どうも，ユキです。
今日は，数学の無限小数の不思議について探求します。
１÷81はいくつになるか知ってる？
今から，不思議な無限小数を２つ紹介します。
この記事を読むと，無限小数の原理を理解することができ，不思議な無限小数を作り出す方法を理解することができます。できれば，最後までご覧いただけたら幸いです。
では，１÷81はいくつになるのかを知っていますか？
自分で電卓を叩いて確かめて欲しいですが，この数の神秘に気づけ！
えい！
1÷81=0.01234567901\(\cdots\)
0～７までが並んで出てきています。
不思議でしょ～～～～？
では，もっとあなたを驚かせてあげましょう。
1÷9801はいくつになるか知ってる？
まさか，と思っているのでは？
そのまさかです。
1÷9801を試しに計算してみましょう。
1÷9801=0.00010203040506070809101112131415\(\cdots\)979900
となります。
えぇ～。嘘だろ！と思われる方もいらっしゃるかもしれませんが本当です。
0～97までの数が連続して並ぶ無限小数の完成です。
う～む。どうしてこうなるのかなぁ？
1÷81，1÷9801を分析
先ほどの無限小数を分析してみましょう。
ここからは高校数学Ⅱ･Bの数列の知識が必要になります。
\(1÷81=0.01234567901\cdots \tag{1}\)
\(1÷9801=0.00010203040506070809101112131415\cdots 979900\cdots \tag{2}\)
では，式(1)を級数の形になおしましょう。すると，
\(\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-(n+1)}=0.01234567901\cdots \tag{1}\)
となります。同様に式(2)を数列で表してみると，
\(\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-2(n+1)}= 0.00010203040506070809101112131415\cdots 979900\cdots \tag{2}\)
となります。
式(1)が本当に1/81なのか？また，式(2)が本当に1/9801なのかを検証していきます。
1/81，1/9801の仕組み
1/81の原理
式(1)を式変形をします。
ここで，式(1)を\(9^2\)培しましょう。その結果が1になれば，式(1)が1/81であることを示せます。
式(1)を\(9^2\)倍すると，
\(9^2\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-(n+1)}=(10-1)(10-1)\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-(n+1)}\)
\(=(10^2-2･10+1)\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-(n+1)}\)
\(=\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-(n-1)}-2n･10^{-n}+n･10^{-(n+1)}\)
\(=\sum_{n=1}^{\infty}n･10^{-(n-1)}-2(n-1)･10^{-(n-1)}+(n-1)･10^{-n} +\underbrace{\sum_{n=0}^{0}n･10^{-(n-1)}}_{0}\)
\(=\sum_{n=2}^{\infty}n･10^{-(n-1)}-2(n-1)･10^{-(n-1)}+(n-2)･10^{-(n-1)}+\sum_{n=1}^{1}\underbrace{n･10^{-(n-1)}}_{1}-\underbrace{2(n-1)･10^{-(n-1)}}_{0}\)
\(=\sum_{n=2}^{\infty}\underbrace{(n-2(n-1)+n-2)}_{0}･10^{-(n-1)}+1=1\)
よって，式(1)の級数は，1/81である事がわかりましたね。
1/9801の原理
1/9801も先ほど同様，式(2)を変形して，1/9801であることを示しましょう。
9801という数字を見て，何かピンときませんか？
実は，この数字は\(99^2\)なのです。
先ほど同様，式(2)を\(99^2\)培しましょう。その結果が1になれば，式(1)が1/81であることを示せます。
式(2)を\(99^2\)倍すると，
\(99^2\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-2(n+1)}=(10^2-1)(10^2-1)\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-2(n+1)}\)
\(=((10^2)^2-2･10^2+1)\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-2(n+1)}\)
\(=\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-2(n-1)}-2n･10^{-2n}+n･10^{-2(n+1)}\)
\(=\sum_{n=1}^{\infty}n･10^{-2(n-1)}-2(n-1)･10^{-2(n-1)}+(n-1)･10^{-2n} +\underbrace{\sum_{n=0}^{0}n･10^{-2(n-1)}}_{0}\)
\(=\sum_{n=2}^{\infty}n･10^{-2(n-1)}-2(n-1)･10^{-2(n-1)}+(n-2)･10^{-2(n-1)}+\sum_{n=1}^{1}\underbrace{n･10^{-2(n-1)}}_{1}\)
\(=\sum_{n=2}^{\infty}\underbrace{(n-2(n-1)+n-2)}_{0}･10^{-2(n-1)}+1=1\)
式(2)は，1/9801であることが示されました。
一般化しよう。
1/81，1/9801の無限小数が連続した数が並ぶことがわかりましたが，
勘が鋭い方は，\(1/999^2\)，\(1/9999^2\)も連続した数が並ぶのではないか？
と推測するわけです。
でも，1つ１つ示していくのも面倒なので，式を一般化して，まとめて証明しちゃいましょう。
一般形は，\(1/(10^i-1)^2\)となります。
そして，この数の無限小数は，次の式で表されます。
\(\sum_{n=1}^{\infty}n･10^{-i(n+1)}=0.\underbrace{0\cdots 0}_{i桁}\underbrace{0\cdots 1}_{i桁}\underbrace{0\cdots 2}_{i桁}\cdots\tag{3}\)
一般形が連続した数であることを示すには，式(3)に\((10^i-1)^2\)をかけた結果が１になればいいですね。
式(1)，式(2)と同様に，式(3)に\((10^i-1)^2\)かけて式変形をしましょう。
\((10^i-1)^2\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-(n+1)}=(10-1)(10-1)\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-(n+1)}\)
\(=((10^i)^2-2･10^i+1)\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-i(n+1)}\)
\(=\sum_{n=0}^{\infty}n･10^{-i(n-1)}-2n･10^{-in}+n･10^{-i(n+1)}\)
\(=\sum_{n=1}^{\infty}n･10^{-i(n-1)}-2(n-1)･10^{-i(n-1)}+(n-1)･10^{-in} +\underbrace{\sum_{n=0}^{0}n･10^{-(n-1)}}_{0}\)
\(=\sum_{n=2}^{\infty}n･10^{-i(n-1)}-2(n-1)･10^{-i(n-1)}+(n-2)･10^{-i(n-1)}+\)
\(\sum_{n=1}^{1}\underbrace{n･10^{-i(n-1)}}_{1}\)
\(=\sum_{n=2}^{\infty}\underbrace{(n-2(n-1)+n-2)}_{0}･10^{-i(n-1)}+1=1\)
よって，式(3)が，\(\frac{1}{(10^i-1)^2}\)の一般形であることが示されました。
まとめ
\(\frac{1}{(10^i-1)^2}\)を無限小数で表すと，
\(\frac{1}{(10^i-1)^2}=0.\underbrace{0\cdots 0}_{i桁}\underbrace{0\cdots 1}_{i桁}\underbrace{0\cdots 2}_{i桁}\cdots \)
最後に
不思議な数の羅列を数式に落とし込むことで，更に新しい発見をするものです。
皆さんも，数学の不思議を探してみましょう。
