積，商は常に実数
絶対値の性質：
\(a\leq 0\)のとき\(|a|=a\)，\(a<0\)のとき\(|a|=-a\)，\(\sqrt{a^2}=|a|\)
根号を含む式の計算：
\(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)， \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)， \(\sqrt{k^2a}=|k|\sqrt{a}\)
有理化：
\(\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{b\sqrt{a}}{a}\)
分母の有理化：
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b\)
2重根号
\(\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)，\(\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|\)
不等式の性質：
\(A<B\)，\(C<0\)ならば，\(AC>BC\)，\(\frac{A}{C}>\frac{B}{C}\)
両辺に負の数を掛けると，両辺の大小関係は入れかわる
語句まとめ：1次不等式，連立不等式
絶対値を含む方程式・不等式：
\(|x|=c\)の解は \(x=\pm c\)
\(|x|<c\)の解は \(-c<x<c\)
\(|x|>c\)の解は \(x<-c\)，\(c<x\)
絶対値と場合分け：\(A\leq 0\)のとき\(|A|=A\)，\(A<0\)のとき\(|A|=-A\)
ド･モルガンの法則：
\(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\)，
\(\overline{A\cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
語句まとめ：必要条件，十分条件，必要十分条件，命題とその逆･裏･対偶
対偶を利用する証明：
命題\(p\Rightarrow q\)を証明するのに，その対偶\(\overline{q}\Rightarrow \overline{p}\)を証明してもよい。
背理法を利用する証明：
命題が成り立たないと仮定して矛盾を導くことにより，元の命題が真であると結論する。
第2章 2次関数
1次関数，2次関数の一般形：
1次関数：\(y=ax+b\)，
2次関数：\(y=ax^2+bx+c\)
\(y\)が\(x\)の関数であるとき，\(x\)の式を\(f(x)\)や\(g(x)\)のように書くことがある。
\(x=a\)のときの関数\(f(x)\)の値を\(f(a)\)で表す。
語句まとめ：定義域，値域，最大値，最小値、象限
2次関数のグラフ：
1-1 2次関数\(y=ax^2\)のグラフは放物線
1-2 その軸は\(y\)軸\((x=0)\)，頂点は原点\((0,0)\)
1-3 \(a>0\)のとき，下に凸，\(a<0\)のとき 上に凸
2 2次関数\(y=a(x-p)^2+q\)のグラフは，\(y=ax^2\)のグラフを\(x\)軸
方向に\(p\)，\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動した放物線。その軸は
\(x=p\)， 頂点は点\((p,q)\)
3 2次関数\(f(x)\)のグラフを，\(x\)軸方向に\(p\)，\(y\)軸方向に\(q\)
だけ移動すると，移動後の放物線の方程式は，\(y-q=f(x-p)\)
対称移動：
2次関数\(y=f(x)\)のグラフを，\(x\)軸，\(y\)軸，原点それぞれに関して対称移動すると，移動後の放物線の方程式は，
\(x\)軸：\(-y=f(x)\)，\(y\)軸：\(y=f(-x)\) 原点：\(-y=f(-x)\)
2次関数の定義域と最大･最小->
2次関数の決定->
連立3元1次方程式の解き方：
1．1文字を消去して，残り2文字の連立方程式を導く
2．2文字の連立方程式を解く
3．残りの1文字の値を求める
2次方程式の解の公式：
2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解は，
\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)について，\(D=b^2-4ac\)で定義された\(D\)を判別式という。
\(D=b^2-4ac\)の符号：
\(D>0\)，\(D=0\)，\(D<0\)
実数解 \(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，\(-\frac{b}{2a}\)，ない
実数解の個数 2個 1個 0個
2次関数のグラフと\(x\)軸の位置関係：
\(D=b^2-4ac\)の符号 \(D>0\)，\(D=0\)，\(D<0\)
