数学

完全攻略!高校数学の公式全部まとめてみたwww

どうも,ユキです。

今回は高校数学公式・定理まとめをすべてまとめました。

また,それぞれに記事を分けたものも作ったので,見づらかったらそちらから見てください。

 

ぜひ確認にでも使ってください!

数学Ⅰ

第1章         数と式

 

語句まとめ:単項式,多項式,次数,係数,同類項,降べきの順

 

指数法則:

\(a^m\times a^n=a^{m+n}\),\((a^m)^n=a^{mn}\),\((ab)^n=a^nb^n\)

 

展開の公式

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)

\((a+b)^3=a^3+3a^b+3ab^2+b^3\)

\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)

\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)

\((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)

 

因数分解の公式:

\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)

\(a^3+3a^b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\)

\(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\)

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

\(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\)

 

展開の工夫:

Aとおいて\((A+x)(A-x)\),掛ける順序を変える

 

因数分解の工夫:

Aとおいて\(A^2+(a+b)A+ab\),次数の低い方の文字について式を整理,次数が同じのときは\(x\)について降べきの順に整理,共通因数があればくくり出す。

 

語句まとめ:整数,自然数,有理数,無限小数,有限小数,循環小数,無理数

 

循環小数:

\(0.aaa\dots=0.\dot{a}\)

\(0.abcabcabc\dots=0.\dot{a}b\dot{c}\)

\(1.abcabcabc=1.\dot{a}b\dot{c}\)

 

整数の四則演算の性質:

2つの有理数の和,差,積,商は常に有理数

2つの実数の和,差,積,商は常に実数

 

絶対値の性質:

\(a\leq 0\)のとき\(|a|=a\),\(a<0\)のとき\(|a|=-a\),\(\sqrt{a^2}=|a|\)

 

根号を含む式の計算:

\(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\),  \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\),  \(\sqrt{k^2a}=|k|\sqrt{a}\)

 

有理化:

\(\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{b\sqrt{a}}{a}\)

 

分母の有理化:

\((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b\)

 

2重根号

\(\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\),\(\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|\)

 

不等式の性質:

\(A<B\),\(C<0\)ならば,\(AC>BC\),\(\frac{A}{C}>\frac{B}{C}\)

両辺に負の数を掛けると,両辺の大小関係は入れかわる

 

語句まとめ:1次不等式,連立不等式

 

絶対値を含む方程式・不等式:

\(|x|=c\)の解は \(x=\pm c\)

\(|x|<c\)の解は \(-c<x<c\)

\(|x|>c\)の解は \(x<-c\),\(c<x\)

絶対値と場合分け:\(A\leq 0\)のとき\(|A|=A\),\(A<0\)のとき\(|A|=-A\)

 

ド・モルガンの法則:

\(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\),

\(\overline{A\cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)

 

語句まとめ:必要条件,十分条件,必要十分条件,命題とその逆・裏・対偶

 

対偶を利用する証明:

命題\(p\Rightarrow q\)を証明するのに,その対偶\(\overline{q}\Rightarrow \overline{p}\)を証明してもよい。

 

背理法を利用する証明:

命題が成り立たないと仮定して矛盾を導くことにより,元の命題が真であると結論する。

 

第2章         2次関数

 

1次関数,2次関数の一般形:

1次関数:\(y=ax+b\),
2次関数:\(y=ax^2+bx+c\)

\(y\)が\(x\)の関数であるとき,\(x\)の式を\(f(x)\)や\(g(x)\)のように書くことがある。

\(x=a\)のときの関数\(f(x)\)の値を\(f(a)\)で表す。

 

語句まとめ:定義域,値域,最大値,最小値、象限

 

2次関数のグラフ:

1-1  2次関数\(y=ax^2\)のグラフは放物線

1-2  その軸は\(y\)軸\((x=0)\),頂点は原点\((0,0)\)

1-3  \(a>0\)のとき,下に凸,\(a<0\)のとき 上に凸

 

2  2次関数\(y=a(x-p)^2+q\)のグラフは,\(y=ax^2\)のグラフを\(x\)軸

方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動した放物線。その軸は

\(x=p\), 頂点は点\((p,q)\)

3  2次関数\(f(x)\)のグラフを,\(x\)軸方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\)

だけ移動すると,移動後の放物線の方程式は,\(y-q=f(x-p)\)

 

対称移動:

2次関数\(y=f(x)\)のグラフを,\(x\)軸,\(y\)軸,原点それぞれに関して対称移動すると,移動後の放物線の方程式は,

\(x\)軸:\(-y=f(x)\),\(y\)軸:\(y=f(-x)\) 原点:\(-y=f(-x)\)

 

2次関数の定義域と最大・最小->

 

2次関数の決定->

 

連立3元1次方程式の解き方:

1.1文字を消去して,残り2文字の連立方程式を導く

2.2文字の連立方程式を解く

3.残りの1文字の値を求める

 

2次方程式の解の公式:

2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解は,

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

 

 

2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)について,\(D=b^2-4ac\)で定義された\(D\)を判別式という。

 

\(D=b^2-4ac\)の符号: 

\(D>0\),\(D=0\),\(D<0\)

実数解 \(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\),\(-\frac{b}{2a}\),ない

実数解の個数 2個 1個 0個

 

 

2次関数のグラフと\(x\)軸の位置関係:

\(D=b^2-4ac\)の符号 \(D>0\),\(D=0\),\(D<0\)

\(x\)軸との位置関係:異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない

\(x\)軸との共有点の個数 2個 1個 0個

実数解 \(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\),\(-\frac{b}{2a}),ない

 

放物線と直線の共有点の座標->

 

2次不等式の解:

\(D=b^2-4ac\)の符号 \(D>0\),\(D=0\),\(D<0\)

\(ax^2+bx+c=0\)の実数解 \(x=\alpha, \beta\) \(x=\alpha\) ない

\(ax^2+bx+c>0\)の解 \(x<\alpha,\beta<x\) \(\alpha\)以外の全ての実数

全ての実数

\(ax^2+bx+c\geq 0\)の解 \(x<\alpha,\beta<x\) 全ての実数

全ての実数

\(ax^2+bx+c < 0\)の解 \(\alpha<x<\beta\) ない ない \(ax^2+bx+c\leq0\)の解 \(\alpha\leq x\leq \beta\) \(x=\alpha\) ない

 

2次不等式の応用->

連立不等式->

絶対値を含む関数のグラフ->

 

第3章         図形と計量

 

三角比の定義(正弦,余弦,正接):

\(sin\theta=\frac{y}{r}\),  \(cos\theta=\frac{x}{r}\),  \(tan\theta=\frac{y}{x}\)

 

三角比の応用:

\(y=rsin\theta\),  \(x=rcos\theta\),  \(y=xtan\theta\)

 

三角比の相互関係:

\(tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}\),  \(sin^2\theta+cos^2\theta=1\),

\(1+tan^2\theta=\frac{1}{cos^2\theta}\)

 

 

三角比の拡張->

座標を用いた三角比の定義->

 

\(90^\circ-\theta\)の三角比

\(sin(90^\circ-\theta)=cos\theta\),\(cos(90^\circ-\theta)=sin\theta\),

\(tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{tan\theta}\)

 

\(180^\circ-\theta\)の三角比

\(sin(180^\circ-\theta)=sin\theta\),\(sin(180^{circ}-\theta)=-cos\theta\),

\(tan(180^\circ-\theta)=-tan\theta\)

 

直線の傾きと正接(タンジェント):

直線\(y=mx\)の傾き\(m\)と\(tan\theta\)について

\(m=tan\theta=\frac{y}{x}\)

 

正弦定理:

\(\triangle \)ABCの外接円の半径を\(R\)とすると,

$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$

 

余弦定理:

\(a^2=b^2+c^2-2b・c・coosA\),  \(b^2=c^2+a^2-2c・a・cosB\),

\(c^2=a^2+b^2-2a・b・cosC\)

 

三角形の余弦を表す式:

\(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\),  \(cosB=\frac{c^c2+a^2-b^2}{2ca}\),  \(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

 

三角形の面積:

1  \(\triangle\)ABCの面積\(S\)は,

\(S=\frac{1}{2}b・c・sinA\),\(S=\frac{1}{2}c・a・sinB\),\(S=\frac{1}{2}a・b・sinC\)

2  \(\triangle\)ABCの面積を\(S\),\(\triangle\)ABCの内接円の半径を\(r\)とするとき,

\(S=\frac{1}{2}r(a+b+c)\)

 

ヘロンの公式:

\(\triangle\)ABCの面積\(S\)は

\(2s=a+b+c\)とすると \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

 

第4章         データの分析

 

平均値:

データの値が\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)であるとき,このデータの平均値\(\overline{x}\)は\(\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)\)

 

語句まとめ:最頻値,モード,中央値,範囲,四分位数,四分位範囲,四分位偏差

 

四分位範囲:\(Q_3-Q_1\),四分位偏差:\(\frac{Q_3-Q_1}{2}\)

 

分散と標準偏差:

データの値が\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)で,その平均値が\(\overline{x}\)のとき,

分散:\(s^2=\frac{1}{n}(x_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})+\cdots+(x_n-\overline{x})\)

標準偏差:s=\(\sqrt{分散}\)

 

分散のもう1つの式:

\(x^2\)の平均値を\(\overline{x^2}\)とすると,

分散:\(s^2=\frac{1}{n}(\overline{x^2}-\overline{x}^2)\)

 

語句まとめ:相関,正の相関,負の相関

 

\(x\)と\(y\)の共分散:

\(Cov(x,y)=((x_1-\overline{x})(y_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})(y_2-\overline{y})+\cdots+(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})\)

 

相関係数の定義:
\(x\)と\(y\)の共分散\(Cov(x,y)\),\(x\)の分散\(S_x\),\(y\)の分散\(S_y\)のとき,

相関係数:\(r=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt{S_xS_y}}\)

 

数学A

第1章 場合の数と確率

 

\(n(A)\):集合\(A\)の要素の個数:

空集合\(\emptyset\)は要素が1つもない集合であるから,

\(n(\emptyset)=0\)

