どうも,ユキです。
今回は高校数学公式･定理まとめをすべてまとめました。
また,それぞれに記事を分けたものも作ったので,見づらかったらそちらから見てください。
ぜひ確認にでも使ってください！
数学Ⅰ
第1章 数と式
語句まとめ：単項式，多項式，次数，係数，同類項，降べきの順
指数法則：
\(a^m\times a^n=a^{m+n}\)，\((a^m)^n=a^{mn}\)，\((ab)^n=a^nb^n\)
展開の公式：
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
\((a+b)^3=a^3+3a^b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
\((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)
因数分解の公式：
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
\(a^3+3a^b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\)
\(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\)
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\)
展開の工夫：
Aとおいて\((A+x)(A-x)\)，掛ける順序を変える
因数分解の工夫：
Aとおいて\(A^2+(a+b)A+ab\)，次数の低い方の文字について式を整理，次数が同じのときは\(x\)について降べきの順に整理，共通因数があればくくり出す。
語句まとめ：整数，自然数，有理数，無限小数，有限小数，循環小数，無理数
循環小数：
\(0.aaa\dots=0.\dot{a}\)
\(0.abcabcabc\dots=0.\dot{a}b\dot{c}\)
\(1.abcabcabc=1.\dot{a}b\dot{c}\)
整数の四則演算の性質：
２つの有理数の和，差，積，商は常に有理数
２つの実数の和，差，積，商は常に実数
絶対値の性質：
\(a\leq 0\)のとき\(|a|=a\)，\(a<0\)のとき\(|a|=-a\)，\(\sqrt{a^2}=|a|\)
根号を含む式の計算：
\(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)， \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)， \(\sqrt{k^2a}=|k|\sqrt{a}\)
有理化：
\(\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{b\sqrt{a}}{a}\)
分母の有理化：
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b\)
2重根号
\(\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)，\(\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|\)
不等式の性質：
\(A<B\)，\(C<0\)ならば，\(AC>BC\)，\(\frac{A}{C}>\frac{B}{C}\)
両辺に負の数を掛けると，両辺の大小関係は入れかわる
語句まとめ：1次不等式，連立不等式
絶対値を含む方程式・不等式：
\(|x|=c\)の解は \(x=\pm c\)
\(|x|<c\)の解は \(-c<x<c\)
\(|x|>c\)の解は \(x<-c\)，\(c<x\)
絶対値と場合分け：\(A\leq 0\)のとき\(|A|=A\)，\(A<0\)のとき\(|A|=-A\)
ド･モルガンの法則：
\(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\)，
\(\overline{A\cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
語句まとめ：必要条件，十分条件，必要十分条件，命題とその逆･裏･対偶
対偶を利用する証明：
命題\(p\Rightarrow q\)を証明するのに，その対偶\(\overline{q}\Rightarrow \overline{p}\)を証明してもよい。
背理法を利用する証明：
命題が成り立たないと仮定して矛盾を導くことにより，元の命題が真であると結論する。
第2章 2次関数
1次関数，2次関数の一般形：
1次関数：\(y=ax+b\)，
2次関数：\(y=ax^2+bx+c\)
\(y\)が\(x\)の関数であるとき，\(x\)の式を\(f(x)\)や\(g(x)\)のように書くことがある。
\(x=a\)のときの関数\(f(x)\)の値を\(f(a)\)で表す。
語句まとめ：定義域，値域，最大値，最小値、象限
2次関数のグラフ：
1-1 2次関数\(y=ax^2\)のグラフは放物線
1-2 その軸は\(y\)軸\((x=0)\)，頂点は原点\((0,0)\)
1-3 \(a>0\)のとき，下に凸，\(a<0\)のとき 上に凸
2 2次関数\(y=a(x-p)^2+q\)のグラフは，\(y=ax^2\)のグラフを\(x\)軸
方向に\(p\)，\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動した放物線。その軸は
\(x=p\)， 頂点は点\((p,q)\)
3 2次関数\(f(x)\)のグラフを，\(x\)軸方向に\(p\)，\(y\)軸方向に\(q\)
だけ移動すると，移動後の放物線の方程式は，\(y-q=f(x-p)\)
対称移動：
2次関数\(y=f(x)\)のグラフを，\(x\)軸，\(y\)軸，原点それぞれに関して対称移動すると，移動後の放物線の方程式は，
\(x\)軸：\(-y=f(x)\)，\(y\)軸：\(y=f(-x)\) 原点：\(-y=f(-x)\)
2次関数の定義域と最大･最小->
2次関数の決定->
連立3元1次方程式の解き方：
1．1文字を消去して，残り2文字の連立方程式を導く
2．2文字の連立方程式を解く
3．残りの1文字の値を求める
2次方程式の解の公式：
2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解は，
\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)について，\(D=b^2-4ac\)で定義された\(D\)を判別式という。
\(D=b^2-4ac\)の符号：
\(D>0\)，\(D=0\)，\(D<0\)
実数解 \(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，\(-\frac{b}{2a}\)，ない
実数解の個数 2個 1個 0個
2次関数のグラフと\(x\)軸の位置関係：
\(D=b^2-4ac\)の符号 \(D>0\)，\(D=0\)，\(D<0\)
\(x\)軸との位置関係：異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない
\(x\)軸との共有点の個数 2個 1個 0個
実数解 \(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，\(-\frac{b}{2a})，ない
放物線と直線の共有点の座標->
2次不等式の解：
\(D=b^2-4ac\)の符号 \(D>0\)，\(D=0\)，\(D<0\)
\(ax^2+bx+c=0\)の実数解 \(x=\alpha, \beta\) \(x=\alpha\) ない
\(ax^2+bx+c>0\)の解 \(x<\alpha，\beta<x\) \(\alpha\)以外の全ての実数
全ての実数
\(ax^2+bx+c\geq 0\)の解 \(x<\alpha，\beta<x\) 全ての実数
全ての実数
\(ax^2+bx+c < 0\)の解 \(\alpha<x<\beta\) ない ない \(ax^2+bx+c\leq0\)の解 \(\alpha\leq x\leq \beta\) \(x=\alpha\) ない
2次不等式の応用->
連立不等式->
絶対値を含む関数のグラフ->
第3章 図形と計量
三角比の定義（正弦，余弦，正接）：
\(sin\theta=\frac{y}{r}\)， \(cos\theta=\frac{x}{r}\)， \(tan\theta=\frac{y}{x}\)
三角比の応用：
\(y=rsin\theta\)， \(x=rcos\theta\)， \(y=xtan\theta\)
三角比の相互関係：
\(tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}\)， \(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)，
\(1+tan^2\theta=\frac{1}{cos^2\theta}\)
三角比の拡張->
座標を用いた三角比の定義->
\(90^\circ-\theta\)の三角比
\(sin(90^\circ-\theta)=cos\theta\)，\(cos(90^\circ-\theta)=sin\theta\)，
\(tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{tan\theta}\)
\(180^\circ-\theta\)の三角比
\(sin(180^\circ-\theta)=sin\theta\)，\(sin(180^{circ}-\theta)=-cos\theta\)，
\(tan(180^\circ-\theta)=-tan\theta\)
直線の傾きと正接(タンジェント)：
直線\(y=mx\)の傾き\(m\)と\(tan\theta\)について
\(m=tan\theta=\frac{y}{x}\)
正弦定理：
\(\triangle \)ABCの外接円の半径を\(R\)とすると，
$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$
余弦定理：
\(a^2=b^2+c^2-2b･c･coosA\)， \(b^2=c^2+a^2-2c･a･cosB\)，
\(c^2=a^2+b^2-2a･b･cosC\)
三角形の余弦を表す式：
\(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)， \(cosB=\frac{c^c2+a^2-b^2}{2ca}\)， \(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
三角形の面積：
1 \(\triangle\)ABCの面積\(S\)は，
\(S=\frac{1}{2}b･c･sinA\)，\(S=\frac{1}{2}c･a･sinB\)，\(S=\frac{1}{2}a･b･sinC\)
2 \(\triangle\)ABCの面積を\(S\)，\(\triangle\)ABCの内接円の半径を\(r\)とするとき，
\(S=\frac{1}{2}r(a+b+c)\)
ヘロンの公式：
\(\triangle\)ABCの面積\(S\)は
\(2s=a+b+c\)とすると \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
第4章 データの分析
平均値：
データの値が\(x_1，x_2，\cdots，x_n\)であるとき，このデータの平均値\(\overline{x}\)は\(\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)\)
語句まとめ：最頻値，モード，中央値，範囲，四分位数，四分位範囲，四分位偏差
四分位範囲：\(Q_3-Q_1\)，四分位偏差：\(\frac{Q_3-Q_1}{2}\)
分散と標準偏差：
データの値が\(x_1，x_2，\cdots，x_n\)で，その平均値が\(\overline{x}\)のとき，
分散：\(s^2=\frac{1}{n}(x_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})+\cdots+(x_n-\overline{x})\)
標準偏差：s=\(\sqrt{分散}\)
分散のもう1つの式：
\(x^2\)の平均値を\(\overline{x^2}\)とすると，
分散：\(s^2=\frac{1}{n}(\overline{x^2}-\overline{x}^2)\)
