どうも,ユキです。
今回は高校数学公式・定理まとめをすべてまとめました。
また,それぞれに記事を分けたものも作ったので,見づらかったらそちらから見てください。
ぜひ確認にでも使ってください!
数学Ⅰ
第1章 数と式
語句まとめ:単項式,多項式,次数,係数,同類項,降べきの順
指数法則:
\(a^m\times a^n=a^{m+n}\),\((a^m)^n=a^{mn}\),\((ab)^n=a^nb^n\)
展開の公式:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
\((a+b)^3=a^3+3a^b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
\((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)
因数分解の公式:
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
\(a^3+3a^b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\)
\(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\)
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\)
展開の工夫:
Aとおいて\((A+x)(A-x)\),掛ける順序を変える
因数分解の工夫:
Aとおいて\(A^2+(a+b)A+ab\),次数の低い方の文字について式を整理,次数が同じのときは\(x\)について降べきの順に整理,共通因数があればくくり出す。
語句まとめ:整数,自然数,有理数,無限小数,有限小数,循環小数,無理数
循環小数:
\(0.aaa\dots=0.\dot{a}\)
\(0.abcabcabc\dots=0.\dot{a}b\dot{c}\)
\(1.abcabcabc=1.\dot{a}b\dot{c}\)
整数の四則演算の性質:
2つの有理数の和,差,積,商は常に有理数
2つの実数の和,差,積,商は常に実数
絶対値の性質:
\(a\leq 0\)のとき\(|a|=a\),\(a<0\)のとき\(|a|=-a\),\(\sqrt{a^2}=|a|\)
根号を含む式の計算:
\(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\), \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\), \(\sqrt{k^2a}=|k|\sqrt{a}\)
有理化:
\(\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{b\sqrt{a}}{a}\)
分母の有理化:
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b\)
2重根号
\(\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\),\(\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|\)
不等式の性質:
\(A<B\),\(C<0\)ならば,\(AC>BC\),\(\frac{A}{C}>\frac{B}{C}\)
両辺に負の数を掛けると,両辺の大小関係は入れかわる
語句まとめ:1次不等式,連立不等式
絶対値を含む方程式・不等式:
\(|x|=c\)の解は \(x=\pm c\)
\(|x|<c\)の解は \(-c<x<c\)
\(|x|>c\)の解は \(x<-c\),\(c<x\)
絶対値と場合分け:\(A\leq 0\)のとき\(|A|=A\),\(A<0\)のとき\(|A|=-A\)
ド・モルガンの法則:
\(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\),
\(\overline{A\cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
語句まとめ:必要条件,十分条件,必要十分条件,命題とその逆・裏・対偶
対偶を利用する証明:
命題\(p\Rightarrow q\)を証明するのに,その対偶\(\overline{q}\Rightarrow \overline{p}\)を証明してもよい。
背理法を利用する証明:
命題が成り立たないと仮定して矛盾を導くことにより,元の命題が真であると結論する。
第2章 2次関数
1次関数,2次関数の一般形:
1次関数:\(y=ax+b\),
2次関数:\(y=ax^2+bx+c\)
\(y\)が\(x\)の関数であるとき,\(x\)の式を\(f(x)\)や\(g(x)\)のように書くことがある。
\(x=a\)のときの関数\(f(x)\)の値を\(f(a)\)で表す。
語句まとめ:定義域,値域,最大値,最小値、象限
2次関数のグラフ:
1-1 2次関数\(y=ax^2\)のグラフは放物線
1-2 その軸は\(y\)軸\((x=0)\),頂点は原点\((0,0)\)
1-3 \(a>0\)のとき,下に凸,\(a<0\)のとき 上に凸
2 2次関数\(y=a(x-p)^2+q\)のグラフは,\(y=ax^2\)のグラフを\(x\)軸