\(U\):全体の集合

\(\overline{A}\):\(A\)の補集合

 

 

和集合,補集合の要素の個数:

\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\),\(n(\overline{A})=n(U)-n(A)\)

 

場合の数->

 

和の法則,積の法則->

 

 

\({}_n \mathrm{P}_r\):異なる\(n\)個のものから\(r\)個を取り出して並べる順列の総数

順列の総数\({}_n\mathrm{P}_r\):

$${}_n\mathrm{P}_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)$$

 

\(n\)の階乗

$${}_n\mathrm{P}_n=n!=n(n-1)(n-2)\cdots・3・2・1$$

 

順列の総数\({}_n\mathrm{P}_r\):

$${}_n\mathrm{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$

 

円順列の総数:

異なるn個の円順列の総数は\((n-1)!\)通り

 

重複順列の総数:

\(n\)個から\(r\)個とる重複順列の総数は\(n^r\)通り

 

組み合わせの総数\({}_n\mathrm{C}_r\):

$${}_n\mathrm{C}_r=\frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}=\frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)\cdots・3・2・1}$$

\({}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r}\)

 

同じものを含む順列の総数:

\(a\)が\(p\)個,\(b\)が\(q\)個,\(c\)が\(r\)個あるとき,それらを全部を1列に並べる順列の総数は

$${}_n\mathrm{C}_p\times {}_{n-p}\mathrm{C}_q=\frac{n!}{p!q!r!}$$

ただし,\(p+q+r=n\)

 

重複を許して作る組み合わせの総数:

異なる\(n\)個のものから重複を許して\(r\)個とって作る組み合わせの総数

\({}_{(n-1)+r}\mathrm{C}_r\)

 

語句まとめ:試行,事象,全事象

 

事象Aが起こる確率:

$$P(A)=\frac{事象Aの起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数}=\frac{n(A)}{n(U)}$$

 

確率の基本性質:

1  \(0\leq P(A)\leq 1\),\(P( \emptyset )=0\),\(P(U)=1\)

2  事象\(A,B\)が互いに排反であるとき

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)

 

余事象と確率:

\(P(A)+P(\overline{A})=1\),すなわち \(P(\overline{A})=1-P(A)\)

 

一般の和事象の確率:

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)

 

独立な試行の確率:

2つの試行SとTが独立であるとき,Sで事象\(A\)が起こり,かつTで事象\(B\)が起こる確率\(p\)は,\(P(A)\)と\(P(B)\)の積に等しい

\(p=P(A)\times P(B)\)

 

反復試行の確率:

1回の試行で事象\(A\)が起こる確率\(p\),この試行を\(n\)回行う反復試行で,\(A\)がちょうど\(r\)回起こる確率は

\({}_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}\)

 

条件付き確率:

\(A\)を全事象としたときに,事象\(B\)が起こる確率\(P_A (B)\)

\(P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}\)

 

確率の乗法定理:

\(P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\)

 

全確率の公式:

\(P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)=P(A)P_A(E)+P(B)P_B(E)\)

 

第2章 図形の性質

 

三角形の角の二等分線と比:

\(\triangle\)ABCの\(\angle\)Aの二等分線と辺BCとの交点は,辺BCをAB:ACに内分する。

 

三角形の外角の二等分線と比:

AB\(\neq \)ACである\(\triangle \)ABCの\(\angle\)Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点は,辺BCをAB:ACに外分する

 

三角形の辺の垂直二等分線:

三角形の3辺の垂直二等分線は1点(三角形の外心)で交わる

 

三角形の内角の二等分線:

三角形の3つの内角の二等分線は1点(三角形の内心)で交わる

 

三角形の中線:

三角形の3本の中線は1点(三角形の重心)で交わり,その点は各中線を2:1に内分する

 

チェバの定理:

\(\triangle\)ABCの内部にOがある。頂点A,B,CとOを結ぶ直線が向かい合う辺と,それぞれ点P,Q,Rで交わるとき

$$\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=1$$

 

メネラウスの定理:

\(\triangle\)ABCの辺BC,CA,ABまたはその延長が,三角形の頂点を通らない直線\(\ell\)と,それぞれ点P,Q,Rで交わるとき

$$\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=1$$

 

三角形の辺と角の大小関係:

\(\triangle\)ABCにおいて

\(b>c\Longleftrightarrow \angle B>\angle C\)

 

1つの三角形において:

1.2辺の長さの和は,他の一辺の長さよりも大きい

2.2辺の長さの差は,他の一辺の長さよりも小さい

\(|b-c| <a<b+c\)

 

円周角の定理:

1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり,その弧に対する中心角の大きさの半分である。

 

円周角の定理の逆:

4点A,B,P,Qについて,点P,Qが直線ABに関して同じ側にあって

\(\angle APB=\angle AQB\)ならば,4点A,B,P,Qは1つの円周上にある

 

円に内接する四角形の性質:

円の内接する四角形について,

1. 対角の和は\(180^\circ\)である

2. 内角は,その対角の外角に等しい

 

四角形が円に内接するための条件:

次のまたはが成り立つ四角形は,円に内接する

 1組の対角の和が\(180^\circ\)である

 内角が,その対角の外角に等しい

 

円の接線:

直線\(l\)が点Aで円Oに内接する\(\Longleftrightarrow OA \perp \ell\)

 

円の接線の長さ:

円の外部の1点からその点に引いた2つの接線の長さは等しい

 

円の接線と弦の作る角:

円の接線とその接点を通る弦の作る角は,その角の内部にある弧に対する円周角に等しい

 

方べきの定理Ⅰ:

円の2つの弦AB,CDの交点,またはそれらの延長の交点をPとすると,

\(PA・PB=PC・PD\)

 

方べきの定理Ⅱ:

円の外部の点Pから円に引いた折線の接点をTとする。Pを通ってこの円と2点A,Bで交わる直線を引くと,

\(PA・PB=PT^2\)

 

方べきの定理Ⅰの逆:

2つの線分ABとCD,またはABの延長とCDの延長が点Pで交わるとき,PA・PB=PC・PDが成り立つならば,4点A,B,C,Dは1つの円周上にある

 

語句まとめ:接点,外接,内接,共通接線

 

2直線の位置関係:

2直線\(\ell,m\)が平行であるとき,\(\ell\parallel m\)と書く

 

 

3直線\(\ell,m,n\)について,次のことが成り立つ

\(\ell\parallel m\), \(m\parallel n\) ならば \(\ell\parallel n\)

 

 

三垂線の定理:

1 \(OA\perp \alpha,OB\perp \ell \) ならば \(AB \perp \ell\)

2 \(OA\perp \alpha,AB\perp \ell \) ならば \(OB \perp \ell\)

3 \(OA\perp l,AB\perp \ell \) ならば \(OA \perp \alpha\)

 

多面体

オイラーの多面体定理:

頂点の数\(v\),辺の数\(e\),面の数\(f\)とすると

\(v-e+f=2\)

 

多面体の面積->

 

第3章 整数の性質

 

語句まとめ:整数,約数,倍数

 

倍数判定法:

2の倍数 \(\cdots\) 一の位が0,2,4,6,8のいずれかである

5の倍数 \(\cdots\) 一の位が0,5のいずれかである

3の倍数 \(\cdots\) 各位の数の和が3の倍数である

9の倍数 \(\cdots\) 各位の数の和が9の倍数である

 

語句まとめ:素数,合成数,因数,素因数,素因数分解

 

自然数\(N\)の素因数分解が\(N=p^aq^br^c\cdots\)となるとき,\(N\)の整数の約数の個数は:

\((a+1)(b+1)(c+1)\cdots\)

 

語句まとめ:公約数,最大公約数,公倍数,最小公倍数,互いに素

 

\(a,b,c\)は整数で,\(a,b\)は互いに素であるとする

1 \(ac\)が\(b\)の倍数であるとき,\(c\)は\(b\)の倍数である

2 \(a\)の倍数であり,\(b\)の倍数でもある整数は,\(ab\)の倍数である。

 

最大公約数・最小公倍数の性質:

2つの自然数\(a,b\)の最大公約数を\(g\),最小公倍数を\(l\)とする。\(a=ga’\),\(b=gb’\)であるとすると,次のことが成り立つ

\(a’,b’\)は互いに素,\(l=ga’b’\),\(ab=gl\)

 

整数の割り算:

整数\(a\)と整数\(b\)について

\(a=bq+r\),\(0\leq r<b\)

となる整数\(q,r\)は1通りに定まる

 

商,余り->

 

連続する整数の積の性質:

連続する2つの整数の積は2の倍数

連蔵する3つの整数の積は6の倍数

 

自然数の積と素因数の個数->

 

和,差,積の余り:

\(m\)を正の整数とし,2つの整数\(a,b\)を\(m\)で割ったあまりを,それぞれ\(r,r’\)とすると,

1 \(a+b\)を\(m\)で割ったあまりは,\(r+r’\)を\(m\)で割った余りに等しい

2 \(a-b\)を\(m\)で割ったあまりは,\(r-r’\)を\(m\)で割った余りに等しい

3 \(ab\)を\(m\)で割ったあまりは,\(rr’\)を\(m\)で割った余りに等しい

 

法,合同:

\(a\)を\(m\)で割ったあまりと,\(b\)を\(m\)で割ったあまりが等しいとき,\(a\)と\(b\)は\(m\)を法として合同であるという

合同式:\(a\equiv b (mod m)\)

 

合同式について:

 \(a\equiv a \pmod{m}\)

 \(a\equiv b \pmod{m}\)のとき  \(b\equiv a \pmod{m}\)

 \(a\equiv b \pmod{m})\),\(b\equiv c \pmod{m}\)のとき \(a\equiv c \pmod{m}\)

\(a\equiv c \pmod{m}\),\(b\equiv d \pmod{m} \)のとき

1 \(a+b\equiv c+d \pmod{m}\) 2 \(a-b\equiv c-d \pmod{m}\)

3 \(ab\equiv cd \pmod{m}\) 4 \(a^k\equiv c^k \pmod{m}\)

 

ユークリッドの互除法->

 