\(x\)軸との位置関係：異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない
\(x\)軸との共有点の個数 2個 1個 0個
実数解 \(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，\(-\frac{b}{2a})，ない
放物線と直線の共有点の座標->
2次不等式の解：
\(D=b^2-4ac\)の符号 \(D>0\)，\(D=0\)，\(D<0\)
\(ax^2+bx+c=0\)の実数解 \(x=\alpha, \beta\) \(x=\alpha\) ない
\(ax^2+bx+c>0\)の解 \(x<\alpha，\beta<x\) \(\alpha\)以外の全ての実数
全ての実数
\(ax^2+bx+c\geq 0\)の解 \(x<\alpha，\beta<x\) 全ての実数
全ての実数
\(ax^2+bx+c < 0\)の解 \(\alpha<x<\beta\) ない ない \(ax^2+bx+c\leq0\)の解 \(\alpha\leq x\leq \beta\) \(x=\alpha\) ない
2次不等式の応用->
連立不等式->
絶対値を含む関数のグラフ->
第3章 図形と計量
三角比の定義（正弦，余弦，正接）：
\(sin\theta=\frac{y}{r}\)， \(cos\theta=\frac{x}{r}\)， \(tan\theta=\frac{y}{x}\)
三角比の応用：
\(y=rsin\theta\)， \(x=rcos\theta\)， \(y=xtan\theta\)
三角比の相互関係：
\(tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}\)， \(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)，
\(1+tan^2\theta=\frac{1}{cos^2\theta}\)
三角比の拡張->
座標を用いた三角比の定義->
\(90^\circ-\theta\)の三角比
\(sin(90^\circ-\theta)=cos\theta\)，\(cos(90^\circ-\theta)=sin\theta\)，
\(tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{tan\theta}\)
\(180^\circ-\theta\)の三角比
\(sin(180^\circ-\theta)=sin\theta\)，\(sin(180^{circ}-\theta)=-cos\theta\)，
\(tan(180^\circ-\theta)=-tan\theta\)
直線の傾きと正接(タンジェント)：
直線\(y=mx\)の傾き\(m\)と\(tan\theta\)について
\(m=tan\theta=\frac{y}{x}\)
正弦定理：
\(\triangle \)ABCの外接円の半径を\(R\)とすると，
$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$
余弦定理：
\(a^2=b^2+c^2-2b･c･coosA\)， \(b^2=c^2+a^2-2c･a･cosB\)，
\(c^2=a^2+b^2-2a･b･cosC\)
三角形の余弦を表す式：
\(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)， \(cosB=\frac{c^c2+a^2-b^2}{2ca}\)， \(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
三角形の面積：
1 \(\triangle\)ABCの面積\(S\)は，
\(S=\frac{1}{2}b･c･sinA\)，\(S=\frac{1}{2}c･a･sinB\)，\(S=\frac{1}{2}a･b･sinC\)
2 \(\triangle\)ABCの面積を\(S\)，\(\triangle\)ABCの内接円の半径を\(r\)とするとき，
\(S=\frac{1}{2}r(a+b+c)\)
ヘロンの公式：
\(\triangle\)ABCの面積\(S\)は
\(2s=a+b+c\)とすると \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
第4章 データの分析
平均値：
データの値が\(x_1，x_2，\cdots，x_n\)であるとき，このデータの平均値\(\overline{x}\)は\(\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)\)
語句まとめ：最頻値，モード，中央値，範囲，四分位数，四分位範囲，四分位偏差
四分位範囲：\(Q_3-Q_1\)，四分位偏差：\(\frac{Q_3-Q_1}{2}\)
分散と標準偏差：
データの値が\(x_1，x_2，\cdots，x_n\)で，その平均値が\(\overline{x}\)のとき，
