[電子物性]演習問題

ユキ

昼食を食べない。どうも，ユキです。

今日は電子物性の問題を解いていきたいと思います。

問題は5問ですが，それぞれ癖のある問題なので気を引き締めて取り組んでいきます。

問題1

p型半導体とn型半導体を用いてダイオードを作製した。このダイオードのI-V特性が図のようになった時，①から④の点におけるバンド図を示せ。また，③に関しては大きな電流が流れる理由を，④に関してはわずかに電流が流れる理由を，それぞれ説明せよ。

問題1解答

図1．①のバンド図

図2．②のバンド図

図3．③のバンド図

図4．④のバンド図

③となる理由

逆バイアスをかけると，相対的にn型のエネルギー準位が低くなるため，少数キャリアが電気伝導を担うようになるから。

④となる理由

拡散電位より高い順バイアスをかけると，相対的にp型のエネルギー準位が低くなるため，多数キャリアが電気伝導を担うようになるから。

問題2

アクセプタ密度\(N_A\)[m^-3]のp型半導体とドナー密度\(N_D\)[m^-3]のn型半導体を用いて，ダイオードを作製した。

(1) 空間電荷層内の電位および電界を求めよ。電位の基準はp型半導体側とし，半導体の誘電率は\(\varepsilon\)とする。
(2) Pn接合前後のバンド図を示せ。
(3) 接合部の静電容量\(C\)と拡散電位\(V_D\)の関係式を示せ。

問題2解答

(1)解答

(ⅰ)\(-l_p \leq x \leq 0\)

ポアソン方程式と電界電位の関係式より,\(i_x\)を\(x\)軸方向の単位ベクトルとすると,以下の式が成立します。

\(\frac{d^2 V(x)}{dx^2}=-\frac{dE(x)}{dx}i_x=-\frac{-eN_A}{\varepsilon}\)

\(i_x\)は,\(x\)軸方向の単位ベクトル

\(E(x)= -\frac{eN_A}{\varepsilon}(x+l_p)i_x (∵E(-l_p)=0)\)

\(V(x)=\frac{eN_A}{2\varepsilon}(x+l_p)^2 (∵V(-l_p)=0\)

（ⅱ）\(x \geq 0 \leq l_n\)

ポアソン方程式と電界電位の関係式より,\(i_x\)を\(x\)軸方向の単位ベクトルとすると,以下の式が成立します。

\(\frac{d^2 V(x)}{dx^2}=-\frac{dE(x)}{dx}i_x=-\frac{eN_D}{\varepsilon}\)

\(E(x)= \frac{eN_D}{\varepsilon}(x-l_n)i_x (∵E(l_n)=0)\)

\(V(x)=-\frac{eN_D}{2\varepsilon}(x-l_n)^2 + \frac{e}{2\varepsilon}(N_Al_p^2+N_Dl_n^2) (∵V(0)= \frac{eN_A}{2\varepsilon}l_p^2))\)

(2)解答

図5．pn接合前

図6．pn接合後

(3)解答

\(V_D=|V(l_n)|= \frac{e}{2\varepsilon}(N_Al_p^2+N_Dl_n^2)\)

\(C=\frac{dQ}{dV_D}\)

ここで，電荷量\(Q\)は，n型半導体空間電荷層の全電荷であるので，

\(Q=eN_D Sl_n\)　（∵\(x\)軸から見た表面積を\(S\)とおいた）

\(C=eN_DS\frac{dl_n}{dV_D}\)

問題3

熱力学的に平衡状態にある電子はフェルミ・ディラック分布\(f(E)=\frac{1}{exp(\frac{E-E_0}{k_B T})+1}\)に従い，室温付近ではボルツマン分布\(f_B(E)=exp(-\frac{E-E_0}{k_BT})\)で近似できる。\(E_0\)は基準となるエネルギーである。問2のダイオードにおいて，以下の問に答えよ。

(1) n型半導体の伝導帯の電子の内，p型半導体の伝導帯にジャンプできる電子密度\(n’\)を求めよ。拡散電位は\(V_D\)として良い。
(2) n型半導体に順方向バイアス\(V_b\)を印加した際にダイオードを流れる電流は，\(I=I_0[exp(\frac{eV_b}{k_BT})-1]\)の形で表せることを示せ。