\(a=bq+r\):

自然数\(a,b\)について,\(a\)を\(b\)で割ったときのあまりを\(r\)とすると,\(a\)と

\(b\)の最大公約数は,\(b\)と\(r\)の最大公約数に等しい

 

 

互除法の活用:

2つの整数\(a\),\(b\)が互いに素であるとき,整数\(c\)について \(ax+by=c\)を満たす整数\(x,y\)が存在する。

 

 

\(a,b,c\)は整数の定数で,\(a\neq 0\),\(b\neq 0\)とする。\(x\),\(y\)の1次方程式:

\(ax+by=c\)

を成立させる整数\(x\),\(y\)の組を,この方程式の整数解という。この方程式の整数解を求めることを1次不定方程式を解くという。

 

\(ax+by=0\)の整数解:

2つの整数\(a,b\)が互いに素であるとき,方程式\(ax+by=0\)の全ての整数解は,次のように表される。

\(x=bk\) ,\(y=-ak\) (\(k\)は整数)

 

\(ax+by=1\)の整数解:

1       方程式\(ax+by=1\)の整数解を1つ求める

2       \(ax+by=0\)に帰着させて,整数解を全て求める

 

\(ax+by=c\)の整数解:

1       方程式\(ax+by=1\)の整数解を1つ求める

2       両辺に\(c\)を掛けて,\(a(cx)+b(cy)=c\)にする

3 \(ax+by=0\)に帰着させて,整数解を全て求める

 

整数の性質の活用->

語句まとめ:有限小数,無限小数,循環小数

 

有限小数で表される分数:

\(\frac{m}{n}\)は有限小数で表される\(\Longleftrightarrow\)\(n\)の素因数は2,5だけからなる

 

\(n\)進法->

 

底の変換->

 

数学Ⅱ

第1章         式と証明

3次式の展開と因数分解:

\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\),\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ba^2-b^3\)

 

展開の公式:

\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\),\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)

 

因数分解の公式:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\),\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

 

二項定理:

\((a+b)^n={}_n\mathrm{C}_0a^n+{}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b+{}_n\mathrm{C}_2a^{n-2}b^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r+\cdots+{}_n\mathrm{C}_nb^n \)

 

二項定理の応用:

\((1+x)^n=+{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_1x+{}_n\mathrm{C}_2x^2+{}_n\mathrm{C}_nx^n\)

 

\((a+b+c)^n\)の展開式:

\((a+b+c)^n\)の展開式における\(a^pb^qc^r\)の項の係数は

\(\frac{n!}{p!q!r!}\) ただし \(p+q+r=n\)

 

語句まとめ:整式

 

\(A=BQ+R\):

\(A\),\(B\)が整式とすると,\(A\)を\(B\)で割った商は\(Q\)となり,余りは\(R\)となる。

とくに,

\(A=BQ\)のとき:

つまり,\(R=0\)のときは\(A\)は\(B\)で割り切れるという

 

分数式の約分:

\(\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}\) (ただし \(C \neq 0 \))

 

分数式の四則演算:

\(\frac{A}{B}\times\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}\)

 

分数式の加法・減法:

\(\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}\)

 

語句まとめ:恒等式

 

恒等式の性質:

\(ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’\)が\(x\)についての恒等式

\(\Longleftrightarrow\) \(a=a’\),\(b=b’\),\(c=c’\)

\(ax^2+bx+c=0\)が\(x\)についての恒等式

\(\Longleftrightarrow\) \(a=b=c=0\)

 

代入による恒等式の係数決定->

恒等式に関する証明->

 

\(A=B\)の証明方法:

1 \(A\)か\(B\)の一方を変形して,他方を導く

2 \(A\)と\(B\)の両方を変形して,同じ式を導く

3 \(A-B\)を変形して,0になることを示す

 

条件付きの等式の証明->

 

条件が比例式の等式の証明->

 

不等式の証明->

 

実数の大小関係:

\(a>b\), \(b>c\) \(\Rightarrow\) \((a>c)\)

\(a>b\) \(\Rightarrow\) \(a+c>b+c,a-c>b-c\)

\(a>b\), \(c>0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)

\(a>b\), \(c<0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)

 

2数の大小関係と差:

\(a>b\) \(\Longleftrightarrow\) \(a-b>0\)

\(a<b\) \(\Longleftrightarrow\) \(a-b<0\)

 

実数の平方の性質:

実数\(a\)について \(a^2 \geq 0\)

等号が成り立つのは,\(a=0\)のとき

実数\(a,b\)について \(a^2+b^2 \geq 0\)

等号が成り立つのは,\(a=b=0\)のとき

 

相加平均:

\(\frac{a+b}{2}\)を\(a\)と\(b\)の相加平均という

 

相乗平均:

\(a>0\),\(b>0\)のとき,\(\sqrt{ab}\)を\(a\)と\(b\)の相乗平均という

 

相加平均と相乗平均の大小関係:

\(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\)

等号成立は,\(a=b\)のときである

 

第2章         複素数と方程式

 

複素数の相等:

\(a+bi=c+di\) \(\Longleftrightarrow\) \(a=c\)かつ\(b=d\)

とくに\(a+bi=0\) \(\Longleftrightarrow\) \(a=0\) かつ \(b=0\)

 

語句まとめ:共役な複素数

 

負の数の平方根:

\(a>0\) \(-a\)の平方根は\(\pm \sqrt{-a}=\pm \sqrt{a}i\)である

 

2次方程式の解の公式:

\(ax^2+bx+c=0\)の解は \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

 

2次方程式の解の種類の判別:

\(ax^2+bx+c=0\)の判別式を\(D\)とすると,

\(D>0\) \(\Longleftrightarrow\) 異なる2つの実数解

\(D=0\) \(\Longleftrightarrow\) 重解

\(D<0\) \(\Longleftrightarrow\) 異なる2つの虚数解

 

解と係数の関係:

\(ax^2+bx+c=0\)の2つの解を\(\alpha\),\(\beta\)とすると

\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\),\(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)

 

\(ax^2+bx+c=0\)が2つの解\(\alpha\),\(\beta\)を持つとき

\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\)

\(\alpha\),\(\beta\)を解とする2次方程式

\(\alpha\),\(\beta\)を解とする2次方程式の1つは

\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)

 

 

2次方程式の実数解の符号:

1  \(ax^2+bx+c=0\)の2つの解\(\alpha\),\(\beta\)と判別式\(D\)について

2  \(\alpha\),\(\beta\)は異なる2つの正の解\(\Longleftrightarrow\)

\(D>0\)で,\(\alpha+\beta > 0\)かつ\(\alpha\beta>0\)

3  \(\alpha\),\(\beta\)は異なる2つの負の解\(\Longleftrightarrow\) \(D>0\)で,

\(\alpha+\beta > 0\)かつ\(\alpha\beta>0\)

\(\alpha\),\(\beta\)は符号の異なる解\(\Longleftrightarrow\) \(\alpha\beta<0\)

 

剰余の定理と因数定理:

\(P(x)=(x-k)Q(x)+R\)

\(x=k\)のとき,\(P(k)=R\)

 

剰余の定理:

整式\(P(x)\)を\((x-k)\)で割ったあまりは,\(P(k)\)に等しい

 

因数定理:

整式\(P(x)\)が\(x-k\)で割り切れる \(\Longleftrightarrow\) \(P(k)=0\)

 

組立除法->

 

高次方程式->

 

 

第3章         図形と方程式

 

語句まとめ:内分,外分,象限

 

線分の内分点・外分点:

線分\(m:n\)を内分する点をP,外分する点Q

Pの座標\(\frac{na+mb}{m+n}\),外分点Qの座標は\(\frac{-na+mb}{m-n}\)

線分ABの中点の座標は\(\frac{a+b}{2}\)

<補足>内分点の座標で\(n\)を\(-n\)に置き換えたものが,外分点の座標

 

2点間の距離:

2点A(\(x_1,y_1)\),B(\(x_2,y_2\))間の距離ABは

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

原点OとA(\(x_1,y_1)\)の距離OAは

$$OA=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$$

 

内分点,外分点の座標:

2点A(\(x_1,y_1\)),B(\(x_2,y_2\))を結ぶ線分ABを,\(m:n\)に内分する点をP,外分する点Qとする

Pの座標 \(( \frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n})\)

Qの座標 \(( \frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\frac{-ny_1+my_2}{m-n})\)

線分ABの中点の座標 \((\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} )\)

 

重心の座標:

3点A(\(x_1,y_1\)),B(\(x_2,y_2\)),C(\(x_3,y_3\))を頂点とする

\(\triangle\)ABCの重心の座標

\(( \frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3} )\)

 

直線の方程式(1):

点(\(x_1,y_1\))を通り,傾きが\(m\)の直線の方程式

\(y-y_1=m(x-x_1)\)

 

直線の方程式(2):

異なる2点(\(x_1,y_1\)),(\(x_2,y_2\))を通る直線の方程式

\(x_1\neq x_2   y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)

\(x_1=x_2   x=x_1\)

 

2直線の平行,垂直:

2直線\(y=m_1x+k_1\),\(y=m_2x+k_2\)について

\(m_1=m_2\) \(\Longleftrightarrow\) 2直線が平行

\(m_1m_2=-1\) \(\Longleftrightarrow\) 2直線が垂直

 

点(\(x_1,y_1\))を通り,直線\(ax+by+c=0\)に平行な直線,垂直な直線:

平行 \(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\)

垂直 \(b(x-x_1)-a(y-y_1)=0\)

 

直線に対して対称な点:

 直線ABは\(\ell\)に垂直

 線分ABの中点は\(\ell\)上にある

 

 

点と直線の距離:

$$d=\frac{| ax_1+by_1+c |}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

 

円の方程式:

点(\(a,b\))を中心とする半径\(r\)の円の方程式

\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

 

\(x^2+y^2+lx+my+n=0\)の表す図形->

 

 

円と直線:

\(D\)の符号\(D>0\) \(D=0\) \(D<0\)

\(ax^2+bx+c=0\)の実数解 異なる2つの実数解 重解(1つの解) なし

円と直線の位置関係 異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない

共有点の個数 2個 1個 0個

 