語句まとめ：相関，正の相関，負の相関
\(x\)と\(y\)の共分散：
\(Cov(x,y)=((x_1-\overline{x})(y_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})(y_2-\overline{y})+\cdots+(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})\)
相関係数の定義：
\(x\)と\(y\)の共分散\(Cov(x,y)\)，\(x\)の分散\(S_x\)，\(y\)の分散\(S_y\)のとき，
相関係数：\(r=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt{S_xS_y}}\)
数学A
第1章 場合の数と確率
\(n(A)\)：集合\(A\)の要素の個数：
空集合\(\emptyset\)は要素が1つもない集合であるから，
\(n(\emptyset)=0\)
\(U\)：全体の集合
\(\overline{A}\)：\(A\)の補集合
和集合，補集合の要素の個数：
\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)，\(n(\overline{A})=n(U)-n(A)\)
場合の数->
和の法則，積の法則->
\({}_n \mathrm{P}_r\)：異なる\(n\)個のものから\(r\)個を取り出して並べる順列の総数
順列の総数\({}_n\mathrm{P}_r\)：
$${}_n\mathrm{P}_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)$$
\(n\)の階乗
$${}_n\mathrm{P}_n=n!=n(n-1)(n-2)\cdots･3･2･1$$
順列の総数\({}_n\mathrm{P}_r\)：
$${}_n\mathrm{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$
円順列の総数：
異なるn個の円順列の総数は\((n-1)!\)通り
重複順列の総数：
\(n\)個から\(r\)個とる重複順列の総数は\(n^r\)通り
組み合わせの総数\({}_n\mathrm{C}_r\)：
$${}_n\mathrm{C}_r=\frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}=\frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)\cdots･3･2･1}$$
\({}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r}\)
同じものを含む順列の総数：
\(a\)が\(p\)個，\(b\)が\(q\)個，\(c\)が\(r\)個あるとき，それらを全部を1列に並べる順列の総数は
$${}_n\mathrm{C}_p\times {}_{n-p}\mathrm{C}_q=\frac{n!}{p!q!r!}$$
ただし，\(p+q+r=n\)
重複を許して作る組み合わせの総数：
異なる\(n\)個のものから重複を許して\(r\)個とって作る組み合わせの総数
\({}_{(n-1)+r}\mathrm{C}_r\)
語句まとめ：試行，事象，全事象
事象Aが起こる確率：
$$P(A)=\frac{事象Aの起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数}=\frac{n(A)}{n(U)}$$
確率の基本性質：
1 \(0\leq P(A)\leq 1\)，\(P( \emptyset )=0\)，\(P(U)=1\)
2 事象\(A，B\)が互いに排反であるとき
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
余事象と確率：
\(P(A)+P(\overline{A})=1\)，すなわち \(P(\overline{A})=1-P(A)\)
一般の和事象の確率：
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
独立な試行の確率：
2つの試行SとＴが独立であるとき，Ｓで事象\(A\)が起こり，かつTで事象\(B\)が起こる確率\(p\)は，\(P(A)\)と\(P(B)\)の積に等しい
\(p=P(A)\times P(B)\)
反復試行の確率：
1回の試行で事象\(A\)が起こる確率\(p\)，この試行を\(n\)回行う反復試行で，\(A\)がちょうど\(r\)回起こる確率は
\({}_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}\)
条件付き確率：
\(A\)を全事象としたときに，事象\(B\)が起こる確率\(P_A (B)\)
\(P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}\)
確率の乗法定理：
\(P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\)
全確率の公式：
\(P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)=P(A)P_A(E)+P(B)P_B(E)\)
第2章 図形の性質
三角形の角の二等分線と比：
\(\triangle\)ABCの\(\angle\)Aの二等分線と辺BCとの交点は，辺BCをAB：ACに内分する。
三角形の外角の二等分線と比：
AB\(\neq \)ACである\(\triangle \)ABCの\(\angle\)Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点は，辺BCをAB：ACに外分する
三角形の辺の垂直二等分線：
三角形の3辺の垂直二等分線は1点(三角形の外心)で交わる
三角形の内角の二等分線：
三角形の3つの内角の二等分線は1点(三角形の内心)で交わる
三角形の中線：
三角形の3本の中線は1点(三角形の重心)で交わり，その点は各中線を2：1に内分する
チェバの定理：
\(\triangle\)ABCの内部にOがある。頂点A，B，CとOを結ぶ直線が向かい合う辺と，それぞれ点P，Q，Rで交わるとき
$$\frac{BP}{PC}･\frac{CQ}{QA}･\frac{AR}{RB}=1$$
メネラウスの定理：
\(\triangle\)ABCの辺BC，CA，ABまたはその延長が，三角形の頂点を通らない直線\(\ell\)と，それぞれ点P，Q，Rで交わるとき
$$\frac{BP}{PC}･\frac{CQ}{QA}･\frac{AR}{RB}=1$$
三角形の辺と角の大小関係：
\(\triangle\)ABCにおいて
\(b>c\Longleftrightarrow \angle B>\angle C\)
1つの三角形において：
1．2辺の長さの和は，他の一辺の長さよりも大きい
2．2辺の長さの差は，他の一辺の長さよりも小さい
\(|b-c| <a<b+c\)
円周角の定理：
1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり，その弧に対する中心角の大きさの半分である。
円周角の定理の逆：
4点A，B，P，Qについて，点P，Qが直線ABに関して同じ側にあって
\(\angle APB=\angle AQB\)ならば，4点A，B，P，Qは1つの円周上にある
円に内接する四角形の性質：
円の内接する四角形について，
1． 対角の和は\(180^\circ\)である
2． 内角は，その対角の外角に等しい
四角形が円に内接するための条件：
次の
または
が成り立つ四角形は，円に内接する
1組の対角の和が\(180^\circ\)である
内角が，その対角の外角に等しい
円の接線：
直線\(l\)が点Aで円Oに内接する\(\Longleftrightarrow OA \perp \ell\)
円の接線の長さ：
円の外部の1点からその点に引いた2つの接線の長さは等しい
円の接線と弦の作る角：
円の接線とその接点を通る弦の作る角は，その角の内部にある弧に対する円周角に等しい
方べきの定理Ⅰ：
円の2つの弦AB，CDの交点，またはそれらの延長の交点をPとすると，
\(PA･PB=PC･PD\)
方べきの定理Ⅱ：
円の外部の点Ｐから円に引いた折線の接点をTとする。Ｐを通ってこの円と2点A，Bで交わる直線を引くと，
\(PA･PB=PT^2\)
方べきの定理Ⅰの逆：
2つの線分ABとCD，またはABの延長とCDの延長が点Pで交わるとき，PA･PB=PC･PDが成り立つならば，4点A，B，C，Dは1つの円周上にある
語句まとめ：接点，外接，内接，共通接線
2直線の位置関係：
2直線\(\ell，m\)が平行であるとき，\(\ell\parallel m\)と書く
3直線\(\ell，m，n\)について，次のことが成り立つ：
\(\ell\parallel m\)， \(m\parallel n\) ならば \(\ell\parallel n\)
三垂線の定理：
1 \(OA\perp \alpha，OB\perp \ell \) ならば \(AB \perp \ell\)
2 \(OA\perp \alpha，AB\perp \ell \) ならば \(OB \perp \ell\)
3 \(OA\perp l，AB\perp \ell \) ならば \(OA \perp \alpha\)
多面体
オイラーの多面体定理：
頂点の数\(v\)，辺の数\(e\)，面の数\(f\)とすると
\(v-e+f=2\)
多面体の面積->
第3章 整数の性質
語句まとめ：整数，約数，倍数
倍数判定法：
2の倍数 \(\cdots\) 一の位が0，2，4，6，8のいずれかである
5の倍数 \(\cdots\) 一の位が0，5のいずれかである
3の倍数 \(\cdots\) 各位の数の和が3の倍数である
9の倍数 \(\cdots\) 各位の数の和が9の倍数である
語句まとめ：素数，合成数，因数，素因数，素因数分解
自然数\(N\)の素因数分解が\(N=p^aq^br^c\cdots\)となるとき，\(N\)の整数の約数の個数は：
\((a+1)(b+1)(c+1)\cdots\)
語句まとめ：公約数，最大公約数，公倍数，最小公倍数，互いに素
\(a，b，c\)は整数で，\(a，b\)は互いに素であるとする
1 \(ac\)が\(b\)の倍数であるとき，\(c\)は\(b\)の倍数である
2 \(a\)の倍数であり，\(b\)の倍数でもある整数は，\(ab\)の倍数である。
最大公約数･最小公倍数の性質：
2つの自然数\(a，b\)の最大公約数を\(g\)，最小公倍数を\(l\)とする。\(a=ga’\)，\(b=gb’\)であるとすると，次のことが成り立つ
\(a’，b’\)は互いに素，\(l=ga’b’\)，\(ab=gl\)
整数の割り算：
整数\(a\)と整数\(b\)について
\(a=bq+r\)，\(0\leq r<b\)
となる整数\(q，r\)は1通りに定まる
商，余り->
連続する整数の積の性質：
連続する2つの整数の積は2の倍数
連蔵する3つの整数の積は6の倍数
自然数の積と素因数の個数->
和，差，積の余り：
\(m\)を正の整数とし，2つの整数\(a，b\)を\(m\)で割ったあまりを，それぞれ\(r，r’\)とすると，
1 \(a+b\)を\(m\)で割ったあまりは，\(r+r’\)を\(m\)で割った余りに等しい
2 \(a-b\)を\(m\)で割ったあまりは，\(r-r’\)を\(m\)で割った余りに等しい
3 \(ab\)を\(m\)で割ったあまりは，\(rr’\)を\(m\)で割った余りに等しい
法，合同：
\(a\)を\(m\)で割ったあまりと，\(b\)を\(m\)で割ったあまりが等しいとき，\(a\)と\(b\)は\(m\)を法として合同であるという
合同式：\(a\equiv b (mod m)\)
合同式について：
\(a\equiv a \pmod{m}\)
\(a\equiv b \pmod{m}\)のとき \(b\equiv a \pmod{m}\)
\(a\equiv b \pmod{m})\)，\(b\equiv c \pmod{m}\)のとき \(a\equiv c \pmod{m}\)
\(a\equiv c \pmod{m}\)，\(b\equiv d \pmod{m} \)のとき
1 \(a+b\equiv c+d \pmod{m}\) 2 \(a-b\equiv c-d \pmod{m}\)
3 \(ab\equiv cd \pmod{m}\) 4 \(a^k\equiv c^k \pmod{m}\)
ユークリッドの互除法->