方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動した放物線。その軸は
\(x=p\), 頂点は点\((p,q)\)
3 2次関数\(f(x)\)のグラフを,\(x\)軸方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\)
だけ移動すると,移動後の放物線の方程式は,\(y-q=f(x-p)\)
対称移動:
2次関数\(y=f(x)\)のグラフを,\(x\)軸,\(y\)軸,原点それぞれに関して対称移動すると,移動後の放物線の方程式は,
\(x\)軸:\(-y=f(x)\),\(y\)軸:\(y=f(-x)\) 原点:\(-y=f(-x)\)
2次関数の定義域と最大・最小->
2次関数の決定->
連立3元1次方程式の解き方:
1.1文字を消去して,残り2文字の連立方程式を導く
2.2文字の連立方程式を解く
3.残りの1文字の値を求める
2次方程式の解の公式:
2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解は,
\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)について,\(D=b^2-4ac\)で定義された\(D\)を判別式という。
\(D=b^2-4ac\)の符号:
\(D>0\),\(D=0\),\(D<0\)
実数解 \(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\),\(-\frac{b}{2a}\),ない
実数解の個数 2個 1個 0個
2次関数のグラフと\(x\)軸の位置関係:
\(D=b^2-4ac\)の符号 \(D>0\),\(D=0\),\(D<0\)
\(x\)軸との位置関係:異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない
\(x\)軸との共有点の個数 2個 1個 0個
実数解 \(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\),\(-\frac{b}{2a}),ない
放物線と直線の共有点の座標->
2次不等式の解:
\(D=b^2-4ac\)の符号 \(D>0\),\(D=0\),\(D<0\)
\(ax^2+bx+c=0\)の実数解 \(x=\alpha, \beta\) \(x=\alpha\) ない
\(ax^2+bx+c>0\)の解 \(x<\alpha,\beta<x\) \(\alpha\)以外の全ての実数
全ての実数
\(ax^2+bx+c\geq 0\)の解 \(x<\alpha,\beta<x\) 全ての実数
全ての実数
\(ax^2+bx+c < 0\)の解 \(\alpha<x<\beta\) ない ない \(ax^2+bx+c\leq0\)の解 \(\alpha\leq x\leq \beta\) \(x=\alpha\) ない
2次不等式の応用->
連立不等式->
絶対値を含む関数のグラフ->
第3章 図形と計量
三角比の定義(正弦,余弦,正接):
\(sin\theta=\frac{y}{r}\), \(cos\theta=\frac{x}{r}\), \(tan\theta=\frac{y}{x}\)
三角比の応用:
\(y=rsin\theta\), \(x=rcos\theta\), \(y=xtan\theta\)
三角比の相互関係:
\(tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}\), \(sin^2\theta+cos^2\theta=1\),
\(1+tan^2\theta=\frac{1}{cos^2\theta}\)
三角比の拡張->
座標を用いた三角比の定義->
\(90^\circ-\theta\)の三角比
\(sin(90^\circ-\theta)=cos\theta\),\(cos(90^\circ-\theta)=sin\theta\),
\(tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{tan\theta}\)
\(180^\circ-\theta\)の三角比
\(sin(180^\circ-\theta)=sin\theta\),\(sin(180^{circ}-\theta)=-cos\theta\),
\(tan(180^\circ-\theta)=-tan\theta\)
直線の傾きと正接(タンジェント):
直線\(y=mx\)の傾き\(m\)と\(tan\theta\)について
\(m=tan\theta=\frac{y}{x}\)
正弦定理:
\(\triangle \)ABCの外接円の半径を\(R\)とすると,
$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$
余弦定理:
\(a^2=b^2+c^2-2b・c・coosA\), \(b^2=c^2+a^2-2c・a・cosB\),
\(c^2=a^2+b^2-2a・b・cosC\)
三角形の余弦を表す式:
\(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\), \(cosB=\frac{c^c2+a^2-b^2}{2ca}\), \(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
三角形の面積:
