高校数学

[最難関私大入試レベル]数学的帰納法の問題

ユキ
ユキ
恋は,帰納法なんだよ!どうも,ユキです。何度振られたとしても諦めきれないそんなあなたを一刀両断するのが,帰納法です。

この記事を読むメリット

☑数学的帰納法の問題にチャレンジできる。
☑難関私大レベルの問題にチャレンジできる。

数学的帰納法とは

帰納法は,数学に限らず,起こった出来事から法則や原理を導き出し,未知の問題が正しいことを導こうとするものです。

数学的帰納法は,帰納法を数学的に改良したものを数学的帰納法と言います。

数学的帰納法の問題

問題:

正の数\(a\),\(b\),\(x\),\(y\)について,\(a+b=1\)ならば,全ての自然数\(n\)に対して不等式\((ax+by)^{n}\leq ax^{n}+by^{n}\)が成立することを証明しなさい。

問題解答:

 

(ⅰ)\(n=1\)のとき,

 

\((ax+by)^1=ax^n+by^1\)

 

となります。

 

(ⅱ)\(n=k(n\geq 2)\)のとき,\((ax+by)\leq ax^n+by^n\)成立すると仮定すると,\(n=k+1\)のとき,

 

\((ax+by)^{k+1}=(ax+by)(ax+by)^{k}\)

 

\(= (ax+by)(ax+by)^{k}\leq (ax+by)(ax^{k}+by^{k})\)

 

\(=ax^{k+1}+b^{k+1}+ab(x^{k}y+xy^{k})\)

 

ここで,第三項について,\(b=1-a\)より,

\(= ax^{k+1}+b^{k+1}+\underbrace{a(1-a)(x^{k}y+xy^{k})}_{<0} < a^{k+1}+b^{k+1}\)

となります。

 

(ⅰ),(ⅱ)より,

 

\((ax+by)^{n}\leq ax^n+by^n\)

 

は成立し,等号成立は\(n=1\)のとき

 

<終>

 

まとめ

今日のまとめ

\(n=1\)のときと,\(n\geq 2\)のときに場合分けをする。

\(n=k\)が成立すると,仮定することで,\(n=k+1\)が成立するかどうか確かめる。

関連問題へのリンク

大学入試問題へのリンク->

https://cupuasu.club/tag/highschool-math/

最後に

数学的帰納法や背理法を使った問題は,大学入試でもよく出てきます。数学的帰納法は,パターンさえ覚えてしまえばなんてことは無い問題なので,あっさりと解いてしまいましょう。

ABOUT ME
ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!