分散：\(s^2=\frac{1}{n}(x_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})+\cdots+(x_n-\overline{x})\)
標準偏差：s=\(\sqrt{分散}\)
分散のもう1つの式：
\(x^2\)の平均値を\(\overline{x^2}\)とすると，
分散：\(s^2=\frac{1}{n}(\overline{x^2}-\overline{x}^2)\)
語句まとめ：相関，正の相関，負の相関
\(x\)と\(y\)の共分散：
\(Cov(x,y)=((x_1-\overline{x})(y_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})(y_2-\overline{y})+\cdots+(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})\)
相関係数の定義：
\(x\)と\(y\)の共分散\(Cov(x,y)\)，\(x\)の分散\(S_x\)，\(y\)の分散\(S_y\)のとき，
相関係数：\(r=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt{S_xS_y}}\)
数学A
第1章 場合の数と確率
\(n(A)\)：集合\(A\)の要素の個数：
空集合\(\emptyset\)は要素が1つもない集合であるから，
\(n(\emptyset)=0\)
\(U\)：全体の集合
\(\overline{A}\)：\(A\)の補集合
和集合，補集合の要素の個数：
\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)，\(n(\overline{A})=n(U)-n(A)\)
場合の数->
和の法則，積の法則->
\({}_n \mathrm{P}_r\)：異なる\(n\)個のものから\(r\)個を取り出して並べる順列の総数
順列の総数\({}_n\mathrm{P}_r\)：
$${}_n\mathrm{P}_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)$$
\(n\)の階乗
$${}_n\mathrm{P}_n=n!=n(n-1)(n-2)\cdots･3･2･1$$
順列の総数\({}_n\mathrm{P}_r\)：
$${}_n\mathrm{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$
円順列の総数：
異なるn個の円順列の総数は\((n-1)!\)通り
重複順列の総数：
\(n\)個から\(r\)個とる重複順列の総数は\(n^r\)通り
組み合わせの総数\({}_n\mathrm{C}_r\)：
$${}_n\mathrm{C}_r=\frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}=\frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)\cdots･3･2･1}$$
\({}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r}\)
同じものを含む順列の総数：
\(a\)が\(p\)個，\(b\)が\(q\)個，\(c\)が\(r\)個あるとき，それらを全部を1列に並べる順列の総数は
$${}_n\mathrm{C}_p\times {}_{n-p}\mathrm{C}_q=\frac{n!}{p!q!r!}$$
ただし，\(p+q+r=n\)
重複を許して作る組み合わせの総数：
異なる\(n\)個のものから重複を許して\(r\)個とって作る組み合わせの総数
\({}_{(n-1)+r}\mathrm{C}_r\)
語句まとめ：試行，事象，全事象
事象Aが起こる確率：
$$P(A)=\frac{事象Aの起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数}=\frac{n(A)}{n(U)}$$
確率の基本性質：
1 \(0\leq P(A)\leq 1\)，\(P( \emptyset )=0\)，\(P(U)=1\)
2 事象\(A，B\)が互いに排反であるとき
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
余事象と確率：
\(P(A)+P(\overline{A})=1\)，すなわち \(P(\overline{A})=1-P(A)\)
一般の和事象の確率：
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
独立な試行の確率：
2つの試行SとＴが独立であるとき，Ｓで事象\(A\)が起こり，かつTで事象\(B\)が起こる確率\(p\)は，\(P(A)\)と\(P(B)\)の積に等しい
\(p=P(A)\times P(B)\)
反復試行の確率：