1 \(\triangle\)ABCの面積\(S\)は,
\(S=\frac{1}{2}b・c・sinA\),\(S=\frac{1}{2}c・a・sinB\),\(S=\frac{1}{2}a・b・sinC\)
2 \(\triangle\)ABCの面積を\(S\),\(\triangle\)ABCの内接円の半径を\(r\)とするとき,
\(S=\frac{1}{2}r(a+b+c)\)
ヘロンの公式:
\(\triangle\)ABCの面積\(S\)は
\(2s=a+b+c\)とすると \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
第4章 データの分析
平均値:
データの値が\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)であるとき,このデータの平均値\(\overline{x}\)は\(\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)\)
語句まとめ:最頻値,モード,中央値,範囲,四分位数,四分位範囲,四分位偏差
四分位範囲:\(Q_3-Q_1\),四分位偏差:\(\frac{Q_3-Q_1}{2}\)
分散と標準偏差:
データの値が\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)で,その平均値が\(\overline{x}\)のとき,
分散:\(s^2=\frac{1}{n}(x_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})+\cdots+(x_n-\overline{x})\)
標準偏差:s=\(\sqrt{分散}\)
分散のもう1つの式:
\(x^2\)の平均値を\(\overline{x^2}\)とすると,
分散:\(s^2=\frac{1}{n}(\overline{x^2}-\overline{x}^2)\)
語句まとめ:相関,正の相関,負の相関
\(x\)と\(y\)の共分散:
\(Cov(x,y)=((x_1-\overline{x})(y_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})(y_2-\overline{y})+\cdots+(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})\)
相関係数の定義:
\(x\)と\(y\)の共分散\(Cov(x,y)\),\(x\)の分散\(S_x\),\(y\)の分散\(S_y\)のとき,
相関係数:\(r=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt{S_xS_y}}\)
数学A
第1章 場合の数と確率
\(n(A)\):集合\(A\)の要素の個数:
空集合\(\emptyset\)は要素が1つもない集合であるから,
\(n(\emptyset)=0\)
\(U\):全体の集合
\(\overline{A}\):\(A\)の補集合
和集合,補集合の要素の個数:
\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\),\(n(\overline{A})=n(U)-n(A)\)
場合の数->
和の法則,積の法則->
\({}_n \mathrm{P}_r\):異なる\(n\)個のものから\(r\)個を取り出して並べる順列の総数
順列の総数\({}_n\mathrm{P}_r\):
$${}_n\mathrm{P}_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)$$
\(n\)の階乗
$${}_n\mathrm{P}_n=n!=n(n-1)(n-2)\cdots・3・2・1$$
順列の総数\({}_n\mathrm{P}_r\):
$${}_n\mathrm{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$
円順列の総数:
異なるn個の円順列の総数は\((n-1)!\)通り
重複順列の総数:
\(n\)個から\(r\)個とる重複順列の総数は\(n^r\)通り
組み合わせの総数\({}_n\mathrm{C}_r\):
$${}_n\mathrm{C}_r=\frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}=\frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)\cdots・3・2・1}$$
\({}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r}\)
同じものを含む順列の総数:
\(a\)が\(p\)個,\(b\)が\(q\)個,\(c\)が\(r\)個あるとき,それらを全部を1列に並べる順列の総数は
$${}_n\mathrm{C}_p\times {}_{n-p}\mathrm{C}_q=\frac{n!}{p!q!r!}$$
ただし,\(p+q+r=n\)
重複を許して作る組み合わせの総数:
異なる\(n\)個のものから重複を許して\(r\)個とって作る組み合わせの総数
\({}_{(n-1)+r}\mathrm{C}_r\)
語句まとめ:試行,事象,全事象
事象Aが起こる確率:
