大学数学

[完全ロードマップ]大学の微分積分学の勉強法

ユキ
ユキ
微分積分学,センター試験では第2問に登場し,

2次試験では新種のウイルスのように形を変えるため,

その奥深さに感嘆したものあるいは涙した人は計り知れない。

どうも,ユキです。

大学の微分積分学は高校とは違ったベクトルで私達を苦しめてきます。

そこで,今日は,そんな大学の微分積分学の勉強法を一緒に考えていきましょう。

大学の微分積分学をなめるな!

高校で微分積分学が得意だった人は,大学の微分積分学も余裕なのでしょうか?

残念ながら,大学受験の要領で大学の微分積分学を勉強するとやけどします。

確かに,高校で既に習った知識も出てくるでしょう。

高校数学で,置換積分,部分積分,陰関数を使って解く問題を死ぬほど解かされましたがそれは,微分積分学の氷山の一角に過ぎません。

また,微分積分学は基礎科目なので,そこまで難しくないと考える方もいらっしゃると思います。

しかし,大学(特に工学部)は有名な格言があり,

基礎科目を制する者は,大学を制す!

微分積分学で勉強につまずく人は,その後の応用数学であるフーリエ解析,ベクトル解析,複素関数論,物理科目などで痛い目に遭うでしょう。

私の大学でも,私のように微分積分学で突き詰めて勉強した人は,応用数学や物理科目を難なく突破することができましたが,

微分積分学をなめてかかり,勉強を欠いた人は,微分積分学は受かっても,応用数学や物理科目の単位をことごとく落としています。(落とした人が多すぎる科目は再試をしてくれます)

今回は,皆さんに大学の微分積分学をなるべく無駄を省いた勉強で突破してもらうべく,軽く勉強の道筋を示します。

大学の微分積分学目次:

まずは,微分積分学の目次を見ましょう。大学によって学問を突き詰める深さに多少のズレはあると思いますが,ご了承ください。

1. 関数の微分法
2. ロピタルの定理
3. テイラー展開,マクローリン展開
4. 関数の積分法
5. 不定積分,定積分,曲線の長さ
6. 偏微分法
7. ラグランジュの乗数法
8. 重積分

大学の微分

1. 関数の微分法は,指数関数,対数関数,三角関数の微分を行います。また,それらにプラスして逆三角関数や双曲線関数の微分法を学びます。

ぶっちゃけ関数の微分法は,難しくないので授業演習と教科書演習問題さえ解ければ,OKです。

では,大学の微分の中で特に難しい箇所を見ていきましょう。

私(微分積分学Ⅰ・Ⅱ共80点以上)が主に苦戦した箇所は3つです。

・テイラー展開,マクローリン展開
・ラグランジュの乗数法

テイラー展開(とマクローリン展開)は,関数の近似式を導出するために使います。

テイラー展開は,高校数学,高校物理で出てくる謎の近似式(\(\sin x≒x,\sqrt{1+x}≒1+\frac{1}{2}x\))を示すことができます。(専門科目でも頻繁に使う)

テイラー展開は,最初こそよくわかりませんが,

とりあえずテイラー展開を覚えて,教科書の演習問題を解いて,いろんな関数をテイラー展開しまくったら理解出来ました。

ラグランジュの乗数法は,最大化問題です。

大学3年生までの時分に全く出てこないですけれど,テストには必ず出題されます。

ラグランジュ乗数法は,「投資家」によく使われています。ラグランジュの乗数法を使うと,最適な投資配分を計算できます。

私はちなみに,ラグランジュの乗数法を理解していません。(やり方は覚えているけれど)

大学の積分

大学の積分でやっかいなのは重積分だけです。他は,高校数学の数Ⅲで既に習いました。

重積分の例①:関数\(f(x,y)\)を\(x\)と\(y\)で重積分する

$$\int \int f(x,y) dxdy$$

これは,重積分の中でも二重積分と呼ばれるものです。

コツは,\(x,y\)の内、積分しやすい方の変数から順番に積分するだけです。

重積分は,やり方を覚えるのが面倒なだけで,それ以外はそんなに難しくありません。

頑張ってやり方を覚えましょう。

大学の微分積分学の勉強法:

微分積分学は,解けば解くほど力がつきます。なので,解きまくる以外の勉強法はありません。

私(微分積分学80点以上)がやっていた勉強法はこちらです。

1. 大学の図書館から簡単で演習問題が多い参考書を借りる
2. ひたすら演習問題を解いて全ての演習問題を解けるようにする
3. 公式を理解して覚える量を減らす

微分積分学の演習問題を解きまくる

大学の図書館から参考書を借りて,

微分積分学の演習問題をとにかく解きまくってください。

大学のテスト(特に基礎教育科目)は,授業で勉強した所しかでません。

たまに難しい問題が出題されますが,満点を阻止するための問題ですので,解けなくて全然OKです。

解けるようになったら,公式の証明を見て,実際に手計算で導出してみると,案外理解出来きます。

理学部以外は定理を覚える必要は無い

理学部の方は定理まで覚えないといけない?のかもしれませんが,

それ以外の学部の方は定理を覚える必要はなく,公式だけ覚えればOKです。

例えば,私が所属している工学部の人達は将来的に,エンジニアや技術者となるわけですから,これらの職業で求められる能力は公式を使って計算できる能力です。

理学部の方の就職先は,主に研究職でしょうから,場合によっては微分積分学の定理まで覚えないといけないかもしれません。

微分積分学:まとめ

微分積分学のまとめ

・大学の微分積分学は高校数学とは別物なので,要注意!
・教科書の演習問題を全て解けるようになるまで練習すること
・理学部以外,定理を覚える必要はない

最後に

微分積分学の演習問題ばかりを解くと飽きるので,

私はベクトル解析学や複素関数論,力学,電磁気学などの参考書を借りて,問題を解いていました。

私はどうして,大学に入って勉強をしまくるのか?

それは,単位を落としたくないのと,後の専門科目の理解に役立つと考えているからだ。

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ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!