 

\(d\)と\(r\)の大小:

\(d<r\) \(d=r\) \(d>r\)

円と直線の位置関係 異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない

 

円上の点における接線の方程式:

円\(x^2+y^2=r^2\)上の点P(\(x_1,y_1\))における接線の方程式

$$x_1x+y_1y=r^2$$

 

2つの円の位置関係->

 

2つの円の共有点の座標->

 

2つの円の交点を通る図形->

 

 

軌跡を求める手順:

1       点P(\(x,y\))として,Pの条件を\(x,y\)の式で表す

2       逆に,1で求めた図形上のすべての点Pが,与えられた条件を満たすことを確かめる

 

線分の中点の軌跡:

Q(\(s,t\)),P(\(x,y\))とする。Qの満たす条件を表す\(s,t\)の式と,QとPの座標の関係式から,\(x,y\)の方程式を導く。

 

直線と領域:

直線\(\ell\):\(y=mx+k\)

1 \(y>mx+k\)の表す領域は,直線\(l\)の上側の部分

2 \(y<mx+k\)の表す領域は,直線\(l\)の下側の部分

 

円と領域:

1 \(x^2+y^2<r^2\)の表す領域は,円\(x^2+y^2=r^2\)の内部

2 \(x^2+y^2>r^2\)の表す領域は,円\(x^2+y^2=r^2\)の外部

 

連立不等式の表す領域->

 

領域の最大・最小->

 

領域を利用した証明->

 

\(p\)ならば\(q\) \(\Longleftrightarrow\) \(P\subset Q\)

 

 

放物線を境界線とする領域:

曲線\(F\):\(y=ax^2+bx+c\)

\(y>ax^2+bx+c\)の表す領域は,曲線\(F\)の上側の部分

\(y<ax^2+bx+c\)の表す領域は,曲線\(F\)の下側の部分

 

第4章         三角関数

 

語句まとめ:動径,始線

 

動径の表す角:

動径OPと始線OXのなす角の1つを\(\alpha\)とすると,動径OPの表す角は\(\alpha+360^\circ \times n\)。\(n\)は整数

 

語句まとめ:弧度法,度数法

 

弧度法と扇形:

半径\(r\),中心核\(\theta\)(ラジアン)の扇形の弧の長さ\(l\),面積\(S\)は

\(l=r\theta\), \(S=\frac{1}{2}r^2\theta\)

 

 

\(\theta\)の三角関数:

\(sin \theta=\frac{y}{r}\),\(cos \theta=\frac{x}{r}\),\(tan \theta=\frac{y}{x}\)

\(\theta\)の正弦,余弦,正接という

 

語句まとめ:単位円

 

三角関数の相互関係:

\(tan \theta=\frac{sin \theta}{cos \theta}\) ,\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)

\(1+tan^2\theta=\frac{1}{cos^2\theta}\)

 

三角関数のグラフ:

\(sin \theta\)の性質:

\(sin \theta\)の値は,P(\(x,y\))の\(y\)座標に等しい

\(y=sin\theta\)のグラフは原点に対して対称

周期は2\(\pi\)

 

\(cos \theta\)の性質:

\(sin \theta\)の値は,P(\(x,y\))の\(x\)座標に等しい

\(y=sin\theta\)のグラフは\(y\)軸に対して対称

周期は2\(\pi\)

 

\(tan\theta)の性質:

\(tan \theta\)の値は,T(\(1,m\))の\(y\)座標に等しい

\(tan (\theta+\pi)=tan \theta\)が成立

グラフは原点に対して対称

周期は\(\pi\)

 

三角関数で成り立つ等式:

\(sin (\theta+2n\pi)=sin \theta\)

\(cos (\theta+2n\pi)=cos \theta\)

\(tan (\theta+n\pi)=tan \theta\)

 

三角関数のグラフの対称性:

\(sin (-\theta)=-sin \theta\)

\(cos (-\theta)=sin \theta\)

\(tan (-\theta)=-tan \theta\)

 

\(sin (\theta+\pi)=-sin \theta\)

\(cos (\theta+\pi)=-cos \theta\)

\(tan (\theta+\pi)=tan \theta\)

 

\(sin (\theta+\frac{\pi}{2})=cos \theta\)

\(cos (\theta+\frac{\pi}{2})=-sin \theta\)

\(tan (\theta+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{tan \theta}\)

 

三角関数を含む方程式->

 

三角関数を含む不等式->

 

三角関数を含む関数の最大値,最小値->

 

正弦,余弦の加法定理:

\(sin(\alpha+\beta)=sin \alpha cos \beta+cos \alpha sin \beta\)

\(sin(\alpha-\beta)=sin \alpha cos \beta-cos \alpha sin \beta\)

\(cos(\alpha+\beta)=cos \alpha cos \beta-sin \alpha sin \beta\)

\(cos(\alpha-\beta)=cos \alpha cos \beta+sin \alpha sin \beta\)

 

正接の加法定理:

\(tan(\alpha+\beta)=\frac{tan \alpha+tan \beta}{1-tan \alpha tan \beta}\)

\(tan(\alpha-\beta)=\frac{tan \alpha-tan \beta}{1+tan \alpha tan \beta}\)

 

正弦,余弦の2倍角の公式:

\(sin 2\alpha=2sin \alpha cos \alpha\)

\(cos 2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha\)

\(cos 2\alpha=1-2sin^2\alpha\)

\(cos 2\alpha=2cos^2\alpha-1\)

 

正弦,余弦の半角の公式:

\(sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos\alpha}{2}\),\(cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+cos\

alpha}{2})

 

正接の2倍角,半角の公式:

\(tan 2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}\),\(tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos \alpha}{1+cos \alpha}\)

 

三角関数の合成:

\(a sin \theta+b sin \theta=\sqrt{a^2+b^2} sin(\theta+\alpha)\)

ただし,\(cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

 

正弦,余弦の積を和や差に変形する4つの公式:

\(sin\alpha cos \beta=\frac{1}{2}{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}\)

\(cos\alpha sin \beta=\frac{1}{2}{sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)}\)

\(cos\alpha cos \beta=\frac{1}{2}{cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}\)

\(sin\alpha sin \beta=\frac{1}{2}{cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)}\)

 

 

 

正弦,余弦の和や差を積に変形する4つの公式:

上の4つの公式において,\(\alpha+\beta=A\),\(\alpha-\beta=B\)とおくと,

\(sin A+sin B=2sin \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})

\(sin A-sin B=2cos \frac{A+B}{2}sin \frac{A-B}{2})

\(cos A+cos B=2cos \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})

\(cos A-cos B=-2sin \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})

 

第5章         指数関数

 

累乗(1)

\(a^0=1,a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) \(a^{-1}=\frac{1}{a}\)

 

累乗(2):

\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\),\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\),\(a^{-r}

=\frac{1}{a^r}\)

 

指数法則(指数が有理数):

\(r\),\(s\)は有理数

\(a^r\times a^s=a^{r+s}\) \(\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\)

\((a^r)^s=a^{rs}\)  \((ab)^r=a^rb^r\)

 

語句まとめ:指数関数,増加関数,減少関数

 

指数関数\(y=a^x\)の特徴:

定義域:実数全体,値域:正の数全体

\(a>1\)のとき,増加関数

\(r<s \Longleftrightarrow a^r<a^s\)

\(0<a<1\)のとき,減少関数

\(r<s \Longleftrightarrow a^r>a^s\)

 

指数関数を含む方程式,不等式->

 

語句まとめ:底,対数,真数

 

指数と対数:

\(M>0\)とすると

\(M=a^p \Longleftrightarrow log_aM=p\)

 

\(log_aa^p=p\),\(a^{log_ap}=p\)

 

 

対数の性質(1):

\(log_a1=0\),\(log_aa=1\)

 

 

対数の性質(2):

\(M>0,N>0\)で\(k\)は実数

\(log_aMN=log_aM+log_aN\) \(log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN\)

\(log_aM^k=klog_aM\)

 

底の変換公式:

\(a,b,c\)は正の数,\(a\neq 1\),\(b\neq 1\),\(c\neq 1\)とするとき

\(log_ab=\frac{log_cb}{logca}\) とくに\(log_ab=\frac{1}{log_ba}\)

 

対数関数\(y=log_ax\)の特徴:

定義域は正の数全体,値域は実数全体

\(a>1\)のとき,増加関数。すなわち

\(0<p<q \Longleftrightarrow log_ap<log_aq\)

\(0<a<1\)のとき,減少関数。すなわち

\(0<p<q \Longleftrightarrow log_ap>log_aq\)

 

 

対数関数を含む方程式,不等式->

 

対数を含む関数の最大値,最小値-?

