高校数学

[微分積分応用問題]曲線と直線で囲まれた図形の面積を求める

ユキ
ユキ
微分積分は,死ぬほど苦手です。

どうも,ユキです。

今日は,センター試験レベルの微分積分の問題を解いていこうと思います。

この問題を解けるのか?いや,解く!

問題

\(k\)を正の実数とする。座標平面上で,曲線

\(y=-\frac{3}{2}x^2-2x (x<0)\)

\(y=kx-2x (x\geq 0)\)

を\(C\)とする。曲線\(C\)上の\(x\)座標が-1である点を\(P\)とする。このとき,以下の問いに答えなさい。

 

(1) 点\(P\)における接線の傾きを求めなさい。

(2) 点\(P\)を通り,点\(P\)における曲線\(C\)の接線と垂直に交わる直線\(l\)の方程式を求めなさい。

(3) 直線\(l\)が\(x>0\)において曲線\(C\)と接するときの\(k\)の値と,接点の座標を求めなさい。

(4) (3)のとき,直線\(l\)と平行な曲線\(C\)の接線のうち,\(l\)とは異なる直線を\(m\)とおくと,\(C\)と\(m\)との接点の座標と\(m\)の方程式を求めなさい。

(5) 曲線\(C\)と直線\(l\)で囲まれた図形の面積\(S\)を求めなさい。

解答

問題(1)解答

\(y’(x)=-3x-2\)

\(y’(-1)=1\)

また,点\(P\)の座標は,

\(y(-1)=\frac{1}{2}\)

より,\((-1,\frac{1}{2})\)

問題(2)解答

直線\(l\)の方程式は,傾きが-1で,\((-1,\frac{1}{2})\)を通るので,

\(y=-(x+1)+\frac{1}{2}=-x-\frac{1}{2}\)

問題(3)解答

直線\(l\)は,

\(y=-x-\frac{1}{2}\tag{1}\)

\(x>0\)における曲線\(C\)の方程式は,

\(y=kx^2-2x\tag{2}\)

直線\(l\)が,曲線\(C\)と接するためには,式(1)と式(2)の接点が重解を持たなければいけません。

式(2)-式(1)より,

\(kx^2-x+\frac{1}{2}=0\tag{3}\)

上の式の判別式を\(D\)とすると,

\(D=1-4k\frac{1}{2}=0\)

\(k=\frac{1}{2}\)

求まった\(k\)の値を式(3)に代入すると,

\(\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}=0\)

\(x=1\)

また,\(y(1)\)は,

\(y(1)=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}\)

よって,求める接点は,

\((1,-\frac{3}{2})\)

<終>

問題(4)解答

傾きが\(-1\)の点\(x_0,y(x_0)\)について,

\(y’(x_0)=-1\)

となればいいので,

\(y’(x_0)=-3x_0-2=-1\)

\(x_0=-\frac{1}{3}\)

また,\(y(x_0)\)は,

\(y(-\frac{1}{3})=-\frac{3}{2}(-\frac{1}{3})^2+2\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)

よって,\(C\)と\(m\)との接点の座標は,\((-\frac{1}{3},\frac{1}{2})\)

また,\(m\)の方程式は,傾き-1で,\((-\frac{1}{3},\frac{1}{2})\)を通るので,

\(y=-(x+\frac{1}{3})+\frac{1}{2}=-x+\frac{1}{6}\)

<終>

問題(5)解答

曲線\(C\)と直線\(l\)で囲まれた面積\(S\)は,

\(S=\int_{x_1}^{x_2}\underbrace{y}_{曲線Cの式}-\underbrace{y’}_{直線lの式}dx\)

で表される。ここで,

\(x_1\)は,点\(P\)のことを表しており,\(x_2\)は,直線\(l\)と曲線\(C\)の接点です。

よって,

\(S=\int_{-1}^{1}y-y’dx\)

となります。ここからは,鬼の式変形です。

\(S=\int_{-1}^{0}\underbrace{y}_{-\frac{3}{2}x^2-2x}-\underbrace{y’}_{-x-\frac{1}{2}}dx+\int_{0}^{1}\underbrace{y}_{\frac{1}{2}x^2-2x}-\underbrace{y’}_{-x-\frac{1}{2}}dx\)

\(S=\int_{-1}^{0}-\frac{3}{2}x^2-x+\frac{1}{2}dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}dx\)

\(S=[-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x]_{-1}^{0}+[\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x]_{0}^{1}\)

\(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\)

まとめ

最後に

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ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!