どうも，ユキです。
かろうじてホームレスではないですが，やはりお金がないですね。
そんな私は，なけなしのお菓子，おにぎり，牛丼をもらうとスラム街の物乞いのように喜びます。（スラム街に行ったことないけど）
基礎物理にはできるだけ勉強時間を割きたくない！
そんな人にオススメの記事です。
問題1（流体力学）
ある湖の水面の標高は475[m]であり，水深は96[m]である。界面における大気の圧力が1000[hPa]のとき，湖底による圧力は何[hpa]であるか。なお，水の密度を1000[kg/m^3]，空気の密度を1.2[kg/m^3]，重力加速度の大きさを9.8[m/s^2]とする。
問題1（流体力学）解答
海面における大気の圧力を\(P_1\)，湖底における圧力を\(P_2\)とし，基準を標高475mとすると，ベルヌーイの定理より，
\( P_2-\rho_{水}\ g 96=P_1-\rho_{空気} g 475\)
\(P_2=1000+9.8(1000･96-1.2･475)×10^{-2}=10352 \)[hpa]
問題2（流体力学）
図のような円形断面の流路に水を流す。上流部の面\(A_1\)の直径は5[cm]であり，この面の圧力を\(P_1\)とする。水は，直径が2[cm]の下流部の面\(A_2\)を通って圧力\(P_2\)が1000[hPa]の大気に流出する。下流部の面\(A_2\)において水の速度を5[m/s]にするとき，\(P_1\)を何[hPa]に設定すれば良いか。ただし，水の密度を1000[kg/m^3]とする。
問題2（流体力学）解答
面\(A_1\)における水の速度を\(v_1\)[m/s]，面\(A_2\)における水の速度を\(v_2\)[m/s]とすると，圧力\(P_1\)はベルヌーイの定理より，
\(P_1+\frac{\rho}{2}v_1^2=P_2+\frac{\rho}{2}v_2^2\)
\( P_1+\frac{\rho}{2}v_1^2=10^5+\frac{\rho}{2}5^2\tag{1}\)
また，面\(A_1，A_2\)に対して連続の式を適用すると，
\(A_1v_1=A_2v_2\)
\(v_1=\frac{A_2}{A_1}v_2\)
面の半径を\(r\)とすると，
\(v_1=\frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2}v_2\)
\(v_1=\frac{2^2}{5^2}5=\frac{4}{5}\)
求めた\(v_1\)を式(1)に代入すると，
\( P_1+\frac{\rho}{2}(\frac{4}{5})^2=10^5+\frac{\rho}{2}5^2\)
\(P_1=10^5+\frac{1000}{2}(5^2-\frac{4}{5}^2)=10^{5}+\frac{1000}{2}(5+\frac{4}{5})(5-\frac{4}{5})\)
\(P_1=10^5+\frac{1000}{2}(5^2-\frac{4}{5}^2)\)
\(P_1=10^{5}+\frac{1000}{2}(5+\frac{4}{5})(5-\frac{4}{5})\)
\(P_1=10^{5}+\frac{1000}{2}\frac{29}{5}\frac{21}{5}\)
\(P_1=10^{5}+20･29･21\)
\(P_1=10^{5}+12180\)Pa
\(P_1=1121\)hPa
問題3（熱力学）
温度が25℃，圧力が0.1MPa，質量が0.2kgの空気を，圧力が1.0MPaまで等エントロピー変化(断熱変化)で圧縮するときの仕事を求めよ。ただし，空気の比熱比を1.4，ガス定数を287J/(kgK)，等積比熱を0.718KJ/(kgK)とする。
問題3（熱力学）解答
する仕事を\(W\)[J]，圧力を\(P\)，空気の容積を\(V\)とすると，
\(W=\int_{c}P dV\tag{2}\)
が成立する。断熱過程において，圧縮する前の圧力と容積を\(P_1，V_1\)，圧縮した後の圧力と容積を\(P_2，V_2\)，空気の比熱比を\(\kappa\)とすると，
\(PV^{\kappa}=P_1V_1^{\kappa}=P_2V_2^{\kappa}\tag{3}\)
が常に成立するので，圧力\(P\)は
\(P=P_1(\frac{V_1}{V})^{\kappa}\)
式(2)に圧力\(P\)を代入すると，式(2)は以下のように書き換えられる。
\(W=\int_{c}P dV=\int_{V_1}^{V_2} P_1(\frac{V_1}{V})^{\kappa} dV \)
\(W=P_1\int_{V_1}^{V_2} (\frac{V}{V_1})^{-\kappa} dV \)
\(W=P_1V_1[\frac{1}{-\kappa+1}(\frac{V}{V_1})^{-\kappa +1}]_{V_1}^{V_2} dV \)
\(W= \frac{ P_1V_1}{-\kappa+1} [\frac{V_2}{V_1}^{-\kappa +1}- 1]dV \)
気体の質量\(m\)，ガス定数\(R\)，温度を\(T\)とすると，
式(3)\(P_1V_1^{\kappa}=P_2V_2^{\kappa}\)と，気体の状態方程式\((=P_1V_1=mRT_1)\)を使って，式を書き換えると，