 

常用対数->

 

 

桁数と常用対数の値の関係:

自然数\(N\)が\(m\)桁のかずであるとは,\(N\)が

\(10^{m-1} \leq N<10^m \)

を満たす。常用対数をとると,

\(m-1\leq log_{10}N<m\)

 

第6章 微分法と積分法

 

語句まとめ:平均変化率,極限値,微分係数

 

 

極限値:

関数\(f(x)\)において,\(x\)が\(a\)に近づくとき,\(f(x)\)の値が定数\(a\)に近づくならば,\(\alpha\)を\(f(x)\)の極限値という。このことを次のように書く。

\(\lim_{x \to a} f(x)=\alpha\)

 

 

\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数:

\(f’(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)^f(a)}{h}\)

 

 

接戦の傾きと微分係数:

関数\(y=f(x)\)のグラフ上の点\(A(a,f(a))\)における接線の傾きは,関数\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数\(f’(a)\)に等しい

 

導関数\(f’(x)\):

$$f’(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

 

 

関数\(x^n\)の導関数:

\((x^n)’=nx^{n-1}\)

\((c)’=0\)

 

 

定数倍,和の導関数:

\(k\)は定数

\(y=kf(x)+lg(x)\)を微分

\(y’=kf’(x)+lg’(x)\) \(k,l\)は定数

 

 

接線の方程式:

関数\(y=f(x)\)のグラフの点(\(a,f(a))\)における接線の方程式

\(y-f(a)=f’(a)(x-a)\)

 

\(f(x)\)の増減と\(f’(x)\)の符号:

\(f’(x)>0\)となる\(x\)の値の範囲では増加\(f’(x)<0\)となる\(f(x)<0\)となる\(x\)の値の範囲では減少

 

語句まとめ:増減表,極大,極大値, 極小, 極小値,極値

 

\(f(x)\)が極値をとるための十分条件:

\(f(x)\)が\(x=a\)で極地をとるならば,\(f’(a)=0\)である

<補足>逆は成り立たない

 

関数の最大・最小->

 

方程式への応用->

不等式への応用->

 

語句まとめ:原始関数,積分定数,不定積分

\(f(x)\)の不定積分:

\(F’(x)=f(x)\)のとき

\(\int f(x)dx=F(x)+C\)  ただし,\(C\)は積分定数

\(x^n\)の不定積分:

\(\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)

 

定数倍,和の不定積分:

\(F’(x)=f(x),G’(x)=g(x)\)のとき

\(\int kf(x)+lg(x)dx=kF(x)+lG(x)+C\)  \(k\),\(l\)は定数

 

定積分:

\(F’(x)=f(x)\)のとき

\(\int_{a}^{b}f(x)dx=[ F(x) ]_a^b=F(b)-F(a)\)

 

関数の定数倍,和の定積分:

\(\int_{a}^{b}kf(x)+lg(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx+l\int_{a}^{b} g(x)dx \)

 

定積分の性質:

1  \(\int_{a}^{a}f(x)=0\)

2  \(\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx\)

3  \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)

\(a\)を定数とするとき,

4  \(\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)

 

 

定積分と図形の面積:

\(a\leq x\leq b\)の範囲で\(f(x)\geq g(x)\)のとき,\(y=f(x)\)のグラフと\(x\)軸および2直線\(x=a,x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は

\(S=\int_{a}^{b}{f(x)-g(x)}dx\)

 

曲線と接線で囲まれた図形の面積->

 

語句まとめ:切り取る線分の長さ

 

放物線\(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\)と\(x\)軸で囲まれた部分の面積:

\(S=\int_{\alpha}^{\beta}-a(x-\alpha)(x-\beta)dx=\frac{a(\beta-\alpha)^3}{6}\)

 

数学B

第1章         平面上のベクトル

 

語句まとめ:大きさ,向き

 

逆ベクトル:

\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}\)のとき,

\(-\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{AB}\)

 

ベクトルの加法:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

 

ベクトルの加法の性質:

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\) 交換法則

\(( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )+ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\) 結合法則

 

零ベクトルの性質:

\(\overrightarrow{a}(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}\),

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\)

 

ベクトルの減法:

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\)

 

\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\),

 

ベクトルの実数倍,和の性質:

\(k(\overrightarrow{la})+(kl)\overrightarrow{a}\)

\((k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}\)

\(k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)

 

ベクトルの平行条件:

\(\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}\) \(\Longleftrightarrow\)\(\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}\)となる実数\(k\)がある

 

単位ベクトル:

\(\overrightarrow{a}\)と平行な単位ベクトルは

\(\frac{\overrightarrow{a}}{| \overrightarrow{a} |}\)と\(-\frac{\overrightarrow{a}}{| \overrightarrow{a} |}\)

 

\(\overrightarrow{a}\)の大きさ:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\)のとき

\(| \overrightarrow{a} |=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

 

実数倍,和の成分表示:

\(k(a_1,a_2)+g(b_1,b_2)=(ka_1+gb_1,ka_2+gb_2)\)

 

2点A(\(a_1,a_2\)),B(\(b_1,b_2\))について:

\(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)\), \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+

(b_2-a_2)^2}\)

 

ベクトルの内積:

\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\theta\)

ただし,\(\theta\)は\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)のなす角

 

ベクトルの垂直と内積:

\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\) \(\Longleftrightarrow\)\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=0\)

内積と成分:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\)のとき

\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)

 

 

ベクトルのなす角の余弦:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\),\(\overrightarrow{a}=(b_1,b_2)\)のなす角を\(\theta\)とする。

\(cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)

 

 

ベクトルの垂直条件:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\)

\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b} \Longleftrightarrow\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=0\)

 

内積の性質:

\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2\)

\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}・\overrightarrow{a}\)

\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})・\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}・\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}・\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}・\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}・\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}・\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{ka}・\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}・\overrightarrow{kb}=k(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b})\)  ただし,\(k\)は実数

 

 

内分点・外分点の位置ベクトル:

2点\(A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})\)に対して,線分ABを\(m,n\)に内分する点,\(m:n\)に内分する点の位置ベクトルは,

内分 \(\cdots \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\)

外分 \(\cdots \frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\)

中点 \(\cdots \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\)

 

 

3点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\)),C(\(\overrightarrow{c}\))を頂点とする\(\triangle\)ABCの重心Gの位置ベクトル\(\overrightarrow{g}\):
\(\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\)

 

 

三角形の中線:

三角形の重心は,3点の中線が交わる線で,各中線を2:1に内分する

 

1直線上にある点:

点Cが直線AB上にある \(\Longleftrightarrow\) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\) となる実数\(k\)がある

 

点A(\(x_1,y_1\))を通り,\(\overrightarrow{d}=(l,m)\)に平行な直線の方程式:

\(m(x-x_1)-l(y-y_1)=0\)

異なる2点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\))を通る直線ABのベクトル方程式:

\(\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}, s+t=1\)

 

法線ベクトル:

点A(\(x_1,y_1\))を通り,\(\overrightarrow{n}=(a,b)\)に垂直な直線の方程式は

\(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\)

ベクトル \(\overrightarrow{a,b}\) は,直線 \(ax+by+c=0\) に垂直である

 

第2章 空間ベクトル

 

語句まとめ:\(xy\)平面,\(yz\)平面,\(zx\)平面

 

原点Oと点P(\(a,b,c\))の距離は:

\(OP=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

 

ベクトルの大きさ:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\)の大きさは \(|\overrightarrow{a}|=

\sqrt{a_{1}^{2}a_{2}^{2}a_{3}^{2}}\)

 

和,実数倍の成分表示:

\( k(a_1,a_2,a_3)+g(b_1,b_2,b_3)= (ka_1+gb_1,ka_2+gb_2,ka_3+gb_3)\)

ただし,\(k,g\)は実数

 

2点A,Bとベクトル\(\overrightarrow{AB}\):

2点A(\(a_1,a_2,a_3\)),B(\(b_1,b_2,b_3\))について

\(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)\)

\(|\overrightarrow{AB}|\sqrt{(b_1-a_1)^2(b_2-a_2)^2(b_3-a_3)^2}\)

 

 

ベクトルの内積:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\),\(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\)のなす角\(\theta\)とするとき

\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)

\(cos\theta =\frac{\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)

 

 

ベクトルの垂直条件:

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\),\(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\)のとき

\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b} \Longleftrightarrow \overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=0\)

 

 

位置ベクトル:

2点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\))

に対して \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)

2点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\))に対して,線分ABを\(m:n\)に内分する点,\(m:n\)に外分する点の位置ベクトル

内分 \(\cdots\)  \(\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\)

外分 \(\cdots\)  \(\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\)

中点 \(\cdots\)  \(\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\)

 

3点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\)),C(\(\overrightarrow{c}\))を頂点とする\(\triangle\)ABCの重心Gの位置ベクトル\(\overrightarrow{g}\):

\(\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\)

 

1直線上にある点->

同じ平面上にある点->

内積の利用->

 

同じ平面上にある点:

一直線上にない3点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\)),C\(\overrightarrow{c}\)と点P(\(\overrightarrow{p}\))について

点Pが3点A,B,Cの定める平面ABC上にある

\(\Longleftrightarrow\) \(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}\),  \(s+t+u=1\)となる実数\(s,t,c\)がある

 

 

2点間の距離と内分点・外分点の座標:

2点A\((a_1,a_2,a_3)\),B\((b_1,b_2,b_3)\)について

A,B間の距離:

\(AB=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\)

線分ABを\(m:n\)に内分する点の座標:

\((\frac{n\overrightarrow{a_1}+m\overrightarrow{b_1}}{m+n},\frac{n\overrightarrow{a_2}+m\overrightarrow{b_2}}{m+n},\frac{n\overrightarrow{a_3}+m\overrightarrow{b_3}}{m+n})\)

線分ABを\(m:n\)に外分する点の座標:

\((\frac{-n\overrightarrow{a_1}+m\overrightarrow{b_1}}{m-n},\frac{-n\overrightarrow{a_2}+m\overrightarrow{b_2}}{m-n},\frac{-n\overrightarrow{a_3}+m\overrightarrow{b_3}}{m-n})\)

 

座標平面に平行な平面の方程式:

点A(\(a\),0,0)を通り,\(yz\)平面に平行な平面の方程式は \(x=a\)

点B(0,\(b\),0)を通り,\(zx\)平面に平行な平面の方程式は \(y=b\)

点C(0,0,\(c\))を通り,\(zy\)平面に平行な平面の方程式は \(z=c\)

 

球面の方程式:

点(\(a,b,c\))を中心とする半径\(r\)の球面の方程式は\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)

とくに,原点を中心とする半径\(r\)の球面の方程式は\(x^2+y^2+z^2=r^2\)

 

平面の方程式:

点A(\(x_1,y_1,z_1\))を通り,ベクトル\(\overrightarrow{n}=(a,b,c)\)に垂直な平面\(\alpha\)上の点をP(\(x,y,z\))とすると,平面\(\alpha\)の方程式

\(a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\)

 

第3章 数列

語句まとめ:初項,一般項,公差,項数,末項

 

等差数列の一般項:

初項\(a\),公差\(d\)の等差数列\({a_n}\)の一般項は

\(a_n=a+(n-1)d\)

 

等差数列の性質:

\(a_{n+1}=a_n+d\) すなわち \(a_{n+1}-a_n=d\)

 

等差数列の和:

等差数列の初項から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とする

初項\(a\),第\(n\)項\(l\)のとき  \(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\)

