数学検証

[面白い無限小数]1/9801=0.0001…9697一般形

ユキ
ユキ
01020304050607080910\(\cdots\)となる無限小数があるってホント?

どうも,ユキです。

今日は,数学の無限小数の不思議について探求します。

1÷81はいくつになるか知ってる?

今から,不思議な無限小数を2つ紹介します。

この記事を読むと,無限小数の原理を理解することができ,不思議な無限小数を作り出す方法を理解することができます。できれば,最後までご覧いただけたら幸いです。

では,1÷81はいくつになるのかを知っていますか?

自分で電卓を叩いて確かめて欲しいですが,この数の神秘に気づけ!

えい!

1÷81=0.01234567901\(\cdots\)

0~7までが並んで出てきています。

不思議でしょ~~~~?

では,もっとあなたを驚かせてあげましょう。

1÷9801はいくつになるか知ってる?

まさか,と思っているのでは?

そのまさかです。

1÷9801を試しに計算してみましょう。

1÷9801=0.00010203040506070809101112131415\(\cdots\)979900

となります。

えぇ~。嘘だろ!と思われる方もいらっしゃるかもしれませんが本当です。

0~97までの数が連続して並ぶ無限小数の完成です。

う~む。どうしてこうなるのかなぁ?

1÷81,1÷9801を分析

先ほどの無限小数を分析してみましょう。

ここからは高校数学Ⅱ・Bの数列の知識が必要になります。

\(1÷81=0.01234567901\cdots \tag{1}\)

\(1÷9801=0.00010203040506070809101112131415\cdots 979900\cdots \tag{2}\)

では,式(1)を級数の形になおしましょう。すると,

\(\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-(n+1)}=0.01234567901\cdots \tag{1}\)

となります。同様に式(2)を数列で表してみると,

\(\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-2(n+1)}= 0.00010203040506070809101112131415\cdots 979900\cdots \tag{2}\)

となります。

式(1)が本当に1/81なのか?また,式(2)が本当に1/9801なのかを検証していきます。

1/81,1/9801の仕組み

1/81の原理

式(1)を式変形をします。

ここで,式(1)を\(9^2\)培しましょう。その結果が1になれば,式(1)が1/81であることを示せます。

式(1)を\(9^2\)倍すると,

\(9^2\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-(n+1)}=(10-1)(10-1)\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-(n+1)}\)

\(=(10^2-2・10+1)\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-(n+1)}\)

\(=\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-(n-1)}-2n・10^{-n}+n・10^{-(n+1)}\)

\(=\sum_{n=1}^{\infty}n・10^{-(n-1)}-2(n-1)・10^{-(n-1)}+(n-1)・10^{-n} +\underbrace{\sum_{n=0}^{0}n・10^{-(n-1)}}_{0}\)

\(=\sum_{n=2}^{\infty}n・10^{-(n-1)}-2(n-1)・10^{-(n-1)}+(n-2)・10^{-(n-1)}+\sum_{n=1}^{1}\underbrace{n・10^{-(n-1)}}_{1}-\underbrace{2(n-1)・10^{-(n-1)}}_{0}\)

\(=\sum_{n=2}^{\infty}\underbrace{(n-2(n-1)+n-2)}_{0}・10^{-(n-1)}+1=1\)

よって,式(1)の級数は,1/81である事がわかりましたね。

1/9801の原理

1/9801も先ほど同様,式(2)を変形して,1/9801であることを示しましょう。

9801という数字を見て,何かピンときませんか?

実は,この数字は\(99^2\)なのです。

先ほど同様,式(2)を\(99^2\)培しましょう。その結果が1になれば,式(1)が1/81であることを示せます。

式(2)を\(99^2\)倍すると,

\(99^2\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-2(n+1)}=(10^2-1)(10^2-1)\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-2(n+1)}\)

\(=((10^2)^2-2・10^2+1)\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-2(n+1)}\)

\(=\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-2(n-1)}-2n・10^{-2n}+n・10^{-2(n+1)}\)

\(=\sum_{n=1}^{\infty}n・10^{-2(n-1)}-2(n-1)・10^{-2(n-1)}+(n-1)・10^{-2n} +\underbrace{\sum_{n=0}^{0}n・10^{-2(n-1)}}_{0}\)

\(=\sum_{n=2}^{\infty}n・10^{-2(n-1)}-2(n-1)・10^{-2(n-1)}+(n-2)・10^{-2(n-1)}+\sum_{n=1}^{1}\underbrace{n・10^{-2(n-1)}}_{1}\)

\(=\sum_{n=2}^{\infty}\underbrace{(n-2(n-1)+n-2)}_{0}・10^{-2(n-1)}+1=1\)

式(2)は,1/9801であることが示されました。

一般化しよう。

1/81,1/9801の無限小数が連続した数が並ぶことがわかりましたが,

勘が鋭い方は,\(1/999^2\),\(1/9999^2\)も連続した数が並ぶのではないか?

と推測するわけです。

でも,1つ1つ示していくのも面倒なので,式を一般化して,まとめて証明しちゃいましょう。

一般形は,\(1/(10^i-1)^2\)となります。

そして,この数の無限小数は,次の式で表されます。

\(\sum_{n=1}^{\infty}n・10^{-i(n+1)}=0.\underbrace{0\cdots 0}_{i桁}\underbrace{0\cdots 1}_{i桁}\underbrace{0\cdots 2}_{i桁}\cdots\tag{3}\)

一般形が連続した数であることを示すには,式(3)に\((10^i-1)^2\)をかけた結果が1になればいいですね。

式(1),式(2)と同様に,式(3)に\((10^i-1)^2\)かけて式変形をしましょう。

\((10^i-1)^2\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-(n+1)}=(10-1)(10-1)\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-(n+1)}\)

\(=((10^i)^2-2・10^i+1)\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-i(n+1)}\)

\(=\sum_{n=0}^{\infty}n・10^{-i(n-1)}-2n・10^{-in}+n・10^{-i(n+1)}\)

\(=\sum_{n=1}^{\infty}n・10^{-i(n-1)}-2(n-1)・10^{-i(n-1)}+(n-1)・10^{-in} +\underbrace{\sum_{n=0}^{0}n・10^{-(n-1)}}_{0}\)

\(=\sum_{n=2}^{\infty}n・10^{-i(n-1)}-2(n-1)・10^{-i(n-1)}+(n-2)・10^{-i(n-1)}+\)

\(\sum_{n=1}^{1}\underbrace{n・10^{-i(n-1)}}_{1}\)

\(=\sum_{n=2}^{\infty}\underbrace{(n-2(n-1)+n-2)}_{0}・10^{-i(n-1)}+1=1\)

よって,式(3)が,\(\frac{1}{(10^i-1)^2}\)の一般形であることが示されました。

まとめ

まとめ

\(\frac{1}{(10^i-1)^2}\)を無限小数で表すと,

\(\frac{1}{(10^i-1)^2}=0.\underbrace{0\cdots 0}_{i桁}\underbrace{0\cdots 1}_{i桁}\underbrace{0\cdots 2}_{i桁}\cdots \)

最後に

不思議な数の羅列を数式に落とし込むことで,更に新しい発見をするものです。

皆さんも,数学の不思議を探してみましょう。

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ユキ
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数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!