\(a=bq+r\)：
自然数\(a，b\)について，\(a\)を\(b\)で割ったときのあまりを\(r\)とすると，\(a\)と
\(b\)の最大公約数は，\(b\)と\(r\)の最大公約数に等しい
互除法の活用：
2つの整数\(a\)，\(b\)が互いに素であるとき，整数\(c\)について \(ax+by=c\)を満たす整数\(x，y\)が存在する。
\(a，b，c\)は整数の定数で，\(a\neq 0\)，\(b\neq 0\)とする。\(x\)，\(y\)の1次方程式：
\(ax+by=c\)
を成立させる整数\(x\)，\(y\)の組を，この方程式の整数解という。この方程式の整数解を求めることを1次不定方程式を解くという。
\(ax+by=0\)の整数解：
2つの整数\(a，b\)が互いに素であるとき，方程式\(ax+by=0\)の全ての整数解は，次のように表される。
\(x=bk\) ,\(y=-ak\) (\(k\)は整数)
\(ax+by=1\)の整数解：
1 方程式\(ax+by=1\)の整数解を1つ求める
2 \(ax+by=0\)に帰着させて，整数解を全て求める
\(ax+by=c\)の整数解：
1 方程式\(ax+by=1\)の整数解を1つ求める
2 両辺に\(c\)を掛けて，\(a(cx)+b(cy)=c\)にする
3 \(ax+by=0\)に帰着させて，整数解を全て求める
整数の性質の活用->
語句まとめ：有限小数，無限小数，循環小数
有限小数で表される分数：
\(\frac{m}{n}\)は有限小数で表される\(\Longleftrightarrow\)\(n\)の素因数は2，5だけからなる
\(n\)進法->
底の変換->
数学Ⅱ
第1章 式と証明
3次式の展開と因数分解：
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)，\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ba^2-b^3\)
展開の公式：
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)，\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
因数分解の公式：
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)，\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
二項定理：
\((a+b)^n={}_n\mathrm{C}_0a^n+{}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b+{}_n\mathrm{C}_2a^{n-2}b^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r+\cdots+{}_n\mathrm{C}_nb^n \)
二項定理の応用：
\((1+x)^n=+{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_1x+{}_n\mathrm{C}_2x^2+{}_n\mathrm{C}_nx^n\)
\((a+b+c)^n\)の展開式：
\((a+b+c)^n\)の展開式における\(a^pb^qc^r\)の項の係数は
\(\frac{n!}{p!q!r!}\) ただし \(p+q+r=n\)
語句まとめ：整式
\(A=BQ+R\)：
\(A\)，\(B\)が整式とすると，\(A\)を\(B\)で割った商は\(Q\)となり，余りは\(R\)となる。
とくに，
\(A=BQ\)のとき：
つまり，\(R=0\)のときは\(A\)は\(B\)で割り切れるという
分数式の約分：
\(\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}\) (ただし \(C \neq 0 \))
分数式の四則演算：
\(\frac{A}{B}\times\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}\)
分数式の加法･減法：
\(\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}\)
語句まとめ：恒等式
恒等式の性質：
\(ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’\)が\(x\)についての恒等式
\(\Longleftrightarrow\) \(a=a’\)，\(b=b’\)，\(c=c’\)
\(ax^2+bx+c=0\)が\(x\)についての恒等式
\(\Longleftrightarrow\) \(a=b=c=0\)
代入による恒等式の係数決定->
恒等式に関する証明->
\(A=B\)の証明方法：
1 \(A\)か\(B\)の一方を変形して，他方を導く
2 \(A\)と\(B\)の両方を変形して，同じ式を導く
3 \(A-B\)を変形して，0になることを示す
条件付きの等式の証明->
条件が比例式の等式の証明->
不等式の証明->
実数の大小関係：
\(a>b\)， \(b>c\) \(\Rightarrow\) \((a>c)\)
\(a>b\) \(\Rightarrow\) \(a+c>b+c，a-c>b-c\)
\(a>b\)， \(c>0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)
\(a>b\)， \(c<0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)
2数の大小関係と差：
\(a>b\) \(\Longleftrightarrow\) \(a-b>0\)
\(a<b\) \(\Longleftrightarrow\) \(a-b<0\)
実数の平方の性質：
実数\(a\)について \(a^2 \geq 0\)
等号が成り立つのは，\(a=0\)のとき
実数\(a，b\)について \(a^2+b^2 \geq 0\)
等号が成り立つのは，\(a=b=0\)のとき
相加平均：
\(\frac{a+b}{2}\)を\(a\)と\(b\)の相加平均という
相乗平均：
\(a>0\)，\(b>0\)のとき，\(\sqrt{ab}\)を\(a\)と\(b\)の相乗平均という
相加平均と相乗平均の大小関係：
\(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\)
等号成立は，\(a=b\)のときである
第2章 複素数と方程式
複素数の相等：
\(a+bi=c+di\) \(\Longleftrightarrow\) \(a=c\)かつ\(b=d\)
とくに\(a+bi=0\) \(\Longleftrightarrow\) \(a=0\) かつ \(b=0\)
語句まとめ：共役な複素数
負の数の平方根：
\(a>0\) \(-a\)の平方根は\(\pm \sqrt{-a}=\pm \sqrt{a}i\)である
2次方程式の解の公式：
\(ax^2+bx+c=0\)の解は \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
2次方程式の解の種類の判別：
\(ax^2+bx+c=0\)の判別式を\(D\)とすると，
\(D>0\) \(\Longleftrightarrow\) 異なる2つの実数解
\(D=0\) \(\Longleftrightarrow\) 重解
\(D<0\) \(\Longleftrightarrow\) 異なる2つの虚数解
解と係数の関係：
\(ax^2+bx+c=0\)の2つの解を\(\alpha\)，\(\beta\)とすると
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)，\(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)
\(ax^2+bx+c=0\)が2つの解\(\alpha\)，\(\beta\)を持つとき
\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\)
\(\alpha\)，\(\beta\)を解とする2次方程式
\(\alpha\)，\(\beta\)を解とする2次方程式の1つは
\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
2次方程式の実数解の符号：
1 \(ax^2+bx+c=0\)の2つの解\(\alpha\)，\(\beta\)と判別式\(D\)について
2 \(\alpha\)，\(\beta\)は異なる2つの正の解\(\Longleftrightarrow\)
\(D>0\)で，\(\alpha+\beta > 0\)かつ\(\alpha\beta>0\)
3 \(\alpha\)，\(\beta\)は異なる2つの負の解\(\Longleftrightarrow\) \(D>0\)で，
\(\alpha+\beta > 0\)かつ\(\alpha\beta>0\)
\(\alpha\)，\(\beta\)は符号の異なる解\(\Longleftrightarrow\) \(\alpha\beta<0\)
剰余の定理と因数定理：
\(P(x)=(x-k)Q(x)+R\)
\(x=k\)のとき，\(P(k)=R\)
剰余の定理：
整式\(P(x)\)を\((x-k)\)で割ったあまりは，\(P(k)\)に等しい
因数定理：
整式\(P(x)\)が\(x-k\)で割り切れる \(\Longleftrightarrow\) \(P(k)=0\)
組立除法->
高次方程式->
第3章 図形と方程式
語句まとめ：内分，外分，象限
線分の内分点･外分点：
線分\(m：n\)を内分する点をP，外分する点Ｑ
Pの座標\(\frac{na+mb}{m+n}\)，外分点Qの座標は\(\frac{-na+mb}{m-n}\)
線分ABの中点の座標は\(\frac{a+b}{2}\)
<補足>内分点の座標で\(n\)を\(-n\)に置き換えたものが，外分点の座標
2点間の距離：
2点A(\(x_1，y_1)\)，B(\(x_2，y_2\))間の距離ABは
$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
原点OとA(\(x_1，y_1)\)の距離OAは
$$OA=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$$
内分点，外分点の座標：
2点A(\(x_1，y_1\))，B(\(x_2，y_2\))を結ぶ線分ABを，\(m：n\)に内分する点をP，外分する点Qとする
Ｐの座標 \(( \frac{nx_1+mx_2}{m+n}，\frac{ny_1+my_2}{m+n})\)
Qの座標 \(( \frac{-nx_1+mx_2}{m-n}，\frac{-ny_1+my_2}{m-n})\)
線分ABの中点の座標 \((\frac{x_1+x_2}{2}，\frac{y_1+y_2}{2} )\)
重心の座標：
3点A(\(x_1，y_1\))，B(\(x_2，y_2\))，C(\(x_3，y_3\))を頂点とする
\(\triangle\)ABCの重心の座標
\(( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}，\frac{y_1+y_2+y_3}{3} )\)
直線の方程式(1)：
点(\(x_1，y_1\))を通り，傾きが\(m\)の直線の方程式
\(y-y_1=m(x-x_1)\)
直線の方程式(2)：
異なる2点(\(x_1，y_1\))，(\(x_2，y_2\))を通る直線の方程式
\(x_1\neq x_2 y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)
\(x_1=x_2 x=x_1\)
2直線の平行，垂直：
2直線\(y=m_1x+k_1\)，\(y=m_2x+k_2\)について
\(m_1=m_2\) \(\Longleftrightarrow\) 2直線が平行
\(m_1m_2=-1\) \(\Longleftrightarrow\) 2直線が垂直
点(\(x_1，y_1\))を通り，直線\(ax+by+c=0\)に平行な直線，垂直な直線：
平行 \(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\)
垂直 \(b(x-x_1)-a(y-y_1)=0\)
直線に対して対称な点：
直線ABは\(\ell\)に垂直