初項\(a\),公差\(d\)のとき  \(S_n=\frac{1}{2}n{2a+(n-1)d}\)

 

等差数列の和の最大->

 

語句まとめ:等比数列,公比

等比数列の一般項:

初項\(a\),公比\(r\)の等比数列{\(a_n\)}の一般項

\(a_n=ar^{n-1}\)

 

等比数列の和:

初項\(a\),公比\(r\)の等比数列の初項から第\(n\)項までの和\(S_n\)は

\(r\neq 1\)のとき \(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r} または S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\)

\(r=1\)のとき \(S_n=na\)

 

複利計算->

 

いろいろな数列->

 

和の記号:

初項から第\(n\)項¥までの和を,第\(k\)項\(a_k\)と和の記号\(\sum\)を用いて

\(\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1a_2a_3+\cdots+a_n\)

 

自然数に関する和の公式:

\(\sum_{k=1}^{n}1=n\),\(\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\),

\(\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\),\(\sum_{k=1}^{n}k^3={ \frac{1}{2}n(n+1) }^2\)

 

和の記号の性質:

\(\sum_{k=1}^{n}(pa_k+qb_k)= p\sum_{k=1}^{n}a_k+q\sum_{k=1}^{n}b_k\)

ただし,\(p,q\)は\(k\)に無関係な定数

 

階差数列と一般項:

数列{\(a_n\)}の階差数列を{\(b_n\)}とすると

\(n\geq 2\)のとき \(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\)

 

数列の和と一般項:

数列{\(a_n\)}と初項\(a_1\)から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると

\(a_1=S_1\)

\(n\geq 2\)のとき \(a_n=S_n-S_{n-1}\)

 

いろいろな数列の和->

 

部分分数分解->

 

数学的帰納法->

 

 

等差数列と等比数列の漸化式:

等差数列{\(a_n\)}の漸化式は \(a_{n+1}=a_n+d\)

等比数列{\(a_n\)}の漸化式は \(a_{n+1}=ra_n\)

 

階差数列と一般項:

数列{\(a_n\)}の階差数列を{\(b_n\)}とすると

\(n\geq 2\)のとき \(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\)

 

\(a_{n+1}=pa_n+q\)を満たす数列の階差数列->

 

隣接3項間の漸化式->

 

数学的帰納法の原理:

\(n=1\)のとき(A)が成り立つ

\(n=k\)のとき(A)が成り立つと仮定すると,\(n=k+1\)のときも(A)が成り立つ

 

 

等式の証明->

 

不等式の証明->

 

整数の性質の証明->

 

第4章 確率分布と統計的な推測

語句まとめ:期待値,平均

 

確率の総和:

確率変数\(X\)のとりうる値\(x_k\)が起こる確率を\(p_k\)とすると\(p_1\)から\(p_n)までの総和は

$$\sum_{k=1}^{n} p_k=p_1+p_2+\cdots+p_n=1$$

 

 

確率変数の期待値(平均):

確率変数\(X\)の期待値\(E(X)\)は

\(E(X)=\sum_{k=1}^{n} x_kp_k=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\)

 

 

確率変数\(X^2\)の期待値\(E(X^2)\):

\(E(X^2)=\sum_{k=1}^{n}x_k^2p_k \)

 

確率変数の分散\(V(X)\):

確率変数\(X\)の期待値を\(m\)とするとき,分散\(V\)は,確率変数\((X-m)^2\)の期待値で定義され,

$$V(X)=E((X-m)^2)=\sum_{k=1}^{n}(x_k-m)^2p_k=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+\cdots+(x_n-m)^2p_n$$

 

\(aX+b\)の期待値\(E(aX+b)\):

\(X\)を確率変数,\(a,b\)を定数とすると,

$$E(aX+b)=aE(X)+b$$

 

分散と期待値の関係:

確率変数\(X\)について  \(V(X)=E(X^2)-{ E(X) }^2\)

 

標準偏差:

\(\sigma=\sqrt{V(X)}\)

 

\(aX+b\)の分散:

\(X\)を確率変数,\(a\),\(b\)を定数とするとき

\(V(aX+b)=a^2V(X)\), \(\sigma(aX+b)=| a |\sigma(X)\)

 

2つの確率変数の和の期待値:

\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)

 

\(aX+bY\)の期待値:

\(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)

 

独立な2つの確率変数の積の期待値:

2つの確率変数\(X,Y\)が互いに独立であるとき

\(E(XY)=E(X)E(Y)\)

 

独立な2つの確率変数の和の分散:

2つの確率変数\(X,Y\)が互いに独立であるとき

\(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)

 

3つ以上の確率変数の独立:

\(E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z)\)

\(V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z)\)

 

語句まとめ:二項分布,正規分布,連続型確率変数

 

 

1回の試行で事象\(A\)が起こる確率を\(p\)とする。この試行を\(n\)回行う反復試行において,\(A\)がちょうど\(r\)回起こる確率は

$${}_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}$$

 

 

二項分布に従う確率変数の期待値と分散:

確率変数\(X\)が二項分布\(B(n,p)\)に従うとき

\(E(X)=np\), \(V(X)=np(1-p)\), \(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\)

 

確率密度関数\(f(x)\)の性質:

常に\(f(x)\geq 0\)で  \(P(a \leq X \leq)=\int_a^b f(x)dx\)

\(X\)のとる範囲が\(\alpha \leq X \leq \beta\)のとき\(\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=1\)

 

正規分布の確率密度関数\(f(x)\):

確率変数\(X\)が正規分布\(N(m,\sigma^2)\)に従うとき

\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\)

 

正規分布の期待値,標準偏差:

確率変数\(X\)が正規分布\(N(m,\sigma^2)\)に従うとき

\(E(X)=m,\sigma(X)=\sigma\)

 

標準正規分布の確率密度関数\(f(z)\):

確率変数\(X\)が正規分布\(N(0,1)\)に従うとき,

\(f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\)

 

正規分布と標準正規分布:

確率変数\(X\)が正規分布\(N(m,\sigma^2)\)に従うとき

$$Z=\frac{X-m}{\sigma}$$

 

二項分布の正規分布による近似:

二項分布\(B(n,p)\)に従う確率変数\(X\)は,\(n\)が大きいとき,近似的に正規分布\(N(np,np(1-p))\)に従う

 

 

連続型確率変数\(f(x)\)の期待値と分散

連続型確率変数\(f(x)\)の期待値\(m=E(X)\)と標準偏差\(\sigma\)

連続型変数\(X\)がとり得る値の範囲が\(\alpha\leq X \leq \beta\)のとき,

$$m=E(X)=\int_{\alpha}^{\beta}xf(x) dx$$

$$V(X)=\int_{\alpha}^{\beta}(x-m)^2 f(x)dx$$

 

 

語句まとめ:母集団,標本,無作為抽出,無作為標本,復元抽出,非復元抽出,母平均,母分散,母比率,標本平均,標本分散,標本比率,

 

 

標本平均の期待値と標準偏差:

母平均\(m\),母分散\(\sigma^2\)の母集団から大きさ\(n\)の無作為標本を抽出するとき,その標本平均\(\overline{X}\)の期待値\(E(\overline{X})\)と分散\(S(\overline{X})\)は

\(E(\overline{X})=m,  S(\overline{X}=\frac{\sigma^2}{n})\)

 

標本平均の分布:

母平均\(m\),母分散\(\sigma^2\)の母集団から抽出された大きさ\(n\)の無作為標本について,標本平均\(\overline{X}\)は,\(n\)が大きいとき,近似的に正規分布

\(N(m,\frac{\sigma^2}{n})\)に従うと見なすことがある

 

標本比率の分布:

特性Aの母比率\(p\)の母集団から抽出された大きさ\(n\)の無作為標本について,標本比率\(R\)は,\(n\)が大きいとき,近似的に正規分布\(N(p,\frac{p(1-p)}{n})\)に従うと見なすことがある

 

大数の法則:

母平均\(m\)の集団から大きさ\(n\)の無作為標本を抽出するとき,\(n\)が大きくなるに従って,その標本平均\(\overline{X}\)はほとんど確実に母平均\(m\)に近づく

 

母平均の推定:

母分散を\(\sigma^2\)とする。標本の大きさ\(n\)が大きいとき,母平均\(m\)に対する信頼度95%の信頼区間は

$$[ \overline{X}-1.96・\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+1.96・\frac{sigma}{\sqrt{n}}]$$

 

母比率の推定:

標本の大きさ\(n\)が大きいとき,標本比率を\(p\)とすると,母比率\(\hat{p}\)に対する信頼度95%の信頼区間は

$$[ p-1.96・\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},p+1.96・\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} ]$$

 

数学Ⅲ

第1章         複素数平面

 

語句まとめ:複素数平面,共役複素数

 

複素数の絶対値:

複素数\(a+bi\)の絶対値は \(| a+bi |=\sqrt{a^2+b^2}\)

 

共役複素数の性質:

\(\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\),\(\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}\)

 

 

複素数\(z\)とその共役複素数について:

\(z+\overline{z}\)は実数 \(z\overline{z}=| z |^2\)

 

語句まとめ:極形式,偏角,

 

 

複素数の積の絶対値と偏角:

\(| \alpha\beta |=|\alpha||\beta|\) \(\arg \alpha\beta=\arg \alpha+\arg \beta\)

 

 

原点を中心とする回転->

 

ド・モアブルの定理:

\((cos\theta+sin\theta)^n=cos n\theta+i sin n\theta\)

 

複素数の\(n\)乗根->

 

 

1の\(n\)乗根:

1の\(n\)乗根は,次の式から得られる\(n\)個の複素数

\(z_k=cos\frac{2k\pi}{n}+i sin\frac{2k\pi}{n}   k=0,1,2\cdots,n-1\)

 

方程式の表す図形:

円:

点A(¥(\alpha\))を中心とする半径\(r\)の円上の点をP(\(z\))とすると,

\(| z-\alpha |=r\)

 

垂直二等分線:

2点A(\(\alpha\)),B(\(\beta\))を結ぶ線分ABの垂直二等分線上の点をP(\(z\))とすると,

\(|z-\alpha|=|z-\beta|\)