1回の試行で事象\(A\)が起こる確率\(p\)，この試行を\(n\)回行う反復試行で，\(A\)がちょうど\(r\)回起こる確率は
\({}_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}\)
条件付き確率：
\(A\)を全事象としたときに，事象\(B\)が起こる確率\(P_A (B)\)
\(P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}\)
確率の乗法定理：
\(P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\)
全確率の公式：
\(P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)=P(A)P_A(E)+P(B)P_B(E)\)
第2章 図形の性質
三角形の角の二等分線と比：
\(\triangle\)ABCの\(\angle\)Aの二等分線と辺BCとの交点は，辺BCをAB：ACに内分する。
三角形の外角の二等分線と比：
AB\(\neq \)ACである\(\triangle \)ABCの\(\angle\)Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点は，辺BCをAB：ACに外分する
三角形の辺の垂直二等分線：
三角形の3辺の垂直二等分線は1点(三角形の外心)で交わる
三角形の内角の二等分線：
三角形の3つの内角の二等分線は1点(三角形の内心)で交わる
三角形の中線：
三角形の3本の中線は1点(三角形の重心)で交わり，その点は各中線を2：1に内分する
チェバの定理：
\(\triangle\)ABCの内部にOがある。頂点A，B，CとOを結ぶ直線が向かい合う辺と，それぞれ点P，Q，Rで交わるとき
$$\frac{BP}{PC}･\frac{CQ}{QA}･\frac{AR}{RB}=1$$
メネラウスの定理：
\(\triangle\)ABCの辺BC，CA，ABまたはその延長が，三角形の頂点を通らない直線\(\ell\)と，それぞれ点P，Q，Rで交わるとき
$$\frac{BP}{PC}･\frac{CQ}{QA}･\frac{AR}{RB}=1$$
三角形の辺と角の大小関係：
\(\triangle\)ABCにおいて
\(b>c\Longleftrightarrow \angle B>\angle C\)
1つの三角形において：
1．2辺の長さの和は，他の一辺の長さよりも大きい
2．2辺の長さの差は，他の一辺の長さよりも小さい
\(|b-c| <a<b+c\)
円周角の定理：
1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり，その弧に対する中心角の大きさの半分である。
円周角の定理の逆：
4点A，B，P，Qについて，点P，Qが直線ABに関して同じ側にあって
\(\angle APB=\angle AQB\)ならば，4点A，B，P，Qは1つの円周上にある
円に内接する四角形の性質：
円の内接する四角形について，
1． 対角の和は\(180^\circ\)である
2． 内角は，その対角の外角に等しい
四角形が円に内接するための条件：
次の
または
が成り立つ四角形は，円に内接する
1組の対角の和が\(180^\circ\)である
内角が，その対角の外角に等しい
円の接線：
直線\(l\)が点Aで円Oに内接する\(\Longleftrightarrow OA \perp \ell\)
円の接線の長さ：
円の外部の1点からその点に引いた2つの接線の長さは等しい
円の接線と弦の作る角：
円の接線とその接点を通る弦の作る角は，その角の内部にある弧に対する円周角に等しい
方べきの定理Ⅰ：
円の2つの弦AB，CDの交点，またはそれらの延長の交点をPとすると，
\(PA･PB=PC･PD\)
方べきの定理Ⅱ：
円の外部の点Ｐから円に引いた折線の接点をTとする。Ｐを通ってこの円と2点A，Bで交わる直線を引くと，
\(PA･PB=PT^2\)
方べきの定理Ⅰの逆：
2つの線分ABとCD，またはABの延長とCDの延長が点Pで交わるとき，PA･PB=PC･PDが成り立つならば，4点A，B，C，Dは1つの円周上にある
語句まとめ：接点，外接，内接，共通接線
2直線の位置関係：
2直線\(\ell，m\)が平行であるとき，\(\ell\parallel m\)と書く
3直線\(\ell，m，n\)について，次のことが成り立つ：
\(\ell\parallel m\)， \(m\parallel n\) ならば \(\ell\parallel n\)
三垂線の定理：
1 \(OA\perp \alpha，OB\perp \ell \) ならば \(AB \perp \ell\)
2 \(OA\perp \alpha，AB\perp \ell \) ならば \(OB \perp \ell\)
3 \(OA\perp l，AB\perp \ell \) ならば \(OA \perp \alpha\)
多面体
オイラーの多面体定理：
