高校数学

[裏技公開]√11のような平方根を速く求める方法(連分数使います)

平方根(ルート)を覚えることをやめました。どうも,ユキです。

平方根を自分で導くことが出来れば,覚える必要はありませんよね。

ということで,今回の話は,連分数を使って,平方根の近似値を出す裏技を公開します。

連分数展開とは?

連分数は,分数の一種であり

$$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$$

のように,分数の中に分数が連続して入っている分数のことを連分数といいます。

小学校,中学校時代のトラウマランキングトップ10位にランクインしそうなやつです(知らんけど)

 

そして,連分数展開は,簡単に言うと,ある数を連分数に書き直していく作業のことを言います。平方根に連分数展開を使うと,平方根(ルート)の近似値を素早く求めることが出来ます。

近似値は,「おおよその値」のことを言います。

素朴な方法で\(\sqrt{11}\)を計算する。

 

手順1  \(m^2<n<(m+1)^2\)

となる自然数\(m\)を見つけます。

 

例えば,\(\sqrt{11}\)のときは,\(m=3\)とすると,

\(3^2<11<(4^2)\)

より,

\(3<\sqrt{11}<4\)

となるから,

\(\sqrt{11}=3.\cdots\)

となることが推測できます。

 

手順2 同じことを小数第1位でもやる

 

小数点第1位を\(m_1\)とします。

 

\((m.m_1)^2+0.1<11<(m.m_1+0.1)^2\)

 

として,\(m_1\)に入る数を探します。

 

先ほど,\(m=3\)とわかったので,\(\sqrt{11}\)は,

 

\((3.m_1)^2+0.1<11<(3.m_1+0.1)^2\)

 

となります。そして,上の不等式を満たす\(m_1\)を探します。

 

\(3.1^2=9.61\)

\(3.2^2=10.24\)

\(3.3^2=10.89\)

\(3.4^2=11.56\)

 

ということで,\(m_1\)には3が入ることがわかり,\(\sqrt{11}\)の近似値は,

\(\sqrt{11}\approx 3.3\cdots\)

 

ちなみに,\(\sqrt{11}\)の真値は,

\(\sqrt{11}=3.31662479\)

です。小数点第1位まで出すことが出来ました。

早技で\(\sqrt{11}\)を出す

\(\sqrt{n}\)の連分数展開を使った近似式の出し方

 

平方根の連分数展開の公式

\(\sqrt{n}=m+\frac{n-m^2}{m+\sqrt{n}}\)  \(m\)は\(n\)の整数部分

を使って,展開を行います。

 

手順1:\(\sqrt{11}\)の整数部分\(m\)を求めます

整数部分\(m\)

\(m=3\)

手順2:連分数展開をする。

\(\sqrt{n}\)の連分数展開の公式

\(\sqrt{n}=m+\frac{n-m^2}{m+\sqrt{n}}\)

\(n=11\)\(m=3\)なので,

\(\sqrt{11}=3+\frac{2}{6+\frac{2}{6+\frac{2}{6+\frac{2}{6+\frac{2}{6+\frac{2}{6\ddots}}}}}}\)

 

よって,\(\sqrt{11}\)の近似式は,精度が低い方から順番に,

\(\sqrt{11}\approx 3+\frac{2}{6}=\frac{10}{3}=3.\dot{3}\)

\(\sqrt{11}\approx 3+\frac{2}{6+\frac{2}{6}}=\frac{63}{19}=3.315789474\cdots\)

\(\sqrt{11}\approx 3+\frac{2}{6+\frac{2}{6+\frac{2}{6}}}=\frac{199}{60}=3.31\dots{6}\)



早技が早すぎでみえなかった人たちへ

\(\sqrt{2}\)を出しながら説明します。

 

\(\sqrt{n}\)の連分数展開の公式

$$\sqrt{n}=m+\frac{n-m^2}{m+\sqrt{n}}$$

ここで,2の整数部分は1なので,\(m=1\)

\(n=2\),\(m=1\)なので,

 

\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)

 

ここまで,大丈夫ですか?

 

よって,\(\sqrt{2}\)の連分数展開は,

 

\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2\ddots}}}}}}\)

 

え,大丈夫じゃない? わかりました。何をやったのか説明します。

 

まず,先ほど使った公式を持ってきます。

 

\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{1+\underbrace{\sqrt{2}}_{ここに代入}}\)

 

ここに代入としているところに式を代入します。

 

代入する式は,

 

\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)

 

あれ,さっきと同じ式だ!

