ギャンブルが強い人は勝ち続ける！？～逆正弦法則

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ユキ

ギャンブルで稼ぎたい。

どうも，ユキです。

ギャンブルで勝てる人の割合を計算していたら，予想外の事実に気づいてしまいました。

この記事を読んで得られる知見

☑ギャンブルのプレイヤーはボロ勝ちする人orボロ負けする人しかない
☑パチンカスをぶっ壊す！

逆正弦法則：ギャンブルが強い人はごく一部

皆さんはパチンコ，競馬，スロット，麻雀，バイナリーオプションなどの投機をしますか？（私はしていません。）

今から，パチンコ，競馬，スロット，バイナリーオプションを稼ぐためのツールとして活用しようとしている人（またはすでにしている人）に，残酷な事実からお伝えしようと思います。

結論から言うと，ギャンブルをする人の大多数は大損します(´･д･｀)

これは残念ながら，周知の事実です。

ギャンブルは，胴元が儲かる（お店が儲かる）ので，プレイヤーは，平均的に損をします。

ちなみに，日本で解禁されている公営ギャンブルは，胴元は25%程儲かっていると言われています。つまり，パチンコ，競馬，スロットは，還元率75%のギャンブルであると言えます。

バイナリーオプションはこれらのギャンブルとは異なり，金融商品（株，債券，外貨）の一種なので，還元率は80~100%くらいです。

▼バイナリーオプションに関する記事▼

ギャンブルをする人の大多数が大損している事実は，数学的に証明することができます。

その事実こそ，今回の記事のテーマである「逆正弦法則」です。

逆正弦法則とは？

確率は皆さんの直感を裏切ります。

逆正弦法則は，私達の直感を裏切る確率の一種です。

逆正弦法則とは，ギャンブルの勝率の分布関数$F(x)$が逆正弦分布をとっているという法則です。

逆正弦（通称：arcsin）とは，正弦(sin)の逆関数である(arcsin：「アークサイン」)を表します。

今，個々のゲームで勝つ確率を$\frac{1}{2}$とし，勝ち越し期間率を$x$とすると，（勝ち越し期間率は後ほど定義します。）

分布関数$F(x)$は，

$F(x)=\frac{2}{\pi} \arcsin (x)$

図1．横軸：$勝ち越し率＝\frac{勝ち越し期間}{期間}$

縦軸：勝ち越し率が$x$未満の人の割合

で表されます。

このグラフから，勝ち越し期間率が50%未満の人の割合は$\frac{1}{2}$であることが読み取れます。

しかし，私達は，勝ち越し期間率$x$の人がどのくらいの密度で存在するのかを知りたいので，分布関数$F(x)$を微分した密度関数$f(x)$を見ます。

密度関数$f(x)$は，

$$f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}dx$$

グラフを描くと,

図2．横軸：$勝ち越し率＝\frac{勝ち越し期間}{期間}$

縦軸：勝ち越し率が$x$の人の割合

このグラフによれば，勝ち越し率$x$を持つ人の割合は一定ではなく，負け組と勝ち組に二極化していることがわかります。

★逆正弦法則の特徴★

・勝率50%未満の人の割合は$\frac{1}{2}$
・極端に勝率が高い人と極端に勝率が低い人の割合が大きい
・勝率$\frac{1}{2}$の近傍の人の割合は低い

逆正弦法則：証明

逆正弦法則の密度関数$f(x)$は，

$f(x)= \frac{1}{\pi}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}dx $

で表されるという話をしましたが，

本当に逆正弦法則は成り立っているのでしょうか？

証明してみましょう。

ここで，勝率$\frac{1}{2}$のギャンブルは，対称なランダムウォークの運動に置き換えることができます。

対称なランダムウォークの運動：

$t-y$座標系について，横軸$t$を時間，縦軸$y$を位置とする。時刻$t=n$に粒子が位置$y=m$にいれば，時刻$t=n+1$には粒子は，$t=m+1$または$t=m-1$のどちらかに移る。また，時刻が1進んだときに位置が＋1に進む確率を$\frac{1}{2}$とする。

$n，m$は整数

証明したいこと

粒子が，$2n$時間のうち$2m$時間を正の領域に，$2n-2m$時間を負の領域に滞在している事象を$p_{2m，2n}$とすると，

$p_{2m，2n}=u_{2m}u_{2n-2m}={}_{2m} \mathrm{C}_{m}2^{-2m}･{}_{2n-2m} \mathrm{C}_{n-m}$

となることが証明されています。

勝ち越し期間率$x$を$x=\frac{m}{n}$とすると，$p_{2m，2n}$は，

$p_{2m，2n}≒f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}$

関数$f(x)$で近似されることを証明したい！

<証明>

$p_{2m，2n}={}_{2m} \mathrm{C}_{m}2^{-2m}･{}_{2n-2m} \mathrm{C}_{n-m}$

$ p_{2m，2n}=\frac{(2n)!}{n! n!}･\frac{(2n-2m)!}{(n-m)!(n-m)!}2^{-2n}$

$n ≫1，m≫1$のとき，スターリングの公式$(n!≒\sqrt{2\pi n}n^n e^{-n})$より，

$ p_{2m，2n}≒\frac{\sqrt{\cancel{2}\cancel{\pi} \cancel{2}\cancel{n}}(2m)^{2m} \cancel{e^{-2m}}}{\sqrt{\cancel{2} \cancel{\pi} m}m^m \cancel{e^{-m}}･\sqrt{\cancel{2}\pi m}m^m \cancel{e^{-m}}}･\frac{\sqrt{\cancel{2}\cancel{\pi} \cancel{2}\cancel{(n-m)}}(2n-2m)^{2n-2m} \cancel{e^{-(2n-2m)}}}{ \sqrt{\cancel{2}\cancel{\pi} \cancel{(n-m)}}(n-m)^{(n-m)} \cancel{e^{-(n-m)}}･\sqrt{\cancel{2}\pi \cancel{(n-m)}}(n-m)^{(n-m)} \cancel{e^{-(n-m)}}}2^{-2n}$

$=\frac{\cancel{2^{2m}}\cancel{m^{2m}}}{\sqrt{\pi}\sqrt{m} \cancel{m^{m}}･\cancel{m^{m}}}･\frac{\cancel{2^{2n-2m}} \cancel{(n-m)^{2n-2m}}}{\sqrt{\pi} \sqrt{n-m} \cancel{(n-m)^{n-m}}･\cancel{(n-m)^{n-m}}}\cancel{2^{-2n}}$

$=\frac{1}{\pi \sqrt{m}\sqrt{n-m}}$

ここで，$\frac{m}{n}=x$とすると，

$=\frac{1}{\pi}\frac{1}{\frac{m}{n}\sqrt{1-\frac{m}{n}}}$

$=\frac{1}{\pi}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}$

よって，

$ p_{2m，2n}≒\frac{1}{\pi}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}=f(x)$

であることを示せました。