\(W=\frac{mRT}{-\kappa+1}[(\frac{P_1}{P_2})^{\frac{-\kappa +1}{\kappa}}-1]\)
\(W=\frac{0.2･287･298}{-1.4+1}[(\frac{0.1}{1.0})^{\frac{-1.4+1}{1.4}}-1]=-39799\)
よって，\(W\)は，
\(W=-39.8\)kJ
問題4（熱力学）
圧力0.2[MPa]で飽和蒸気の状態（状態1）にある水3[kg]が，比容積が0.53[m^3/kg]の状態（状態2）になるまで圧力一定で冷却された。次の設問に答えよ。なお，必要があれば，下記に示す水の蒸気表（飽和表（圧力基準））を用いてよい。
(1) 状態2における乾き度\(x\)を求めよ。
(2) 状態2におけるエンタルピー[kJ/kg]を求めよ。
(3) 状態1から状態2への変化において，水に供給された熱量[kJ]を求めよ。
(4) 状態1から状態2への変化において，水が外部にした仕事量[kJ]を求めよ。
(5) 状態1から状態2への変化による内部エネルギーの変化量[kJ]を求めよ。
| 圧力 | 飽和温度 | 比容積 | エンタルピー | エントロピー | |||
| m^3/kg | kJ/kg | kJ/(kgK) | |||||
| MPa | ℃ | 飽和液 | 飽和蒸気 | 飽和液 | 飽和蒸気 | 飽和液 | 飽和蒸気 |
| \(P\) | \(T_{sat}\) | \(v’\) | \(v”\) | \(h’\) | \(h”\) | \(s’\) | \(s”\) |
| 0.2 | 120.21 | 0.0010605 | 0.885735 | 504.68 | 2706.24 | 1.5301 | 7.12686 |
問題4（熱力学）解答
(1)解答
乾き度\(x\)は，飽和液の比容積\(v’\)，飽和蒸気の比容積\(V”\)，比容積\(v\)で表すと，
\(x=\frac{v-v’}{v”-v’}\)
\(x=\frac{0.53-0.001}{0.886-0.001}=0.598\)
(2)解答
状態2の比エンタルピー\(h\)は，乾き度\(x\)，飽和液の比エンタルピー\(h’\)，飽和水蒸気の比エンタルピー\(h”\)
\(h=h’+x(h”-h’)\)
\(h=504.68+0.598(2706.24-504.68)=1821.2\)kJ/kg
(3)解答
状態1から状態2へ変化したときの水に供給された熱量\(\Delta Q\)について，比エンタルピーが\(h” \to h\)に変化するので，
\(\Delta Q=m(h-h”)=3(1821.2-2706.2)=-2655\)kJ
(4)解答
状態1から状態2へ変化したときの水が外部にした仕事\(\Delta W\)について，比容積が\(v” \to v\)に圧力一定で変化する。
\(\Delta W=mp(v-v”)=3･0.2×10^3(0.53-0.886)=-213.6\)kJ
(5)解答
内部エネルギーの変化量\(\Delta U\)は，\(\Delta Q\)と\(\Delta W\)を用いて，
\(\Delta U=\Delta Q-\Delta W=-2.44×10^3\)kJ
問題5（伝熱学）
厚さ200mmのコンクリートの平面壁がある。その内表面の温度は45℃，外表面の温度は5℃に保たれている。壁の断面積1m^2あたりに伝えられる熱量はいくらと考えられるか。また，外表面から80mmの壁内の点における温度を推定せよ。
\(\delta =200mm，T(0)=45℃，T(\delta)=5℃，λ=1.1w/(m･k)\)
ここで，λ：熱伝導率[W/(m･K)]
問題5（伝熱学）解答
断面積1m^2あたりに伝えられる熱量を\(Q\)とするとフーリエの法則より，
\(Q=-λ\frac{∂T}{∂x}A\)
\(Q=-λ\frac{∂T}{∂x}\tag{4}\)
ここで，\(x\)に伝わる熱量\(Q(x)\)，\(x+dx\)に伝わる熱量\(Q(x+dx)\)を考えると
定常状態では，
\(Q(x+dx)-Q(x)=0\)
となる。上の式をテイラーの定理を1階微分の項まで適用すると，
\( Q(x+dx)-Q(x)=Q(x)+\frac{∂Q}{∂x}dx-Q(x)=-\frac{∂^2T}{∂x^2}=0\)
\(\frac{∂^2T}{∂x^2}=0\)
\(T(x)=C_1x+C_2\)
境界条件\(T(0)=45，T(0.2)=5\)を用いて，
\(T(x)=C_1x+45 (∵T(0)=45)\)
\(T(x)=-200x+45 (∵T(0.2)=5)\tag{5}\)
よって，壁の断面積1m^2当たりに伝えられる熱量\(Q\)は，式(4)に式(5)を代入することで求まる。
\(Q=-λ\frac{∂}{∂x}(-200x+45)\)
\(Q=200λ=200･1.1＝220\)[W]
また，外表面から80mmの壁内の点は，\(x=0.2-0.08=0.12\)mなので，その温度\(T(0.12)\)は，
\(T(0.12)=-200･0.12+45=21\)℃
最後に
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