 

図形への応用->

 

2次曲線->

 

第2章         式と曲線

 

語句まとめ:放物線,焦点,準線

 

\(x\)軸が軸となる放物線

標準形:\(y^2=4px (p\neq 0)\)

焦点は点\((p,0)\),準線は直線\(x=-p\)

頂点は原点O

曲線は\(x\)軸に関して対称

 

 

\(y\)軸が軸となる放物線

標準形:\(x^2=4py (p\neq 0)\)

焦点は点\((0,p)\),準線は直線\(y=-p\)

頂点は原点O

曲線は\(y\)軸に関して対称

 

語句まとめ:長軸,短軸,頂点

 

焦点が\(x\)軸上にある楕円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\)

焦点は 2点(\(\sqrt{a^2-b^2},0\)),(\(-\sqrt{a^2-b^2},0\))

楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は \(2a\)

長軸の長さは \(2a\),短軸の長さは \(2b\)

曲線は\(x\)軸,\(y\)軸,原点Oに関して対称

 

 

焦点が\(y\)軸上にある楕円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (b>a>0)\)

焦点は 2点(\(0,\sqrt{b^2-a^2}\)),(\(0,-\sqrt{b^2-a^2}\))

楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は \(2a\)

長軸の長さは \(2a\),短軸の長さは \(2b\)

曲線は\(x\)軸,\(y\)軸,原点Oに関して対称

 

円の縮小と拡大->

 

点の軌跡が楕円になる場合->

 

双曲線->

焦点が\(x\)軸上にある双曲円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\) (\(a>0,b>0)\))

頂点は 2点(\(a,0)\)),(\(-a,0\)

焦点は 2点(\(\sqrt{a^2+b^2},0\)),(\(-\sqrt{a^2+b^2},0\))

双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差は \(2a\)

漸近線は 2直線\(y=\frac{b}{a}x,y=-\frac{b}{a}x\)

曲線は\(x\)軸,\(y\)軸,原点Oに関して対称

 

 

焦点が\(y\)軸上にある双曲円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\) (\(a>0,b>0)\))

頂点は 2点(\(0,b\),(\(0,-b\)

焦点は 2点(\(0,\sqrt{a^2+b^2}\)),(\(0,-\sqrt{a^2+b^2}\))

双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差は \(2b\)

漸近線は 2直線\(y=\frac{b}{a}x,y=-\frac{b}{a}x\)

曲線は\(x\)軸,\(y\)軸,原点Oに関して対称

 

 

2次曲線の平行移動:

曲線\(F(x,y)=0\)を,\(x\)軸方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動すると,移動後の曲線の方程式は

\(F(x-p,y-q)=0\)

 

 

\(ax^2+by^2+cx+dy+e=0\)の表す図形->

 

2次曲線と直線->

 

2次曲線の接線の方程式:

1  放物線\(y^2=4px\)上の点P(\(x_1,y_1\))における接線の方程式は

\(y_1y=2p(x+x_1)\)

2  楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上の点P(\(x_1,y_1\))における接線の方程式は

\(\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1\)

3  双曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1\)上の点P(\(x_1,y_1\))における接線の方程式は

\(\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1\)

 

 

媒介変数表示と極座標:

 

 

語句まとめ:媒介変数表示,媒介変数(パラメータ)

 

 

円\(x^2+y^2=a^2\)の媒介変数表示:

\(x=a cos\theta,y=a sin\theta\)

 

 

楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)の媒介変数表示:

\(x=a cos\theta,y=b sin\theta\)

 

サイクロイドの媒介変数表示:

\(x=a(\theta- sin\theta),y=a(1-cos\theta)\)

 

 

媒介変数表示される曲線の平行移動:

\(x=f(t)\),\(g=f(t)\)で表される曲線を,\(x\)軸方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動すると,

\(x=f(t)+p\),\(y=g(t)+q\)

 

語句まとめ:直交座標,極座標,極,偏角,極方程式

 

 

直交座標と極座標の対応関係:

点Pの直交座標(\(x,y\)),極座標(\(r,\theta\))とすると,

\(x=rcos\theta,y=rsin\theta\)

\(r=\sqrt{x^2+y^2} r\neq 0のとき\)

\(cos\theta=\frac{x}{r},sin\theta=\frac{y}{r}\)

 

 

直交座標の\(x,y\)の方程式と極方程式->

 

2次曲線の極方程式->

 

第3章         関数

 

分数関数\(\frac{k}{x-p}+q\):

グラフは,\(y=\frac{k}{x}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動した曲線で,漸近線は2直線\(x=p,y=q\)

定義域は\(x\neq p\),値域は\(y \neq q\)

 

無理関数\(y=\sqrt{a(x-p)}\):

グラフは,\(y=ax\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)岳へ行こう移動した曲線

定義域は\(x-p\geq 0\)を満たす実数\(x\)の値全体,値域は\(y\geqq 0)

 

語句まとめ:逆関数

 

\(f(x)\)の逆関数\(g(x)\)の求め方:

1  \(y=f(x)\)を\(x\)について解き,\(x=g(y)\)の形にする。

2  \(x\)と\(y\)を入れ替えて,\(y=g(x)\)とする

3  逆関数\(g(x)\)の定義域は,元の関数\(f(x)\)の値域と同じ

 

逆関数の性質:

関数\(f(x)\)が逆関数\(f^{-1}(x)\)をもつとき

\(b=f(a)  \Longleftrightarrow  a=f^{-1}(b)\)

関数\(y=f(x)\)のグラフとその逆関数\(y=f^{-1}(x)\)のグラフは,直線\(y=x\)に関して対称

 

第4章 極限

 

数列の収束・発散:

収束 値\(\alpha\)に収束 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=\alpha \cdots\)極限は \(\alpha\)

発散 正の無限大に発散 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty \cdots\)極限は \(\infty\)

負の無限大に発散 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty \cdots\)極限は \(\infty\)

振動 \(\cdots\) 極限は ない

 

 

数列の極限の性質(1):

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha\), \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\beta\)とする

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}ka_n+gb_n=k\alpha+gb\)

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=\alpha\beta\)

 

全ての\(n\)について\(a_n\leq b_n\) ならば \(\alpha \leq \beta\)

全ての\(n\)について \(a_n\leq c_n\leq b_n\) かつ \(\alpha =\beta\) ならば

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n=\alpha\)

 

 

数列\(r^n\)の極限:

\(r>1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\infty\) 発散

\(r=1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=1\) 収束

\(| r |<1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=0\) 収束

\(r\leq -1\)のとき 振動する \(\cdots\) 極限はない

 

数列{\(r^n\)}が収束するための必要十分条件:

\(-1< r\leq 1\)

 

 

無限級数の和\(S\)の定義:

無限級数\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\cdots\)の部分和\(S_n\)から作られる無限数列{\(S_n\)}が\(S\)に収束するとき,この無限級数の和は\(S\)

 

無限級数の性質:

\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n=S\),\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n=T\)のとき

\(\sum_{n=1}^{\infty}ka_n+gb_n=kS+gT\)

 

 

関数の極限:

\(\lim_{x \to a}f(x)=\alpha\),\(\lim_{x \to a}g(x)=\beta\)とする

\(\lim_{x \to a}kf(x)+lg(x)=k\alpha+g\beta\)

\(\lim_{x \to a}f(x)g(x)=\alpha\beta\)

 

片側からの極限:

\(\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)= \displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=\alpha \Longleftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=\alpha \)

 

\(x \rightarrow \infty,x\rightarrow -\infty\)のときの極限->

指数関数,対数関数の極限->

 

 

関数の極限の性質(2):

\(\lim_{x \to a}f(x)=\alpha\),\(\lim_{x \to a}g(x)=\beta\)とする

\(x=a\)の近くで常に \(f(x)\leq g(x)\) ならば \(\alpha \leq \beta\)

\(x=a\)の近くで常に \(f(x)\leq h(x)\leq g(x)\) ならば \(\alpha \leq \beta\)

\(\displaystyle \lim_{x \to a}h(x)=\alpha\)

 

\(\frac{sin x}{x}\)の極限

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1\)

 

 

関数の連続性:

極限値\(\lim_{x \to a}f(x)\)が存在し,かつ\(\lim_{x \to a}f(x)=f(a)\)が成り立つとき,\(f(x)\)は\(x=a\)で連続であるという

 

 

関数\(f(x),g(x)\)がともに\(x=a\)で連続ならば,次の関数はいずれも\(x=a\)で連続である

\(kf(x)+lg(x)\),\(\frac{f(x)}{g(x)}\)

\(g(x) \neq 0\)

 

語句まとめ:区間,開区間,閉区間,ガウス記号

 

中間値の定理:

\(f(x)\)が閉区間[\(a,b\)]で連続で,\(f(a)\neq f(b)\)ならば,\(f(a)\)と\(f(b)\)の間の任意の値\(k\)に対して

\(f(x)=k\),\(a<c<b\)

を満たす実数\(c\)が少なくとも1つある

 

 

\(f(x)\)が閉区間[\(a,b\)]で連続で,\(f(a)\)と\(f(b)\)の符号が異なれば,方程式\(f(x)=0\)は\(a<x<b\)の範囲に少なくとも1つの実数解を持つ。

 

 

微分係数:

\(f(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

 

微分可能と連続:

\(f(x)\)が\(x=a\)で微分可能ならば,\(x=a\)で連続

※逆は不成立

 

\(f(x)\)の導関数:

\(\frac{d(f(x))}{dx}=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

 

導関数の公式:

\(f(x),g(x)\)がともに微分可能であるとき

\({ kf(x)+lg(x) }’=kf’(x)+lg’(x)\)

\({f(x)g(x)}’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)\)

 

\(x^n\)の導関数:

\(n\)が自然数のとき \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)

 

 

商の導関数:

\(f(x),g(x)\)がともに微分可能であるとき

\(\frac{d}{dx}\frac{1}{g(x)}=-\frac{\frac{d}{dx}g(x)}{{ g(x) }^2}\)