そうです。先ほどと同じ式を代入します。

 

\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{1++\frac{1}{1+\underbrace{\sqrt{2}}}_{ここに代入}}\)

 

代入する式は,\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)

 

\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{1++\frac{1}{1++\frac{1}{1+\underbrace{\sqrt{2}}}}_{ここに代入}}\)

 

これを無限回繰り返すわけにもいかないので,きりが良いところで,点をつけます

 

\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2\ddots}}}}}}\)

 

こんな感じです。慣れてしまえば,簡単です。

 

そして,\(\sqrt{2}\)の近似値は精度の低い方から順番に書くと,

 

\(\sqrt{2} \approx 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1.5\)

 

\(\sqrt{2}\approx 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\frac{7}{5}=1.4\)

 

 \(\sqrt{2}\approx 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}=\frac{17}{12}=1.41\dot{6}\)

 

 \(\sqrt{2}\approx 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}=\frac{41}{29}=1.413793\)

 

\(\sqrt{2}\approx 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}}=\frac{99}{70}=1.41285714\)

 

\(\sqrt{2}\)の真値は,

 

\(\sqrt{2}=1.414213562\)

 

このように,連分数が多いほど,\(\sqrt{2}\)に近づいているのがわかります。

\(\sqrt{3}\)の近似値を計算する

 

先ほどと同様にやっていきましょう。

 

\(\sqrt{n}\)の連分数展開の公式は,

$$\sqrt{n}=m+\frac{n-m^2}{m+\sqrt{n}}$$

\(n=3\)\(m=1\)なので,

\(\sqrt{3}=1+\frac{2}{1+\sqrt{3}}\)

よって,\(\sqrt{3}\)の連分数展開は,

\(\sqrt{3}=1+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{2\ddots}}}}}}\)

 

\(\sqrt{3}\)の近似式は精度の低い方から順番に,

\(\sqrt{3}=1+\frac{2}{2}=2\)

\(\sqrt{3}=1+\frac{2}{2+\frac{2}{2}}=\frac{5}{3}=1.\dot{6}\)

\(\sqrt{3}=1+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{2}}}=\frac{7}{4}=1.75\)

\(\sqrt{3}=1+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{2}}}}=\frac{19}{11}=1.\dot{7}\dot{2}\)

\(\sqrt{3}=1+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{2}}}}}=\frac{26}{15}=1.7\dot{3}\)

 

\(\sqrt{7}\)の連分数展開

\(\sqrt{n}\)の連分数展開の公式は,

$$\sqrt{n}=m+\frac{n-m^2}{m+\sqrt{n}}$$

\(n=7\)\(m=2\)なので,

\(\sqrt{7}=2+\frac{3}{2+\sqrt{7}}\)

よって,

\(\sqrt{7}=2+\frac{3}{4+\sqrt{7}}\)

より,

\(\sqrt{7}=2+\frac{3}{4+\frac{3}{4+\frac{3}{4+\frac{3}{4+\frac{3}{4+\frac{3}{4\ddots}}}}}}\)

\(\sqrt{7}=2+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}\)

\(\sqrt{7}=2+\frac{3}{4+\frac{3}{4}}=\frac{50}{19}=2.6315789\cdots\)

\(\sqrt{7}=2+\frac{3}{4+\frac{3}{4+\frac{3}{4}}}=\frac{50}{19}=2.6315789\cdots\)

\(\sqrt{7}=2+\frac{3}{4+\frac{3}{4+\frac{3}{4}}}=\frac{50}{19}=2.647727273\cdots\)

 

 

\(\sqrt{7}\)の真値は,

\(\sqrt{7}=2.645751311\cdots\)



まとめ

本日の教訓

素朴な平方根の近似値の出し方よりも,連分数展開を使った近似値の出し方の方が,素早く正確に計算できるということがわかりました。

 

結論:連分数展開使えば、平方根楽勝です

 

最後に

電卓がない状況で,自然数の平方根を手計算で出せるとかっこいいと思います。

計算練習もかねて連分数展開を使って,平方根の近似値を出してみるのはいかがでしょうか。

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ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!