[磁気学]演習問題

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ユキ

不労所得で暮らしたい。

どうも，ユキです。

今日は，磁気学の問題を解いていきましょう。
今日の問題はビオ･サバールの法則がメインの問題です。

問題1

図のように，幅が$b$の領域に，磁束密度$B$の磁束が紙面に垂直に存在している。いま，電子が次回に垂直に速さ$v_0$で入射して，磁束密度が存在する領域の中心から距離$l$離れておかれた蛍光板に衝突する。このときの垂直方向の変位が$y_2=\frac{eBlb}{mv_0}$になることを示せ。ただし，電子の電荷量を$-e$，質量を$m$とする。ただし，$\frac{b}{r}≪1$とする。

問題1解答

$r=\frac{mv_0}{eB}$を利用すると，$\sin \theta，y_1，\tan \theta$は次のように書ける。

$\sin \theta =\frac{b}{r}$

$y_1=r-r\cos \theta=r(1-\sqrt{1-(\frac{b}{r})^2})$

$(\frac{b}{r})^2 ≪1$

$y_1≒r(1-1+(\frac{b}{r})^2)=\frac{b^2}{2r}$

$\sin \theta=\frac{b}{r}$

$\tan \theta =\frac{r\sin \theta}{r\cos \theta}=\frac{b}{r-y_1}=\frac{b}{r-\frac{b^2}{2r}} $

$\frac{b}{r}≪1$より，

$\tan \theta ≒\frac{b}{r}$

$y_2$について，

$\frac{y_2-y_1}{l-\frac{b}{2}}=\tan \theta$

$y_2=( l-\frac{b}{2})\tan \theta+y_1=( l-\frac{b}{2})\frac{b}{r}+\frac{b^2}{2r}$

$y_2=\frac{lb}{r}=\frac{eBlb}{mv_0}$ $(∵r=\frac{mv_0}{eB})$

問題2

たがいに直交している電界$E=E_0i_x$と磁束密度$B=B_0i_y$の磁界が存在する場合の電荷$q$の運動を求めよ。ただし，電荷$q$の質量を$m$とし，時刻$t=0$のとき原点に存在するものとする。

問題2解答

運動方程式を書くと，

$\frac{dv}{dt}=\frac{q}{m}(E+v×B)$

$\frac{dv_x}{dt}i_x+\frac{dv_y}{dz}i_y+\frac{dv_z}{dt}i_z=\frac{q}{m}[E_0i_x+(v_xi_x+v_zi_z)×B_0i_y]$

$\frac{dv_x}{dt}i_x+\frac{dv_y}{dz}i_y+\frac{dv_z}{dt}i_z=\frac{q}{m}[E_0i_x+B_0(v_xi_z-v_zi_x)]$

$x$成分の運動方程式は，

$\frac{dv_x}{dt}i_x =\frac{q}{m}(E_0-B_0v_z)i_x\tag{1}$

両辺を$t$微分すると，

$\frac{d^2 v_x}{dt^2}=-\frac{qB_0}{m}\frac{dv_z}{dt}\tag{2}$

$y$成分の運動方程式は，

$\frac{dv_y}{dt}=0$，
$v_y=0$ ,$y(t)=0$ $(∵v_y(0)=0，y(0)=0)$

$z$成分の運動方程式は，

$\frac{dv_z}{dt}=\frac{qB_0}{m}v_x\tag{3}$

式(2)に式(3)を代入すると，

$\frac{d^2 v_x}{dt^2}=-(\frac{qB_0}{m})^2v_x$

$v_x=A\sin (\frac{qB_0}{m}t) $ $(∵v_x(0)=0)$

$v_z$について，式(1)から

$v_z=\frac{E_0-\frac{m}{q}\frac{dv_x}{dt}}{B_0}$

$v_z$に求めた$v_x$を代入すると，

$ v_z=\frac{E_0}{B_0}[1- \cos (\frac{qB_0}{m}t)]$ $(∵v_z=0，A=\frac{E_0}{B_0})$

$z(t)= \frac{E_0}{B_0}[t- \frac{m}{qB_0} \sin (\frac{qB_0}{m}t)]$ $(∵z(0)=0)$

$A=\frac{E_0}{B_0}$から，

$v_x=\frac{E_0}{B_0}\sin (\frac{qB_0}{m}t)$

$x(t)=\frac{mE_0}{qB_0^2}[1-\cos (\frac{qB_0}{m})t]$ $∵x(0)=0$

問題3

図のように，有限長直線導線に電流$I$が流れているとき，導線から垂直に距離$a$離れた点Pにおける磁束密度の大きさ$|B|$を求めよ。

問題3解答

点Pの磁束密度の大きさ$|B|$は，ビオ･サバールの法則より，

$|B|=\frac{μ_0I}{4\pi} \int_{-b_2}^{b_1}\frac{dz×(r-r’)}{|r-r’|^3} $

$|B|=\frac{μ_0I}{4\pi} \int_{-b_2}^{b_1} \frac{a}{(z^2+a^2)^{\frac{3}{2}} } dz$

$|B|=\frac{μ_0I}{4\pi} \int_{-b_2}^{b_1} \frac{a}{(z^2+a^2)^{\frac{3}{2}} } dz $

$z=a \tan \theta $とおくと，$dz=\frac{a}{\cos^2 \theta} d \theta $。
また，積分範囲は，$-\theta_2 \to \theta_1$であるから，

$|B|=\frac{μ_0I}{4\pi} \int_{-b_2}^{b_1} \frac{a}{(a^2 \tan ^2 \theta+a^2)^{\frac{3}{2}} } \frac{a}{\cos^2 \theta} d \theta $

$|B|=\frac{μ_0I}{4\pi a} \int_{-\theta_2}^{\theta_1} \cos \theta d \theta $

$|B|=\frac{μ_0I}{4\pi a} [\sin \theta]_{-\theta_2}^{\theta_1} $

$|B|=\frac{μ_0I}{4\pi a} [\sin \theta_1+\sin \theta_2] $

$|B|=\frac{μ_0I}{4\pi a} [\frac{b_1}{\sqrt{b_1^2+a^2}}+\frac{b_2}{\sqrt{b_2^2+a^2}}] $[T]

問題4

図のように，ある平面に電流$I$が流れている半径$a$の半円形導線が置かれているとき，その中心Oの磁束密度の大きさを求めよ。

問題4解答

磁束密度の大きさ$|B|$はビオサバールの法則より，

$|B|=\frac{μ_0I}{4\pi a}[\int_c \frac{ds×(r-r’)}{|r-r’|^3} ]$

$|B|=\frac{μ_0I}{4\pi a}[\underbrace{\int_{c_1} \frac{ds_1×(r-r’)}{|r-r’|^3}}_{=0} +\int_{c_2} \frac{ds_2×(r-r’)}{|r-r’|^3}+\underbrace{\int_{c_3} \frac{ds_3×(r-r’)}{|r-r’|^3}}_{=0}]$

$|B|=\frac{μ_0I}{4\pi a}\int_{c_2} \frac{ds_2×(r-r’)}{|r-r’|^3}$

ここで，アンペールの法則より，

$|B|=\frac{1}{2}\frac{μ_0I}{2\pi a}=\frac{μ_0I}{4\pi a}$[T]