線分ABの中点は\(\ell\)上にある
点と直線の距離：
$$d=\frac{| ax_1+by_1+c |}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
円の方程式：
点(\(a，b\))を中心とする半径\(r\)の円の方程式
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
\(x^2+y^2+lx+my+n=0\)の表す図形->
円と直線：
\(D\)の符号\(D>0\) \(D=0\) \(D<0\)
\(ax^2+bx+c=0\)の実数解 異なる2つの実数解 重解(1つの解) なし
円と直線の位置関係 異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない
共有点の個数 2個 1個 0個
\(d\)と\(r\)の大小：
\(d<r\) \(d=r\) \(d>r\)
円と直線の位置関係 異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない
円上の点における接線の方程式：
円\(x^2+y^2=r^2\)上の点P(\(x_1，y_1\))における接線の方程式
$$x_1x+y_1y=r^2$$
2つの円の位置関係->
2つの円の共有点の座標->
2つの円の交点を通る図形->
軌跡を求める手順：
1 点P(\(x，y\))として，Pの条件を\(x，y\)の式で表す
2 逆に，１で求めた図形上のすべての点Pが，与えられた条件を満たすことを確かめる
線分の中点の軌跡：
Q(\(s，t\))，P(\(x，y\))とする。Qの満たす条件を表す\(s，t\)の式と，QとPの座標の関係式から，\(x，y\)の方程式を導く。
直線と領域：
直線\(\ell\)：\(y=mx+k\)
１ \(y>mx+k\)の表す領域は，直線\(l\)の上側の部分
２ \(y<mx+k\)の表す領域は，直線\(l\)の下側の部分
円と領域：
1 \(x^2+y^2<r^2\)の表す領域は，円\(x^2+y^2=r^2\)の内部
2 \(x^2+y^2>r^2\)の表す領域は，円\(x^2+y^2=r^2\)の外部
連立不等式の表す領域->
領域の最大・最小->
領域を利用した証明->
\(p\)ならば\(q\) \(\Longleftrightarrow\) \(P\subset Q\)
放物線を境界線とする領域：
曲線\(F\)：\(y=ax^2+bx+c\)
\(y>ax^2+bx+c\)の表す領域は，曲線\(F\)の上側の部分
\(y<ax^2+bx+c\)の表す領域は，曲線\(F\)の下側の部分
第4章 三角関数
語句まとめ：動径，始線
動径の表す角：
動径OPと始線OXのなす角の1つを\(\alpha\)とすると，動径OPの表す角は\(\alpha+360^\circ \times n\)。\(n\)は整数
語句まとめ：弧度法，度数法
弧度法と扇形：
半径\(r\)，中心核\(\theta\)(ラジアン)の扇形の弧の長さ\(l\)，面積\(S\)は
\(l=r\theta\)， \(S=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(\theta\)の三角関数：
\(sin \theta=\frac{y}{r}\)，\(cos \theta=\frac{x}{r}\)，\(tan \theta=\frac{y}{x}\)
\(\theta\)の正弦，余弦，正接という
語句まとめ：単位円
三角関数の相互関係：
\(tan \theta=\frac{sin \theta}{cos \theta}\) ，\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)
\(1+tan^2\theta=\frac{1}{cos^2\theta}\)
三角関数のグラフ：
\(sin \theta\)の性質：
\(sin \theta\)の値は，P(\(x，y\))の\(y\)座標に等しい
\(y=sin\theta\)のグラフは原点に対して対称
周期は2\(\pi\)
\(cos \theta\)の性質：
\(sin \theta\)の値は，P(\(x，y\))の\(x\)座標に等しい
\(y=sin\theta\)のグラフは\(y\)軸に対して対称
周期は2\(\pi\)
\(tan\theta)の性質：
\(tan \theta\)の値は，T(\(1，m\))の\(y\)座標に等しい
\(tan (\theta+\pi)=tan \theta\)が成立
グラフは原点に対して対称
周期は\(\pi\)
三角関数で成り立つ等式：
\(sin (\theta+2n\pi)=sin \theta\)
\(cos (\theta+2n\pi)=cos \theta\)
\(tan (\theta+n\pi)=tan \theta\)
三角関数のグラフの対称性：
\(sin (-\theta)=-sin \theta\)
\(cos (-\theta)=sin \theta\)
\(tan (-\theta)=-tan \theta\)
\(sin (\theta+\pi)=-sin \theta\)
\(cos (\theta+\pi)=-cos \theta\)
\(tan (\theta+\pi)=tan \theta\)
\(sin (\theta+\frac{\pi}{2})=cos \theta\)
\(cos (\theta+\frac{\pi}{2})=-sin \theta\)
\(tan (\theta+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{tan \theta}\)
三角関数を含む方程式->
三角関数を含む不等式->
三角関数を含む関数の最大値，最小値->
正弦，余弦の加法定理：
\(sin(\alpha+\beta)=sin \alpha cos \beta+cos \alpha sin \beta\)
\(sin(\alpha-\beta)=sin \alpha cos \beta-cos \alpha sin \beta\)
\(cos(\alpha+\beta)=cos \alpha cos \beta-sin \alpha sin \beta\)
\(cos(\alpha-\beta)=cos \alpha cos \beta+sin \alpha sin \beta\)
正接の加法定理：
\(tan(\alpha+\beta)=\frac{tan \alpha+tan \beta}{1-tan \alpha tan \beta}\)
\(tan(\alpha-\beta)=\frac{tan \alpha-tan \beta}{1+tan \alpha tan \beta}\)
正弦，余弦の2倍角の公式：
\(sin 2\alpha=2sin \alpha cos \alpha\)
\(cos 2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha\)
\(cos 2\alpha=1-2sin^2\alpha\)
\(cos 2\alpha=2cos^2\alpha-1\)
正弦，余弦の半角の公式：
\(sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos\alpha}{2}\)，\(cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+cos\
alpha}{2})
正接の2倍角，半角の公式：
\(tan 2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}\)，\(tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos \alpha}{1+cos \alpha}\)
三角関数の合成：
\(a sin \theta+b sin \theta=\sqrt{a^2+b^2} sin(\theta+\alpha)\)
ただし，\(cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}，sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
正弦，余弦の積を和や差に変形する4つの公式：
\(sin\alpha cos \beta=\frac{1}{2}{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}\)
\(cos\alpha sin \beta=\frac{1}{2}{sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)}\)
\(cos\alpha cos \beta=\frac{1}{2}{cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}\)
\(sin\alpha sin \beta=\frac{1}{2}{cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)}\)
正弦，余弦の和や差を積に変形する４つの公式：
上の４つの公式において，\(\alpha+\beta=A\)，\(\alpha-\beta=B\)とおくと，
\(sin A+sin B=2sin \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})
\(sin A-sin B=2cos \frac{A+B}{2}sin \frac{A-B}{2})
\(cos A+cos B=2cos \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})
\(cos A-cos B=-2sin \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})
第5章 指数関数
累乗(1)
\(a^0=1，a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) \(a^{-1}=\frac{1}{a}\)
累乗(2)：
\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)，\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\)，\(a^{-r}
=\frac{1}{a^r}\)
指数法則(指数が有理数)：
\(r\)，\(s\)は有理数
\(a^r\times a^s=a^{r+s}\) \(\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\)
\((a^r)^s=a^{rs}\) \((ab)^r=a^rb^r\)
語句まとめ：指数関数，増加関数，減少関数
指数関数\(y=a^x\)の特徴：
定義域：実数全体，値域：正の数全体
\(a>1\)のとき，増加関数
\(r<s \Longleftrightarrow a^r<a^s\)
\(0<a<1\)のとき，減少関数
\(r<s \Longleftrightarrow a^r>a^s\)
指数関数を含む方程式，不等式->
語句まとめ：底，対数，真数
指数と対数：
\(M>0\)とすると
\(M=a^p \Longleftrightarrow log_aM=p\)
\(log_aa^p=p\)，\(a^{log_ap}=p\)
対数の性質(1)：
\(log_a1=0\)，\(log_aa=1\)
対数の性質(2)：
\(M>0，N>0\)で\(k\)は実数
\(log_aMN=log_aM+log_aN\) \(log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN\)
\(log_aM^k=klog_aM\)
底の変換公式：
\(a，b，c\)は正の数，\(a\neq 1\)，\(b\neq 1\)，\(c\neq 1\)とするとき
\(log_ab=\frac{log_cb}{logca}\) とくに\(log_ab=\frac{1}{log_ba}\)
対数関数\(y=log_ax\)の特徴：
定義域は正の数全体，値域は実数全体
\(a>1\)のとき，増加関数。すなわち
\(0<p<q \Longleftrightarrow log_ap<log_aq\)
\(0<a<1\)のとき，減少関数。すなわち
\(0<p<q \Longleftrightarrow log_ap>log_aq\)
対数関数を含む方程式，不等式->
対数を含む関数の最大値，最小値-?