\({\frac{f(x)}{g(x)}}’=\frac{f’(x)g(x)-f(x)g’(x) }{ { g(x) }^2 }\)

 

 

合成関数の微分法:

\(y=f(u)\)が\(u\)の関数として微分可能,\(u=g(x)\)が\(x\)の関数として微分可能であるとする。このとき,合成関数\(y=f(g(x))\)は\(x\)の関数として微分可能で

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}・\frac{du}{dx}\)

 

逆関数の微分法:

\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\)

 

 

三角関数の導関数:

\(\frac{d}{dx}( sin x )=cos x\),\(\frac{d}{dx}( cos x )=-sin x\),

\(\frac{d}{dx}( tan x )=\frac{1}{cos^2 x}\)

 

対数関数の導関数:

\(\frac{d}{dx}(log_a x)=\frac{1}{xlog a}\)   \(\frac{d}{dx}(log x)=\frac{1}{x}\)

 

絶対値を含む対数関数の導関数:

\(\frac{d}{dx}(log_a|x|)=\frac{1}{xlog a}\)  \(\frac{d}{dx}(log |x|)=\frac{1}{x}\)

 

指数関数の導関数:

\(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)  \(\frac{d}{dx}(a^x)=a^xlog a\)

 

 

第\(n\)次導関数->

 

媒介変数表示と導関数:

\(x=f(t),y=g(t)\)のとき

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

 

 

導関数の応用:

接線の方程式:

\(y=f(x)\)上の点\(a,f(a)\)における接線の方程式は

\(y-f(a)=f’(a)(x-a)\)

 

法線の方程式:

\(y=f(x)\)上の点\(a,f(a)\)における接線の方程式は

\(f’(a)\neq 0\)のとき \(y-f(a)=-\frac{1}{f’(a)}(x-a)\)

 

平均値の定理:

\(f(x)\)が区間[\(a,b\)]で連続で,区間(\(a,b)\)で微分可能ならば,\(\frac{f(b)-f(c)}{b-a}=f’(c)\),\(a<c<b\)を満たす実数\(c\)が存在

 

語句まとめ:極大,極小,極大値,極小値,変曲点

 

極値をとるための必要条件:

\(f(x)\)が\(x=a\)で微分可能であるとき

\(f(x)\)が\(x=a\)で極値をとるならば \(f’(a)=0\)

 

\(f’(x)\)の符号と曲線\(y=f(x)\)の凹凸:

\(f(x)\)が第2次導関数\(f’’(x)\)をもつとき

\(f’’(x)>0\)である区間では,曲線\(y=f(x)\)は下に凸

\(f’’(x)<0\)である区間では,曲線\(y=f(x)\)は上に凸

 

第2次導関数と極値:

\(f’(a)=0\)かつ\(f’’(x)>0\)ならば,\(f(a)\)は極小値

\(f’(a)=0\)かつ\(f’’(x)<0\)ならば,\(f(a)\)は極大値

 

 

不等式の証明->

 

方程式の実数解の個数->

 

速度と加速度の定義:

数直線上を運動する点Pの時刻\(t\)における座標\(x\)が\(x=f(t)\)で表されるとき,時刻tにおけるPの速度\(v\),加速度\(\alpha\)は

\(v=\frac{dx}{dt}\), \(\alpha=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2}{dx^2}x\)

 

速度と加速度の公式:

座標平面上を運動する点P(\(x,y\))の時刻\(t\)における\(x\)座標,\(y\)座標が\(t\)の関数であるとき,時刻\(t\)におけるPの速度\(\vec{v}\),速さ\(| \vec{v} |\),加速度\(\vec{\alpha}\),加速度の大きさ\(| \vec{\alpha} |\)は

\(\vec{v}=( \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt} )\),\(| \vec{v} |=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\) \(\vec{\alpha}=( \frac{d^2}{dt^2}x,\frac{d^2}{d^t}y )\),\(| \vec{\alpha} |=\sqrt{(\frac{d^2}{dt^2}x)^2+(\frac{d^2}{dt^2}y)^2}\)

 

 

1次近似式(\(x=a\)周りのテイラー展開):

\(h \approx 0\)のとき \(f(a+h)\approx f(a)+f’(a)h\)

 

1次近似式(\(x=0\)周りのテイラー展開,マクローリン展開):

\(x \approx 0\)のとき \(f(x) \approx f(0)+f’(0)x\)

 

 

不定積分:

\(f(x)\)の不定積分

\(F’(x)=f(x)\)のとき

\(\int f(x)dx =F(x)+C\) ただし,\(C\)は積分定数

 

 

\(x^a\)の不定積分:

\(\int x^a dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\) ただし,\(\alpha \neq -1\)

\(\int \frac{1}{x}=log | x |+C\)

 

定数倍,和の不定積分:

\(\int kf(x)+lg(x)=k\int f(x)+l\int g(x) \)

 

三角関数,指数関数の不定積分:

\(\int sin xdx=-cos x+C\),  \(\int cos xdx=sin x+C\),  \(\int \frac{1}{cos^2 x} dx=tanx+C\),  \(\int \frac{1}{sin^2 x} dx=-\frac{1}{tanx}+C\),  \(\int e^x dx=e^x+C\),  \(\int a^x dx=\frac{a^x}{log a}+C\)

 

置換積分法:

\(\int f(x)dx=\int f(g(t))\frac{d}{dt}g(t) dt\)  ただし,\(x=g(t)\)

\(\int f(g(x))\frac{d}{dx}g(x)dx=\int f(u)du\)  ただし,\(g(u)=u\)

\(\int \frac{\frac{d}{dx}g(x)}{g(x)}dx=log| g(x) |+C\)

 

部分積分法:

\(\int f(x)\frac{d}{dx}g(x)dx=f(x)g(x)-\int \frac{d}{dx}f(x)g(x)dx\)

 

分数関数の不定積分->

 

三角関数に関する不定積分->

 

 

定積分:

ある区間で連続な関数\(f(x)\)の原始関数の1つを\(F(x)\)とし,\(a,b\)をその区間に含まれる任意の値とするとき

\(\int_{a}^{b}f(x)dx =[ F(x) ]_a^b=F(b)-F(a)\)

 

定積分の性質:

\(\int_a^b kf(x)+lg(x)=k\int_a^b f(x)dx +l\int_a^b g(x)dx\)

\(\int_a^af(x)dx=0\)

\(\int_b^a f(x)dx=-\int_a^bf(x)dx\)

\(\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx\)

 

定積分の置換積分法:

\(x=g(t)\)とおくとき,\(a=g(\alpha),b=g(\beta)\)ならば

\(\int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\frac{d}{dt}g(t) dt\)

 

 

偶関数,奇関数と定積分:

偶関数\(f(x)\)について \(\int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx\)

偶関数\(f(x)\)について \(\int_{-a}^a f(x)dx=0\)

 

 

定積分の部分積分法:

\(\int_a^b f(x)\frac{d}{dx}g(x)dx=[ f(x)g(x) ]_a^b-\int_a^b \frac{d}{dx}f(x)g(x)dx\)

 

定積分と導関数:

\(a\)が定数のとき  \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt=f(x)\)

 

区分求積法と定積分

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)dx\)

ただし,\(\Delta x=\frac{b-a}{n},x_k=a+k\Delta x\)

 

定積分と不等式:

区間[\(a,b\)]で連続な関数\(f(x),g(x)\)について

\(f(x)\geq g(x)\) ならば \(\int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx\)

等号は,常に\(f(x)=g(x)\)のときに成り立つ

 

積分法の応用:

区間[\(a,b\)]で常に\(f(x)\geq 0\)とき,曲線\(y=f(x)\)と\(x\)軸および2直線\(x=a\),\(x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は

\(S=\int_a^b f(x) dx\)

逆に,区間[\(a,b\)]で常に\(f(x)\geq 0\)とき,

\(S=\int_a^b { -f(x) } dx\)

 

 

2曲線間の面積:

1  区間[\(a,b\)]で常に\(f(x)\geq g(x)\)とき,2つの曲線\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)および2直線\(x=a\),\(x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は

\(S=\int_a^b { f(x)-g(x) } dx\)

 

2  区間[\(c\leq y \leq d\)]で常に\(g(y)\geq 0\)とき,2つの曲線\(x=g(y)\)と\(y\)軸および2直線\(y=c\),\(y=d\)で囲まれた部分の面積\(S\)は

\(S=\int_c^d g(y) dy\)

 

いろいろな式で表される曲線と面積->

 

断面積\(S(x)\)と立体の体積\(V\):

\(V=\int_a^bS(x)dx\) ただし,\(a<b\)

 

 

\(x\)軸の周りの回転体の体積:

\(V=\pi\int_a^b{ f(x) }^2 dx=\pi \int_a^b y^2 dx\) ただし,\(a<b\)

 

\(y\)軸の周りの回転体の体積:

\(V=\pi\int_a^b{ f(x) }^2 dx=\pi \int_a^b y^2 dx\) ただし,\(a<b\)

 

座標平面上を運動する点と道のり:

座標平面上を運動する点P(\(x,y\))の時刻\(t\)における\(x\)座標,\(y\)座標が\(t\)の関数で表せるとき,時刻\(t_1\)から\(t_2\)までにPが通過する道のり\(s\)は

\(s=\int_{t_1}^{t_2}| \vec{v} |dt=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt\)

 

媒介変数表示された曲線の長さ:

曲線\(x=f(t)\),\(y=g(t)\) \(a\leq t \leq b\)の長さ\(L\)は

\(L=\int_a^b\sqrt{ ( \frac{dx}{dt} )^2+ ( \frac{dy}{dt} )^2} dt\)

 

曲線\(y=f(x)\)の長さ:

曲線\(y=f(x) (a\leq x \leq b)\)の長さ\(L\)は

\(L=\int_a^b \sqrt{1+ ( \frac{dy}{dx} )^2} dx\)

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最後に

こんな公式あるんですね(-_-;)

受験や試験など頑張ってください!!

ABOUT ME
ユキ
ユキ
数学担当です。お金大好き大学生やってます。 講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。(呼ばれてない) L・O・V・E ラブリー マネー!