どうも，ユキです。
今日は，センター試験レベルの微分積分の問題を解いていこうと思います。
この問題を解けるのか？いや，解く！
問題
\(k\)を正の実数とする。座標平面上で，曲線
\(y=-\frac{3}{2}x^2-2x (x<0)\)
\(y=kx-2x (x\geq 0)\)
を\(C\)とする。曲線\(C\)上の\(x\)座標が-1である点を\(P\)とする。このとき，以下の問いに答えなさい。
(1) 点\(P\)における接線の傾きを求めなさい。
(2) 点\(P\)を通り，点\(P\)における曲線\(C\)の接線と垂直に交わる直線\(l\)の方程式を求めなさい。
(3) 直線\(l\)が\(x>0\)において曲線\(C\)と接するときの\(k\)の値と，接点の座標を求めなさい。
(4) (3)のとき，直線\(l\)と平行な曲線\(C\)の接線のうち，\(l\)とは異なる直線を\(m\)とおくと，\(C\)と\(m\)との接点の座標と\(m\)の方程式を求めなさい。
(5) 曲線\(C\)と直線\(l\)で囲まれた図形の面積\(S\)を求めなさい。
解答
問題(1)解答
\(y’(x)=-3x-2\)
\(y’(-1)=1\)
また，点\(P\)の座標は，
\(y(-1)=\frac{1}{2}\)
より，\((-1，\frac{1}{2})\)
問題(2)解答
直線\(l\)の方程式は，傾きが-1で，\((-1，\frac{1}{2})\)を通るので，
\(y=-(x+1)+\frac{1}{2}=-x-\frac{1}{2}\)
問題(3)解答
直線\(l\)は，
\(y=-x-\frac{1}{2}\tag{1}\)
\(x>0\)における曲線\(C\)の方程式は，
\(y=kx^2-2x\tag{2}\)
直線\(l\)が，曲線\(C\)と接するためには，式(1)と式(2)の接点が重解を持たなければいけません。
式(2)-式(1)より，
\(kx^2-x+\frac{1}{2}=0\tag{3}\)
上の式の判別式を\(D\)とすると，
\(D=1-4k\frac{1}{2}=0\)
\(k=\frac{1}{2}\)
求まった\(k\)の値を式(3)に代入すると，
\(\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}=0\)
\(x=1\)
また，\(y(1)\)は，
\(y(1)=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}\)
よって，求める接点は，
\((1，-\frac{3}{2})\)
<終>
問題(4)解答
傾きが\(-1\)の点\(x_0，y(x_0)\)について，
\(y’(x_0)=-1\)
となればいいので，
\(y’(x_0)=-3x_0-2=-1\)
\(x_0=-\frac{1}{3}\)
また，\(y(x_0)\)は，
\(y(-\frac{1}{3})=-\frac{3}{2}(-\frac{1}{3})^2+2\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)
よって，\(C\)と\(m\)との接点の座標は，\((-\frac{1}{3}，\frac{1}{2})\)
また，\(m\)の方程式は，傾き-1で，\((-\frac{1}{3}，\frac{1}{2})\)を通るので，
\(y=-(x+\frac{1}{3})+\frac{1}{2}=-x+\frac{1}{6}\)
<終>
問題(5)解答
曲線\(C\)と直線\(l\)で囲まれた面積\(S\)は，
\(S=\int_{x_1}^{x_2}\underbrace{y}_{曲線Cの式}-\underbrace{y’}_{直線lの式}dx\)
で表される。ここで，
\(x_1\)は，点\(P\)のことを表しており，\(x_2\)は，直線\(l\)と曲線\(C\)の接点です。
よって，
\(S=\int_{-1}^{1}y-y’dx\)
となります。ここからは，鬼の式変形です。
\(S=\int_{-1}^{0}\underbrace{y}_{-\frac{3}{2}x^2-2x}-\underbrace{y’}_{-x-\frac{1}{2}}dx+\int_{0}^{1}\underbrace{y}_{\frac{1}{2}x^2-2x}-\underbrace{y’}_{-x-\frac{1}{2}}dx\)
\(S=\int_{-1}^{0}-\frac{3}{2}x^2-x+\frac{1}{2}dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}dx\)
\(S=[-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x]_{-1}^{0}+[\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x]_{0}^{1}\)
\(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\)