常用対数->
桁数と常用対数の値の関係：
自然数\(N\)が\(m\)桁のかずであるとは，\(N\)が
\(10^{m-1} \leq N<10^m \)
を満たす。常用対数をとると，
\(m-1\leq log_{10}N<m\)
第6章 微分法と積分法
語句まとめ：平均変化率，極限値，微分係数
極限値：
関数\(f(x)\)において，\(x\)が\(a\)に近づくとき，\(f(x)\)の値が定数\(a\)に近づくならば，\(\alpha\)を\(f(x)\)の極限値という。このことを次のように書く。
\(\lim_{x \to a} f(x)=\alpha\)
\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数：
\(f’(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)^f(a)}{h}\)
接戦の傾きと微分係数：
関数\(y=f(x)\)のグラフ上の点\(A(a，f(a))\)における接線の傾きは，関数\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数\(f’(a)\)に等しい
導関数\(f’(x)\)：
$$f’(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
関数\(x^n\)の導関数：
\((x^n)’=nx^{n-1}\)
\((c)’=0\)
定数倍，和の導関数：
\(k\)は定数
\(y=kf(x)+lg(x)\)を微分
\(y’=kf’(x)+lg’(x)\) \(k，l\)は定数
接線の方程式：
関数\(y=f(x)\)のグラフの点(\(a，f(a))\)における接線の方程式
\(y-f(a)=f’(a)(x-a)\)
\(f(x)\)の増減と\(f’(x)\)の符号：
\(f’(x)>0\)となる\(x\)の値の範囲では増加\(f’(x)<0\)となる\(f(x)<0\)となる\(x\)の値の範囲では減少
語句まとめ：増減表，極大，極大値, 極小, 極小値，極値
\(f(x)\)が極値をとるための十分条件：
\(f(x)\)が\(x=a\)で極地をとるならば，\(f’(a)=0\)である
<補足>逆は成り立たない
関数の最大･最小->
方程式への応用->
不等式への応用->
語句まとめ：原始関数，積分定数，不定積分
\(f(x)\)の不定積分：
\(F’(x)=f(x)\)のとき
\(\int f(x)dx=F(x)+C\) ただし，\(C\)は積分定数
\(x^n\)の不定積分：
\(\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)
定数倍，和の不定積分：
\(F’(x)=f(x)，G’(x)=g(x)\)のとき
\(\int kf(x)+lg(x)dx=kF(x)+lG(x)+C\) \(k\)，\(l\)は定数
定積分：
\(F’(x)=f(x)\)のとき
\(\int_{a}^{b}f(x)dx=[ F(x) ]_a^b=F(b)-F(a)\)
関数の定数倍，和の定積分：
\(\int_{a}^{b}kf(x)+lg(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx+l\int_{a}^{b} g(x)dx \)
定積分の性質：
1 \(\int_{a}^{a}f(x)=0\)
2 \(\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx\)
3 \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)
\(a\)を定数とするとき，
4 \(\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)
定積分と図形の面積：
\(a\leq x\leq b\)の範囲で\(f(x)\geq g(x)\)のとき，\(y=f(x)\)のグラフと\(x\)軸および2直線\(x=a，x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(S=\int_{a}^{b}{f(x)-g(x)}dx\)
曲線と接線で囲まれた図形の面積->
語句まとめ：切り取る線分の長さ
放物線\(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\)と\(x\)軸で囲まれた部分の面積：
\(S=\int_{\alpha}^{\beta}-a(x-\alpha)(x-\beta)dx=\frac{a(\beta-\alpha)^3}{6}\)
数学Ｂ
第1章 平面上のベクトル
語句まとめ：大きさ，向き
逆ベクトル：
\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}\)のとき，
\(-\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{AB}\)
ベクトルの加法：
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
ベクトルの加法の性質：
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\) 交換法則
\(( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )+ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\) 結合法則
零ベクトルの性質：
\(\overrightarrow{a}(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}\)，
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\)
ベクトルの減法：
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\)
\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\)，
ベクトルの実数倍，和の性質：
\(k(\overrightarrow{la})+(kl)\overrightarrow{a}\)
\((k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}\)
\(k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)
ベクトルの平行条件：
\(\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}\) \(\Longleftrightarrow\)\(\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}\)となる実数\(k\)がある
単位ベクトル：
\(\overrightarrow{a}\)と平行な単位ベクトルは
\(\frac{\overrightarrow{a}}{| \overrightarrow{a} |}\)と\(-\frac{\overrightarrow{a}}{| \overrightarrow{a} |}\)
\(\overrightarrow{a}\)の大きさ：
\(\overrightarrow{a}=(a_1，a_2)\)のとき
\(| \overrightarrow{a} |=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)
実数倍，和の成分表示：
\(k(a_1，a_2)+g(b_1，b_2)=(ka_1+gb_1，ka_2+gb_2)\)
2点A(\(a_1，a_2\))，B(\(b_1，b_2\))について：
\(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1，b_2-a_2)\)， \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+
(b_2-a_2)^2}\)
ベクトルの内積：
\(\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\theta\)
ただし，\(\theta\)は\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)のなす角
ベクトルの垂直と内積：
\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\) \(\Longleftrightarrow\)\(\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}=0\)
内積と成分：
\(\overrightarrow{a}=(a_1，a_2)，\overrightarrow{b}=(b_1，b_2)\)のとき
\(\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
ベクトルのなす角の余弦：
\(\overrightarrow{a}=(a_1，a_2)\)，\(\overrightarrow{a}=(b_1，b_2)\)のなす角を\(\theta\)とする。
\(cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)
ベクトルの垂直条件：
\(\overrightarrow{a}=(a_1，a_2)，\overrightarrow{b}=(b_1，b_2)\)
\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b} \Longleftrightarrow\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}=0\)
内積の性質：
\(\overrightarrow{a}･\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2\)
\(\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}･\overrightarrow{a}\)
\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})･\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}･\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}･\overrightarrow{c}\)
\(\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}･\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}･\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}･\overrightarrow{c}\)
\(\overrightarrow{ka}･\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}･\overrightarrow{kb}=k(\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b})\) ただし，\(k\)は実数
内分点･外分点の位置ベクトル：
2点\(A(\overrightarrow{a})，B(\overrightarrow{b})\)に対して，線分ABを\(m，n\)に内分する点，\(m：n\)に内分する点の位置ベクトルは，
内分 \(\cdots \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\)
外分 \(\cdots \frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\)
中点 \(\cdots \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\)
3点A(\(\overrightarrow{a}\))，B(\(\overrightarrow{b}\))，C(\(\overrightarrow{c}\))を頂点とする\(\triangle\)ABCの重心Gの位置ベクトル\(\overrightarrow{g}\)：
\(\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\)
三角形の中線：
三角形の重心は，3点の中線が交わる線で，各中線を2：1に内分する
1直線上にある点：
点Cが直線AB上にある \(\Longleftrightarrow\) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\) となる実数\(k\)がある
点Ａ(\(x_1，y_1\))を通り，\(\overrightarrow{d}=(l，m)\)に平行な直線の方程式：
\(m(x-x_1)-l(y-y_1)=0\)
異なる2点A(\(\overrightarrow{a}\))，B(\(\overrightarrow{b}\))を通る直線ABのベクトル方程式：
\(\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}， s+t=1\)
法線ベクトル：
点A(\(x_1，y_1\))を通り，\(\overrightarrow{n}=(a，b)\)に垂直な直線の方程式は
\(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\)
ベクトル \(\overrightarrow{a，b}\) は，直線 \(ax+by+c=0\) に垂直である
第2章 空間ベクトル
語句まとめ：\(xy\)平面，\(yz\)平面，\(zx\)平面
原点Oと点P(\(a，b，c\))の距離は：
\(OP=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
ベクトルの大きさ：
\(\overrightarrow{a}=(a_1，a_2，a_3)\)の大きさは \(|\overrightarrow{a}|=
\sqrt{a_{1}^{2}a_{2}^{2}a_{3}^{2}}\)
和，実数倍の成分表示：
\( k(a_1，a_2，a_3)+g(b_1，b_2，b_3)= (ka_1+gb_1，ka_2+gb_2，ka_3+gb_3)\)
ただし，\(k，g\)は実数
2点A，Bとベクトル\(\overrightarrow{AB}\)：
2点A(\(a_1，a_2，a_3\))，B(\(b_1，b_2，b_3\))について
