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どうも，ユキです。
磁石は，S極とN極に分けられないみたいですね。
磁石を細かく切り分けると，最終的に電子の自転運動が最小の磁石として残ります。
さて，そんな話は置いといて，磁気学の問題を解いていきましょう。
問題1
図のように，3本の無限長直線導線A，B，Cが閉校に置かれ，それぞれ図の向きに同じ大きさの電流\(I\)が流れている。このとき，導線Aに働く力は，単位長さあたり，\(f=\frac{μ_0I^2 a}{2\pi bc}\)となることを示せ。
問題1解答
無限長直線導線の電流が作り出す電束密度\(B\)は，アンペールの法則より，
\(\oint_c B ds=μ_0 I\)
\(|B|\underbrace{\oint_c ds}_{2\pi r}=μ_0 I \)
\(|B|=\frac{μ_0I}{2\pi r}\)[T]
よって，BがAに及ぼす力\(f_{B \to A}\)，CがAに及ぼす力\(f_{C \to A}\)は，
\( f_{B \to A}=\frac{μ_0I^2}{2\pi c}\)
\( f_{C \to A}=\frac{μ_0I^2}{2\pi b}\)
\(\angle BAC=\theta \)とすると，\(\cos \theta \)は余弦定理から，
\(\cos \theta=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
また，導線Aに働く力\(f\)は余弦定理を使って，\( f_{B \to A}，f_{C \to A}\)を合成すると求まるので，
\(f=\sqrt{f_{B \to A}^2+ f_{C \to A}^2-2 f_{B \to A} f_{C \to A}\cos \theta}\)
\(f=\sqrt{\frac{(μ_0I^2}{2\pi c})^2+(\frac{μ_0I^2}{2\pi b})^2-2\frac{μ_0I^2}{2\pi c}\frac{μ_0I^2}{2\pi b} \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\)
\(f=\frac{μ_0I^2}{2\pi bc} \sqrt{\cancel{b^2}+\cancel{c^2}-(\cancel{b^2}+\cancel{c^2}-a^2)}\)
\(f=\frac{μ_0I^2 a}{2\pi bc}\)[N/m]
問題2
図のように，距離\(2a\)隔てておかれた2本の平行な無限長直線導線に，同じ向きに電流\(I\)が流れている。\(y\)軸上で磁束密度の大きさが最大となる点が\(y=\pm a\)，及びその点における磁束密度が\(B=\frac{μ_0 I}{2\pi a}\)となることを示せ。
問題2解答
点\((0，y)\)と\(\pm a，0\)の距離を\(r\)とすると，磁束密度\(B\)は，アンペールの法則より，
\(\oint_c B ds=μ_0 I\)
\(|B|\underbrace{\oint_c ds}_{2\pi r}=μ_0 I \)
\(|B|=\frac{μ_0I}{2\pi r}\)[T]
\((-a，0)\)の電流が作る磁束密度を\(B_1\)，\((a，0)\)の電流が作る磁束密度を\(B_2\)とすると，\(B_1，B_2\)はそれぞれ，
\(B_1=\frac{μ_0I}{2\pi r^2}(ai_x-yi_y)\)[T]
\(B_2=\frac{μ_0I}{2\pi r^2}(ai_x+yi_y)\)[T]
よって，点\((0，y)\)にかかる磁束密度\(B\)は，
\(B=B_1+B_2=\frac{μ_0I}{2\pi r^2}(ai_x-yi_y)+ \frac{μ_0I}{2\pi r^2}(ai_x+yi_y)\)
\(B=\frac{μ_0Ia}{\pi r^2}i_x=\frac{μ_0Ia}{\pi (a^2+y^2)}i_x \)[T]
問題3
直角座標系において，磁束密度が\(B=-yi_x+xi_y\)で与えられている。この磁界中に，図のように，長方形コイルOPQRをおき，電流\(I\)をながす。このとき，長方形コイルOPQRに働く力を求めよ。
問題3解答
各辺に流れる電流をそれぞれ，\(I_{PQ}，I_{QR}，I_{RO}，I_{OP}\)とすると，
\( I_{PQ}s=I(ai_x+bi_y)\)
\( I_{QR}s=I(-ci_z)\)
\( I_{PQ}s=I(-ai_x-bi_y)\)
\( I_{OP}s=I(ci_z)\)
各辺に働く力を\(F_{PQ}，F_{QR}，F_{RO}，F_{OP}\)とすると，
\( F_{PQ}= I_{PQ}s×B|_{(-y，x)}\)
\( F_{QR}= I_{QR}s×B|_{(a，b)}\)
\( F_{RO}= I_{RO}s×B|_{(-y，x)}\)
\( F_{OP}= I_{PQ}s×B|_{(0，0)}c=0\)
長方形コイルOPQRに働く力\(F\)は，
\(F= \underbrace{F_{PQ}+F_{OR}}_{=0} +F_{QR} \underbrace{F_{OP}}_{=0}=F_{QR}\)
\(F= I_{QR}s×B|_{(a，b)} \)
\(F= I(-ci_z)×(-bi_x+ai_y)\)
\(F=Ic(bi_y+ai_x)\)
問題4
図のような直角座標系において，\(y\)軸に沿って電流3Aが流れている無限長直線導線がある。また，それから1ｍ離れたところに1辺の長さが2ｍの正方形導線を置き，図の向きに4Aの電流を流す。このとき，正方形の導線に働く力を求めよ。
問題4解答
空間中の磁束密度\(B\)について，アンペールの法則より，
\(\oint_c B ds=μ_0 I\)
\(|B|\underbrace{\oint_c ds}_{2\pi r}=μ_0 I \)
\(|B|=\frac{μ_0I}{2\pi r}\)
\(B=\frac{μ_0I}{2\pi r}i_r\)[T]
正方形の導線は，\(z=0\)にあるので，
\(B=-\frac{μ_0I}{2\pi x}i_z\)[T]
正方形の導線に働く力\(F\)は，
\(F=(\frac{μ_0･3･4}{\cancel{2}\pi 1}i_z -\frac{μ_0･3･4}{\cancel{2}\pi 3}i_z)×2i\)[N]
\(F=\frac{4\cancel{pi}×10^{-7}･3･4}{\cancel{\pi}}(1-\frac{1}{3})i_x\)
\(F=4･4･3×10^{-7}･\frac{2}{3}=3.2×10^{-6}\)[N]
問題5
直角座標系において，磁束密度が\(B=B_0i_x\)で与えられている。この磁界中に，図のように，長方形コイルOPQRをおき，電流\(I\)を流す。このとき，長方形コイルOPQRに働くトルクを求めよ。
問題5解答
\(m\)を磁気モーメントとし，面OPQRに垂直な単位ベクトルを\(n\)とすると，
\(m=ISn=Ic\sqrt{a^2+b^2}\frac{-bi_x+ai_y}{\ sqrt{a^2+b^2}}\)
\(m=Ic(-bi_x+ai_y)\)
トルクを\(T\)とすると，
\(T=m×B= Ic(-bi_x+ai_y)×B_0i_x\)
\(T=-IB_0cai_z\)[Nm]
最後に
今日は，磁気学の問題を解きましたが，難しいですよね。