頂点の数\(v\)，辺の数\(e\)，面の数\(f\)とすると
\(v-e+f=2\)
多面体の面積->
第3章 整数の性質
語句まとめ：整数，約数，倍数
倍数判定法：
2の倍数 \(\cdots\) 一の位が0，2，4，6，8のいずれかである
5の倍数 \(\cdots\) 一の位が0，5のいずれかである
3の倍数 \(\cdots\) 各位の数の和が3の倍数である
9の倍数 \(\cdots\) 各位の数の和が9の倍数である
語句まとめ：素数，合成数，因数，素因数，素因数分解
自然数\(N\)の素因数分解が\(N=p^aq^br^c\cdots\)となるとき，\(N\)の整数の約数の個数は：
\((a+1)(b+1)(c+1)\cdots\)
語句まとめ：公約数，最大公約数，公倍数，最小公倍数，互いに素
\(a，b，c\)は整数で，\(a，b\)は互いに素であるとする
1 \(ac\)が\(b\)の倍数であるとき，\(c\)は\(b\)の倍数である
2 \(a\)の倍数であり，\(b\)の倍数でもある整数は，\(ab\)の倍数である。
最大公約数･最小公倍数の性質：
2つの自然数\(a，b\)の最大公約数を\(g\)，最小公倍数を\(l\)とする。\(a=ga’\)，\(b=gb’\)であるとすると，次のことが成り立つ
\(a’，b’\)は互いに素，\(l=ga’b’\)，\(ab=gl\)
整数の割り算：
整数\(a\)と整数\(b\)について
\(a=bq+r\)，\(0\leq r<b\)
となる整数\(q，r\)は1通りに定まる
商，余り->
連続する整数の積の性質：
連続する2つの整数の積は2の倍数
連蔵する3つの整数の積は6の倍数
自然数の積と素因数の個数->
和，差，積の余り：
\(m\)を正の整数とし，2つの整数\(a，b\)を\(m\)で割ったあまりを，それぞれ\(r，r’\)とすると，
1 \(a+b\)を\(m\)で割ったあまりは，\(r+r’\)を\(m\)で割った余りに等しい
2 \(a-b\)を\(m\)で割ったあまりは，\(r-r’\)を\(m\)で割った余りに等しい
3 \(ab\)を\(m\)で割ったあまりは，\(rr’\)を\(m\)で割った余りに等しい
法，合同：
\(a\)を\(m\)で割ったあまりと，\(b\)を\(m\)で割ったあまりが等しいとき，\(a\)と\(b\)は\(m\)を法として合同であるという
合同式：\(a\equiv b (mod m)\)
合同式について：
\(a\equiv a \pmod{m}\)
\(a\equiv b \pmod{m}\)のとき \(b\equiv a \pmod{m}\)
\(a\equiv b \pmod{m})\)，\(b\equiv c \pmod{m}\)のとき \(a\equiv c \pmod{m}\)
\(a\equiv c \pmod{m}\)，\(b\equiv d \pmod{m} \)のとき
1 \(a+b\equiv c+d \pmod{m}\) 2 \(a-b\equiv c-d \pmod{m}\)
3 \(ab\equiv cd \pmod{m}\) 4 \(a^k\equiv c^k \pmod{m}\)
ユークリッドの互除法->
\(a=bq+r\)：
自然数\(a，b\)について，\(a\)を\(b\)で割ったときのあまりを\(r\)とすると，\(a\)と
\(b\)の最大公約数は，\(b\)と\(r\)の最大公約数に等しい
互除法の活用：
2つの整数\(a\)，\(b\)が互いに素であるとき，整数\(c\)について \(ax+by=c\)を満たす整数\(x，y\)が存在する。
\(a，b，c\)は整数の定数で，\(a\neq 0\)，\(b\neq 0\)とする。\(x\)，\(y\)の1次方程式：
\(ax+by=c\)
を成立させる整数\(x\)，\(y\)の組を，この方程式の整数解という。この方程式の整数解を求めることを1次不定方程式を解くという。
\(ax+by=0\)の整数解：
2つの整数\(a，b\)が互いに素であるとき，方程式\(ax+by=0\)の全ての整数解は，次のように表される。
\(x=bk\) ,\(y=-ak\) (\(k\)は整数)
\(ax+by=1\)の整数解：
1 方程式\(ax+by=1\)の整数解を1つ求める
2 \(ax+by=0\)に帰着させて，整数解を全て求める
\(ax+by=c\)の整数解：
1 方程式\(ax+by=1\)の整数解を1つ求める
2 両辺に\(c\)を掛けて，\(a(cx)+b(cy)=c\)にする
3 \(ax+by=0\)に帰着させて，整数解を全て求める
整数の性質の活用->
語句まとめ：有限小数，無限小数，循環小数
有限小数で表される分数：
\(\frac{m}{n}\)は有限小数で表される\(\Longleftrightarrow\)\(n\)の素因数は2，5だけからなる
[affi id=23]
最後に
よくぞ,ここまで読まれました。
公式を忘れて解けないってことよくありますよね。
全部覚えることはないですが,穴がないようにしないといけません。
お互い頑張りましょう。