\(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1，b_2-a_2，b_3-a_3)\)
\(|\overrightarrow{AB}|\sqrt{(b_1-a_1)^2(b_2-a_2)^2(b_3-a_3)^2}\)
ベクトルの内積：
\(\overrightarrow{a}=(a_1，a_2，a_3)\)，\(\overrightarrow{b}=(b_1，b_2，b_3)\)のなす角\(\theta\)とするとき
\(\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)
\(cos\theta =\frac{\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)
ベクトルの垂直条件：
\(\overrightarrow{a}=(a_1，a_2，a_3)\)，\(\overrightarrow{b}=(b_1，b_2，b_3)\)のとき
\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b} \Longleftrightarrow \overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}=0\)
位置ベクトル：
2点A(\(\overrightarrow{a}\))，B(\(\overrightarrow{b}\))
に対して \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)
2点A(\(\overrightarrow{a}\))，B(\(\overrightarrow{b}\))に対して，線分ABを\(m：n\)に内分する点，\(m：n\)に外分する点の位置ベクトル
内分 \(\cdots\) \(\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\)
外分 \(\cdots\) \(\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\)
中点 \(\cdots\) \(\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\)
3点A(\(\overrightarrow{a}\))，B(\(\overrightarrow{b}\))，C(\(\overrightarrow{c}\))を頂点とする\(\triangle\)ABCの重心Gの位置ベクトル\(\overrightarrow{g}\)：
\(\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\)
1直線上にある点->
同じ平面上にある点->
内積の利用->
同じ平面上にある点：
一直線上にない3点A(\(\overrightarrow{a}\))，B(\(\overrightarrow{b}\))，C\(\overrightarrow{c}\)と点P(\(\overrightarrow{p}\))について
点Pが3点A，B，Cの定める平面ABC上にある
\(\Longleftrightarrow\) \(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}\)， \(s+t+u=1\)となる実数\(s，t，c\)がある
2点間の距離と内分点･外分点の座標：
2点A\((a_1，a_2，a_3)\)，B\((b_1，b_2，b_3)\)について
A，B間の距離：
\(AB=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\)
線分ABを\(m：n\)に内分する点の座標：
\((\frac{n\overrightarrow{a_1}+m\overrightarrow{b_1}}{m+n}，\frac{n\overrightarrow{a_2}+m\overrightarrow{b_2}}{m+n}，\frac{n\overrightarrow{a_3}+m\overrightarrow{b_3}}{m+n})\)
線分ABを\(m：n\)に外分する点の座標：
\((\frac{-n\overrightarrow{a_1}+m\overrightarrow{b_1}}{m-n}，\frac{-n\overrightarrow{a_2}+m\overrightarrow{b_2}}{m-n}，\frac{-n\overrightarrow{a_3}+m\overrightarrow{b_3}}{m-n})\)
座標平面に平行な平面の方程式：
点A(\(a\)，0，0)を通り，\(yz\)平面に平行な平面の方程式は \(x=a\)
点B(0，\(b\)，0)を通り，\(zx\)平面に平行な平面の方程式は \(y=b\)
点C(0，0，\(c\))を通り，\(zy\)平面に平行な平面の方程式は \(z=c\)
球面の方程式：
点(\(a，b，c\))を中心とする半径\(r\)の球面の方程式は\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)
とくに，原点を中心とする半径\(r\)の球面の方程式は\(x^2+y^2+z^2=r^2\)
平面の方程式：
点A(\(x_1，y_1，z_1\))を通り，ベクトル\(\overrightarrow{n}=(a，b，c)\)に垂直な平面\(\alpha\)上の点をP(\(x，y，z\))とすると，平面\(\alpha\)の方程式
\(a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\)
第3章 数列
語句まとめ：初項，一般項，公差，項数，末項
等差数列の一般項：
初項\(a\)，公差\(d\)の等差数列\({a_n}\)の一般項は
\(a_n=a+(n-1)d\)
等差数列の性質：
\(a_{n+1}=a_n+d\) すなわち \(a_{n+1}-a_n=d\)
等差数列の和：
等差数列の初項から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とする
初項\(a\)，第\(n\)項\(l\)のとき \(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\)
初項\(a\)，公差\(d\)のとき \(S_n=\frac{1}{2}n{2a+(n-1)d}\)
等差数列の和の最大->
語句まとめ：等比数列，公比
等比数列の一般項：
初項\(a\)，公比\(r\)の等比数列{\(a_n\)}の一般項
\(a_n=ar^{n-1}\)
等比数列の和：
初項\(a\)，公比\(r\)の等比数列の初項から第\(n\)項までの和\(S_n\)は
\(r\neq 1\)のとき \(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r} または S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\)
\(r=1\)のとき \(S_n=na\)
複利計算->
いろいろな数列->
和の記号：
初項から第\(n\)項￥までの和を，第\(k\)項\(a_k\)と和の記号\(\sum\)を用いて
\(\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1a_2a_3+\cdots+a_n\)
自然数に関する和の公式：
\(\sum_{k=1}^{n}1=n\)，\(\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\)，
\(\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)，\(\sum_{k=1}^{n}k^3={ \frac{1}{2}n(n+1) }^2\)
和の記号の性質：
\(\sum_{k=1}^{n}(pa_k+qb_k)= p\sum_{k=1}^{n}a_k+q\sum_{k=1}^{n}b_k\)
ただし，\(p，q\)は\(k\)に無関係な定数
階差数列と一般項：
数列{\(a_n\)}の階差数列を{\(b_n\)}とすると
\(n\geq 2\)のとき \(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\)
数列の和と一般項：
数列{\(a_n\)}と初項\(a_1\)から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると
\(a_1=S_1\)
\(n\geq 2\)のとき \(a_n=S_n-S_{n-1}\)
いろいろな数列の和->
部分分数分解->
数学的帰納法->
等差数列と等比数列の漸化式：
等差数列{\(a_n\)}の漸化式は \(a_{n+1}=a_n+d\)
等比数列{\(a_n\)}の漸化式は \(a_{n+1}=ra_n\)
階差数列と一般項：
数列{\(a_n\)}の階差数列を{\(b_n\)}とすると
\(n\geq 2\)のとき \(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\)
\(a_{n+1}=pa_n+q\)を満たす数列の階差数列->
隣接3項間の漸化式->
数学的帰納法の原理：
\(n=1\)のとき(A)が成り立つ
\(n=k\)のとき(A)が成り立つと仮定すると，\(n=k+1\)のときも(A)が成り立つ
等式の証明->
不等式の証明->
整数の性質の証明->
第4章 確率分布と統計的な推測
語句まとめ：期待値，平均
確率の総和：
確率変数\(X\)のとりうる値\(x_k\)が起こる確率を\(p_k\)とすると\(p_1\)から\(p_n)までの総和は
$$\sum_{k=1}^{n} p_k=p_1+p_2+\cdots+p_n=1$$
確率変数の期待値(平均)：
確率変数\(X\)の期待値\(E(X)\)は
\(E(X)=\sum_{k=1}^{n} x_kp_k=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\)
確率変数\(X^2\)の期待値\(E(X^2)\)：
\(E(X^2)=\sum_{k=1}^{n}x_k^2p_k \)
確率変数の分散\(V(X)\)：
確率変数\(X\)の期待値を\(m\)とするとき，分散\(V\)は，確率変数\((X-m)^2\)の期待値で定義され，
$$V(X)=E((X-m)^2)=\sum_{k=1}^{n}(x_k-m)^2p_k=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+\cdots+(x_n-m)^2p_n$$
\(aX+b\)の期待値\(E(aX+b)\)：
\(X\)を確率変数，\(a，b\)を定数とすると，
$$E(aX+b)=aE(X)+b$$
分散と期待値の関係：
確率変数\(X\)について \(V(X)=E(X^2)-{ E(X) }^2\)
標準偏差：
\(\sigma=\sqrt{V(X)}\)
\(aX+b\)の分散：
\(X\)を確率変数，\(a\)，\(b\)を定数とするとき
\(V(aX+b)=a^2V(X)\)， \(\sigma(aX+b)=| a |\sigma(X)\)
2つの確率変数の和の期待値：
\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
\(aX+bY\)の期待値：
\(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)
独立な2つの確率変数の積の期待値：
2つの確率変数\(X，Y\)が互いに独立であるとき
\(E(XY)=E(X)E(Y)\)
独立な2つの確率変数の和の分散：
2つの確率変数\(X，Y\)が互いに独立であるとき
\(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)
3つ以上の確率変数の独立：
\(E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z)\)
\(V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z)\)
語句まとめ：二項分布，正規分布，連続型確率変数
1回の試行で事象\(A\)が起こる確率を\(p\)とする。この試行を\(n\)回行う反復試行において，\(A\)がちょうど\(r\)回起こる確率は
$${}_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}$$
二項分布に従う確率変数の期待値と分散：
確率変数\(X\)が二項分布\(B(n，p)\)に従うとき
\(E(X)=np\)， \(V(X)=np(1-p)\)， \(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\)
確率密度関数\(f(x)\)の性質：
常に\(f(x)\geq 0\)で \(P(a \leq X \leq)=\int_a^b f(x)dx\)
\(X\)のとる範囲が\(\alpha \leq X \leq \beta\)のとき\(\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=1\)
正規分布の確率密度関数\(f(x)\)：
確率変数\(X\)が正規分布\(N(m，\sigma^2)\)に従うとき
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\)
正規分布の期待値，標準偏差：
確率変数\(X\)が正規分布\(N(m，\sigma^2)\)に従うとき
\(E(X)=m，\sigma(X)=\sigma\)
標準正規分布の確率密度関数\(f(z)\)：
確率変数\(X\)が正規分布\(N(0，1)\)に従うとき，
\(f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\)
正規分布と標準正規分布：
確率変数\(X\)が正規分布\(N(m，\sigma^2)\)に従うとき
$$Z=\frac{X-m}{\sigma}$$
二項分布の正規分布による近似：
二項分布\(B(n，p)\)に従う確率変数\(X\)は，\(n\)が大きいとき，近似的に正規分布\(N(np，np(1-p))\)に従う
連続型確率変数\(f(x)\)の期待値と分散
連続型確率変数\(f(x)\)の期待値\(m=E(X)\)と標準偏差\(\sigma\)
連続型変数\(X\)がとり得る値の範囲が\(\alpha\leq X \leq \beta\)のとき，
$$m=E(X)=\int_{\alpha}^{\beta}xf(x) dx$$
$$V(X)=\int_{\alpha}^{\beta}(x-m)^2 f(x)dx$$
語句まとめ：母集団，標本，無作為抽出，無作為標本，復元抽出，非復元抽出，母平均，母分散，母比率，標本平均，標本分散，標本比率，
標本平均の期待値と標準偏差：
母平均\(m\)，母分散\(\sigma^2\)の母集団から大きさ\(n\)の無作為標本を抽出するとき，その標本平均\(\overline{X}\)の期待値\(E(\overline{X})\)と分散\(S(\overline{X})\)は
\(E(\overline{X})=m， S(\overline{X}=\frac{\sigma^2}{n})\)
標本平均の分布：
母平均\(m\)，母分散\(\sigma^2\)の母集団から抽出された大きさ\(n\)の無作為標本について，標本平均\(\overline{X}\)は，\(n\)が大きいとき，近似的に正規分布
\(N(m，\frac{\sigma^2}{n})\)に従うと見なすことがある
標本比率の分布：
特性Ａの母比率\(p\)の母集団から抽出された大きさ\(n\)の無作為標本について，標本比率\(R\)は，\(n\)が大きいとき，近似的に正規分布\(N(p，\frac{p(1-p)}{n})\)に従うと見なすことがある
大数の法則：
母平均\(m\)の集団から大きさ\(n\)の無作為標本を抽出するとき，\(n\)が大きくなるに従って，その標本平均\(\overline{X}\)はほとんど確実に母平均\(m\)に近づく
母平均の推定：
母分散を\(\sigma^2\)とする。標本の大きさ\(n\)が大きいとき，母平均\(m\)に対する信頼度95%の信頼区間は
$$[ \overline{X}-1.96･\frac{\sigma}{\sqrt{n}}，\overline{X}+1.96･\frac{sigma}{\sqrt{n}}]$$
母比率の推定：
標本の大きさ\(n\)が大きいとき，標本比率を\(p\)とすると，母比率\(\hat{p}\)に対する信頼度95%の信頼区間は
$$[ p-1.96･\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}，p+1.96･\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} ]$$
数学Ⅲ
第1章 複素数平面
語句まとめ：複素数平面，共役複素数
複素数の絶対値：
複素数\(a+bi\)の絶対値は \(| a+bi |=\sqrt{a^2+b^2}\)
共役複素数の性質：
\(\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\)，\(\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}\)
複素数\(z\)とその共役複素数について：
\(z+\overline{z}\)は実数 \(z\overline{z}=| z |^2\)
語句まとめ：極形式，偏角，
複素数の積の絶対値と偏角：
\(| \alpha\beta |=|\alpha||\beta|\) \(\arg \alpha\beta=\arg \alpha+\arg \beta\)
原点を中心とする回転->
ド・モアブルの定理：
\((cos\theta+sin\theta)^n=cos n\theta+i sin n\theta\)
複素数の\(n\)乗根->
1の\(n\)乗根：
1の\(n\)乗根は，次の式から得られる\(n\)個の複素数
\(z_k=cos\frac{2k\pi}{n}+i sin\frac{2k\pi}{n} k=0，1，2\cdots，n-1\)
方程式の表す図形：
円：
点A(￥(\alpha\))を中心とする半径\(r\)の円上の点をP(\(z\))とすると，
\(| z-\alpha |=r\)
垂直二等分線：
2点A(\(\alpha\))，B(\(\beta\))を結ぶ線分ABの垂直二等分線上の点をP(\(z\))とすると，
\(|z-\alpha|=|z-\beta|\)
図形への応用->
2次曲線->
第2章 式と曲線
語句まとめ：放物線，焦点，準線
\(x\)軸が軸となる放物線の
標準形：\(y^2=4px (p\neq 0)\)
焦点は点\((p，0)\)，準線は直線\(x=-p\)
頂点は原点O
曲線は\(x\)軸に関して対称
\(y\)軸が軸となる放物線の
標準形：\(x^2=4py (p\neq 0)\)
焦点は点\((0，p)\)，準線は直線\(y=-p\)
頂点は原点O
曲線は\(y\)軸に関して対称
語句まとめ：長軸，短軸，頂点
焦点が\(x\)軸上にある楕円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\)の
焦点は 2点(\(\sqrt{a^2-b^2}，0\))，(\(-\sqrt{a^2-b^2}，0\))
楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は \(2a\)
長軸の長さは \(2a\)，短軸の長さは \(2b\)
曲線は\(x\)軸，\(y\)軸，原点Oに関して対称
焦点が\(y\)軸上にある楕円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (b>a>0)\)の
焦点は 2点(\(0，\sqrt{b^2-a^2}\))，(\(0，-\sqrt{b^2-a^2}\))
楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は \(2a\)
長軸の長さは \(2a\)，短軸の長さは \(2b\)
曲線は\(x\)軸，\(y\)軸，原点Oに関して対称
円の縮小と拡大->
点の軌跡が楕円になる場合->
双曲線->
焦点が\(x\)軸上にある双曲円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\) (\(a>0，b>0)\))の
頂点は 2点(\(a，0)\))，(\(-a，0\)
焦点は 2点(\(\sqrt{a^2+b^2}，0\))，(\(-\sqrt{a^2+b^2}，0\))
双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差は \(2a\)
漸近線は 2直線\(y=\frac{b}{a}x，y=-\frac{b}{a}x\)
曲線は\(x\)軸，\(y\)軸，原点Oに関して対称
焦点が\(y\)軸上にある双曲円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\) (\(a>0，b>0)\))の
頂点は 2点(\(0，b\)，(\(0，-b\)
焦点は 2点(\(0，\sqrt{a^2+b^2}\))，(\(0，-\sqrt{a^2+b^2}\))
双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差は \(2b\)
漸近線は 2直線\(y=\frac{b}{a}x，y=-\frac{b}{a}x\)
曲線は\(x\)軸，\(y\)軸，原点Oに関して対称
2次曲線の平行移動：
曲線\(F(x，y)=0\)を，\(x\)軸方向に\(p\)，\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動すると，移動後の曲線の方程式は
\(F(x-p，y-q)=0\)
\(ax^2+by^2+cx+dy+e=0\)の表す図形->
2次曲線と直線->
2次曲線の接線の方程式：
1 放物線\(y^2=4px\)上の点P(\(x_1，y_1\))における接線の方程式は
\(y_1y=2p(x+x_1)\)
2 楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上の点P(\(x_1，y_1\))における接線の方程式は
\(\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1\)
3 双曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1\)上の点P(\(x_1，y_1\))における接線の方程式は
\(\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1\)
媒介変数表示と極座標：
語句まとめ：媒介変数表示，媒介変数(パラメータ)
円\(x^2+y^2=a^2\)の媒介変数表示：
\(x=a cos\theta，y=a sin\theta\)
楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)の媒介変数表示：
\(x=a cos\theta，y=b sin\theta\)
サイクロイドの媒介変数表示：
\(x=a(\theta- sin\theta)，y=a(1-cos\theta)\)
媒介変数表示される曲線の平行移動：
\(x=f(t)\)，\(g=f(t)\)で表される曲線を，\(x\)軸方向に\(p\)，\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動すると，
\(x=f(t)+p\)，\(y=g(t)+q\)
語句まとめ：直交座標，極座標，極，偏角，極方程式
直交座標と極座標の対応関係：
点Pの直交座標(\(x，y\))，極座標(\(r，\theta\))とすると，
\(x=rcos\theta，y=rsin\theta\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2} r\neq 0のとき\)
\(cos\theta=\frac{x}{r}，sin\theta=\frac{y}{r}\)
直交座標の\(x，y\)の方程式と極方程式->
2次曲線の極方程式->
第3章 関数
分数関数\(\frac{k}{x-p}+q\)：
グラフは，\(y=\frac{k}{x}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)，\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動した曲線で，漸近線は2直線\(x=p，y=q\)
定義域は\(x\neq p\)，値域は\(y \neq q\)
無理関数\(y=\sqrt{a(x-p)}\)：
グラフは，\(y=ax\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)岳へ行こう移動した曲線
定義域は\(x-p\geq 0\)を満たす実数\(x\)の値全体，値域は\(y\geqq 0)
語句まとめ：逆関数
\(f(x)\)の逆関数\(g(x)\)の求め方：
1 \(y=f(x)\)を\(x\)について解き，\(x=g(y)\)の形にする。
2 \(x\)と\(y\)を入れ替えて，\(y=g(x)\)とする
3 逆関数\(g(x)\)の定義域は，元の関数\(f(x)\)の値域と同じ
逆関数の性質：
関数\(f(x)\)が逆関数\(f^{-1}(x)\)をもつとき
\(b=f(a) \Longleftrightarrow a=f^{-1}(b)\)
関数\(y=f(x)\)のグラフとその逆関数\(y=f^{-1}(x)\)のグラフは，直線\(y=x\)に関して対称
第4章 極限
数列の収束･発散：
収束 値\(\alpha\)に収束 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=\alpha \cdots\)極限は \(\alpha\)
発散 正の無限大に発散 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty \cdots\)極限は \(\infty\)
負の無限大に発散 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty \cdots\)極限は \(\infty\)
振動 \(\cdots\) 極限は ない
数列の極限の性質(1)：
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha\)， \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\beta\)とする
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}ka_n+gb_n=k\alpha+gb\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=\alpha\beta\)
全ての\(n\)について\(a_n\leq b_n\) ならば \(\alpha \leq \beta\)
全ての\(n\)について \(a_n\leq c_n\leq b_n\) かつ \(\alpha =\beta\) ならば
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n=\alpha\)
数列\(r^n\)の極限：
\(r>1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\infty\) 発散
\(r=1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=1\) 収束
\(| r |<1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=0\) 収束
\(r\leq -1\)のとき 振動する \(\cdots\) 極限はない
数列{\(r^n\)}が収束するための必要十分条件：
\(-1< r\leq 1\)
無限級数の和\(S\)の定義：
無限級数\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\cdots\)の部分和\(S_n\)から作られる無限数列{\(S_n\)}が\(S\)に収束するとき，この無限級数の和は\(S\)
無限級数の性質：
\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n=S\)，\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n=T\)のとき
\(\sum_{n=1}^{\infty}ka_n+gb_n=kS+gT\)
関数の極限：
\(\lim_{x \to a}f(x)=\alpha\)，\(\lim_{x \to a}g(x)=\beta\)とする
\(\lim_{x \to a}kf(x)+lg(x)=k\alpha+g\beta\)
\(\lim_{x \to a}f(x)g(x)=\alpha\beta\)
片側からの極限：
\(\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)= \displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=\alpha \Longleftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=\alpha \)
\(x \rightarrow \infty，x\rightarrow -\infty\)のときの極限->
指数関数，対数関数の極限->
関数の極限の性質(2)：
\(\lim_{x \to a}f(x)=\alpha\)，\(\lim_{x \to a}g(x)=\beta\)とする
\(x=a\)の近くで常に \(f(x)\leq g(x)\) ならば \(\alpha \leq \beta\)
\(x=a\)の近くで常に \(f(x)\leq h(x)\leq g(x)\) ならば \(\alpha \leq \beta\)
\(\displaystyle \lim_{x \to a}h(x)=\alpha\)
\(\frac{sin x}{x}\)の極限
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1\)
関数の連続性：
極限値\(\lim_{x \to a}f(x)\)が存在し，かつ\(\lim_{x \to a}f(x)=f(a)\)が成り立つとき，\(f(x)\)は\(x=a\)で連続であるという
関数\(f(x)，g(x)\)がともに\(x=a\)で連続ならば，次の関数はいずれも\(x=a\)で連続である
\(kf(x)+lg(x)\)，\(\frac{f(x)}{g(x)}\)
\(g(x) \neq 0\)
語句まとめ：区間，開区間，閉区間，ガウス記号
中間値の定理：
\(f(x)\)が閉区間[\(a，b\)]で連続で，\(f(a)\neq f(b)\)ならば，\(f(a)\)と\(f(b)\)の間の任意の値\(k\)に対して
\(f(x)=k\)，\(a<c<b\)
を満たす実数\(c\)が少なくとも1つある
\(f(x)\)が閉区間[\(a，b\)]で連続で，\(f(a)\)と\(f(b)\)の符号が異なれば，方程式\(f(x)=0\)は\(a<x<b\)の範囲に少なくとも1つの実数解を持つ。
微分係数：
\(f(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
微分可能と連続：
\(f(x)\)が\(x=a\)で微分可能ならば，\(x=a\)で連続
※逆は不成立
\(f(x)\)の導関数：
\(\frac{d(f(x))}{dx}=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
導関数の公式：
\(f(x)，g(x)\)がともに微分可能であるとき
\({ kf(x)+lg(x) }’=kf’(x)+lg’(x)\)
\({f(x)g(x)}’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)\)
\(x^n\)の導関数：
\(n\)が自然数のとき \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
商の導関数：
\(f(x)，g(x)\)がともに微分可能であるとき
\(\frac{d}{dx}\frac{1}{g(x)}=-\frac{\frac{d}{dx}g(x)}{{ g(x) }^2}\)
\({\frac{f(x)}{g(x)}}’=\frac{f’(x)g(x)-f(x)g’(x) }{ { g(x) }^2 }\)
合成関数の微分法：
\(y=f(u)\)が\(u\)の関数として微分可能，\(u=g(x)\)が\(x\)の関数として微分可能であるとする。このとき，合成関数\(y=f(g(x))\)は\(x\)の関数として微分可能で
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}･\frac{du}{dx}\)
逆関数の微分法：
\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\)
三角関数の導関数：
\(\frac{d}{dx}( sin x )=cos x\)，\(\frac{d}{dx}( cos x )=-sin x\)，
\(\frac{d}{dx}( tan x )=\frac{1}{cos^2 x}\)
対数関数の導関数：
\(\frac{d}{dx}(log_a x)=\frac{1}{xlog a}\) \(\frac{d}{dx}(log x)=\frac{1}{x}\)
絶対値を含む対数関数の導関数：
\(\frac{d}{dx}(log_a|x|)=\frac{1}{xlog a}\) \(\frac{d}{dx}(log |x|)=\frac{1}{x}\)
指数関数の導関数：
\(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\) \(\frac{d}{dx}(a^x)=a^xlog a\)
第\(n\)次導関数->
媒介変数表示と導関数：
\(x=f(t)，y=g(t)\)のとき
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$
導関数の応用：
接線の方程式：
\(y=f(x)\)上の点\(a，f(a)\)における接線の方程式は
\(y-f(a)=f’(a)(x-a)\)
法線の方程式：
\(y=f(x)\)上の点\(a，f(a)\)における接線の方程式は
\(f’(a)\neq 0\)のとき \(y-f(a)=-\frac{1}{f’(a)}(x-a)\)
平均値の定理：
\(f(x)\)が区間[\(a，b\)]で連続で，区間(\(a，b)\)で微分可能ならば，\(\frac{f(b)-f(c)}{b-a}=f’(c)\)，\(a<c<b\)を満たす実数\(c\)が存在
語句まとめ：極大，極小，極大値，極小値，変曲点
極値をとるための必要条件：
\(f(x)\)が\(x=a\)で微分可能であるとき
\(f(x)\)が\(x=a\)で極値をとるならば \(f’(a)=0\)
\(f’(x)\)の符号と曲線\(y=f(x)\)の凹凸：
\(f(x)\)が第2次導関数\(f’’(x)\)をもつとき
\(f’’(x)>0\)である区間では，曲線\(y=f(x)\)は下に凸
\(f’’(x)<0\)である区間では，曲線\(y=f(x)\)は上に凸
第2次導関数と極値：
\(f’(a)=0\)かつ\(f’’(x)>0\)ならば，\(f(a)\)は極小値
\(f’(a)=0\)かつ\(f’’(x)<0\)ならば，\(f(a)\)は極大値
不等式の証明->
方程式の実数解の個数->
速度と加速度の定義：
数直線上を運動する点Pの時刻\(t\)における座標\(x\)が\(x=f(t)\)で表されるとき，時刻tにおけるPの速度\(v\)，加速度\(\alpha\)は
\(v=\frac{dx}{dt}\)， \(\alpha=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2}{dx^2}x\)
速度と加速度の公式：
座標平面上を運動する点P(\(x，y\))の時刻\(t\)における\(x\)座標，\(y\)座標が\(t\)の関数であるとき，時刻\(t\)におけるPの速度\(\vec{v}\)，速さ\(| \vec{v} |\)，加速度\(\vec{\alpha}\)，加速度の大きさ\(| \vec{\alpha} |\)は
\(\vec{v}=( \frac{dx}{dt}，\frac{dy}{dt} )\)，\(| \vec{v} |=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\) \(\vec{\alpha}=( \frac{d^2}{dt^2}x，\frac{d^2}{d^t}y )\)，\(| \vec{\alpha} |=\sqrt{(\frac{d^2}{dt^2}x)^2+(\frac{d^2}{dt^2}y)^2}\)
1次近似式(\(x=a\)周りのテイラー展開)：
\(h \approx 0\)のとき \(f(a+h)\approx f(a)+f’(a)h\)
1次近似式(\(x=0\)周りのテイラー展開，マクローリン展開)：
\(x \approx 0\)のとき \(f(x) \approx f(0)+f’(0)x\)
不定積分：
\(f(x)\)の不定積分
\(F’(x)=f(x)\)のとき
\(\int f(x)dx =F(x)+C\) ただし，\(C\)は積分定数
\(x^a\)の不定積分：
\(\int x^a dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\) ただし，\(\alpha \neq -1\)
\(\int \frac{1}{x}=log | x |+C\)
定数倍，和の不定積分：
\(\int kf(x)+lg(x)=k\int f(x)+l\int g(x) \)
三角関数，指数関数の不定積分：
\(\int sin xdx=-cos x+C\)， \(\int cos xdx=sin x+C\)， \(\int \frac{1}{cos^2 x} dx=tanx+C\)， \(\int \frac{1}{sin^2 x} dx=-\frac{1}{tanx}+C\)， \(\int e^x dx=e^x+C\)， \(\int a^x dx=\frac{a^x}{log a}+C\)
置換積分法：
\(\int f(x)dx=\int f(g(t))\frac{d}{dt}g(t) dt\) ただし，\(x=g(t)\)
\(\int f(g(x))\frac{d}{dx}g(x)dx=\int f(u)du\) ただし，\(g(u)=u\)
\(\int \frac{\frac{d}{dx}g(x)}{g(x)}dx=log| g(x) |+C\)
部分積分法：
\(\int f(x)\frac{d}{dx}g(x)dx=f(x)g(x)-\int \frac{d}{dx}f(x)g(x)dx\)
分数関数の不定積分->
三角関数に関する不定積分->
定積分：
ある区間で連続な関数\(f(x)\)の原始関数の1つを\(F(x)\)とし，\(a，b\)をその区間に含まれる任意の値とするとき
\(\int_{a}^{b}f(x)dx =[ F(x) ]_a^b=F(b)-F(a)\)
定積分の性質：
\(\int_a^b kf(x)+lg(x)=k\int_a^b f(x)dx +l\int_a^b g(x)dx\)
\(\int_a^af(x)dx=0\)
\(\int_b^a f(x)dx=-\int_a^bf(x)dx\)
\(\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx\)
定積分の置換積分法：
\(x=g(t)\)とおくとき，\(a=g(\alpha)，b=g(\beta)\)ならば
\(\int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\frac{d}{dt}g(t) dt\)
偶関数，奇関数と定積分：
偶関数\(f(x)\)について \(\int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx\)
偶関数\(f(x)\)について \(\int_{-a}^a f(x)dx=0\)
定積分の部分積分法：
\(\int_a^b f(x)\frac{d}{dx}g(x)dx=[ f(x)g(x) ]_a^b-\int_a^b \frac{d}{dx}f(x)g(x)dx\)
定積分と導関数：
\(a\)が定数のとき \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt=f(x)\)
区分求積法と定積分
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)dx\)
ただし，\(\Delta x=\frac{b-a}{n}，x_k=a+k\Delta x\)
定積分と不等式：
区間[\(a，b\)]で連続な関数\(f(x)，g(x)\)について
\(f(x)\geq g(x)\) ならば \(\int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx\)
等号は，常に\(f(x)=g(x)\)のときに成り立つ
積分法の応用：
区間[\(a，b\)]で常に\(f(x)\geq 0\)とき，曲線\(y=f(x)\)と\(x\)軸および2直線\(x=a\)，\(x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(S=\int_a^b f(x) dx\)
逆に，区間[\(a，b\)]で常に\(f(x)\geq 0\)とき，
\(S=\int_a^b { -f(x) } dx\)
2曲線間の面積：
1 区間[\(a，b\)]で常に\(f(x)\geq g(x)\)とき，2つの曲線\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)および2直線\(x=a\)，\(x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(S=\int_a^b { f(x)-g(x) } dx\)
2 区間[\(c\leq y \leq d\)]で常に\(g(y)\geq 0\)とき，2つの曲線\(x=g(y)\)と\(y\)軸および2直線\(y=c\)，\(y=d\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(S=\int_c^d g(y) dy\)
いろいろな式で表される曲線と面積->
断面積\(S(x)\)と立体の体積\(V\)：
\(V=\int_a^bS(x)dx\) ただし，\(a<b\)
\(x\)軸の周りの回転体の体積：
\(V=\pi\int_a^b{ f(x) }^2 dx=\pi \int_a^b y^2 dx\) ただし，\(a<b\)
\(y\)軸の周りの回転体の体積：
\(V=\pi\int_a^b{ f(x) }^2 dx=\pi \int_a^b y^2 dx\) ただし，\(a<b\)
座標平面上を運動する点と道のり：
座標平面上を運動する点P(\(x，y\))の時刻\(t\)における\(x\)座標，\(y\)座標が\(t\)の関数で表せるとき，時刻\(t_1\)から\(t_2\)までにPが通過する道のり\(s\)は
\(s=\int_{t_1}^{t_2}| \vec{v} |dt=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt\)
媒介変数表示された曲線の長さ：
曲線\(x=f(t)\)，\(y=g(t)\) \(a\leq t \leq b\)の長さ\(L\)は
\(L=\int_a^b\sqrt{ ( \frac{dx}{dt} )^2+ ( \frac{dy}{dt} )^2} dt\)
曲線\(y=f(x)\)の長さ：
曲線\(y=f(x) (a\leq x \leq b)\)の長さ\(L\)は
\(L=\int_a^b \sqrt{1+ ( \frac{dy}{dx} )^2} dx\)
[affi id=17]
最後に
こんな公式あるんですね(-_-;)
受験や試験など頑張ってください！！