$$P(A)=\frac{事象Aの起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数}=\frac{n(A)}{n(U)}$$
確率の基本性質:
1 \(0\leq P(A)\leq 1\),\(P( \emptyset )=0\),\(P(U)=1\)
2 事象\(A,B\)が互いに排反であるとき
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
余事象と確率:
\(P(A)+P(\overline{A})=1\),すなわち \(P(\overline{A})=1-P(A)\)
一般の和事象の確率:
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
独立な試行の確率:
2つの試行SとTが独立であるとき,Sで事象\(A\)が起こり,かつTで事象\(B\)が起こる確率\(p\)は,\(P(A)\)と\(P(B)\)の積に等しい
\(p=P(A)\times P(B)\)
反復試行の確率:
1回の試行で事象\(A\)が起こる確率\(p\),この試行を\(n\)回行う反復試行で,\(A\)がちょうど\(r\)回起こる確率は
\({}_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}\)
条件付き確率:
\(A\)を全事象としたときに,事象\(B\)が起こる確率\(P_A (B)\)
\(P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}\)
確率の乗法定理:
\(P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\)
全確率の公式:
\(P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)=P(A)P_A(E)+P(B)P_B(E)\)
第2章 図形の性質
三角形の角の二等分線と比:
\(\triangle\)ABCの\(\angle\)Aの二等分線と辺BCとの交点は,辺BCをAB:ACに内分する。
三角形の外角の二等分線と比:
AB\(\neq \)ACである\(\triangle \)ABCの\(\angle\)Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点は,辺BCをAB:ACに外分する
三角形の辺の垂直二等分線:
三角形の3辺の垂直二等分線は1点(三角形の外心)で交わる
三角形の内角の二等分線:
三角形の3つの内角の二等分線は1点(三角形の内心)で交わる
三角形の中線:
三角形の3本の中線は1点(三角形の重心)で交わり,その点は各中線を2:1に内分する
チェバの定理:
\(\triangle\)ABCの内部にOがある。頂点A,B,CとOを結ぶ直線が向かい合う辺と,それぞれ点P,Q,Rで交わるとき
$$\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=1$$
メネラウスの定理:
\(\triangle\)ABCの辺BC,CA,ABまたはその延長が,三角形の頂点を通らない直線\(\ell\)と,それぞれ点P,Q,Rで交わるとき
$$\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=1$$
三角形の辺と角の大小関係:
\(\triangle\)ABCにおいて
\(b>c\Longleftrightarrow \angle B>\angle C\)
1つの三角形において:
1.2辺の長さの和は,他の一辺の長さよりも大きい
2.2辺の長さの差は,他の一辺の長さよりも小さい
\(|b-c| <a<b+c\)
円周角の定理:
1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり,その弧に対する中心角の大きさの半分である。
円周角の定理の逆:
4点A,B,P,Qについて,点P,Qが直線ABに関して同じ側にあって
\(\angle APB=\angle AQB\)ならば,4点A,B,P,Qは1つの円周上にある
円に内接する四角形の性質:
円の内接する四角形について,
1. 対角の和は\(180^\circ\)である
2. 内角は,その対角の外角に等しい
四角形が円に内接するための条件:
次のまたは
円の接線:
直線\(l\)が点Aで円Oに内接する\(\Longleftrightarrow OA \perp \ell\)
円の接線の長さ:
円の外部の1点からその点に引いた2つの接線の長さは等しい
円の接線と弦の作る角:
円の接線とその接点を通る弦の作る角は,その角の内部にある弧に対する円周角に等しい
方べきの定理Ⅰ:
円の2つの弦AB,CDの交点,またはそれらの延長の交点をPとすると,
\(PA・PB=PC・PD\)
方べきの定理Ⅱ:
円の外部の点Pから円に引いた折線の接点をTとする。Pを通ってこの円と2点A,Bで交わる直線を引くと,
\(PA・PB=PT^2\)
方べきの定理Ⅰの逆:
2つの線分ABとCD,またはABの延長とCDの延長が点Pで交わるとき,PA・PB=PC・PDが成り立つならば,4点A,B,C,Dは1つの円周上にある
語句まとめ:接点,外接,内接,共通接線
2直線の位置関係:
2直線\(\ell,m\)が平行であるとき,\(\ell\parallel m\)と書く
3直線\(\ell,m,n\)について,次のことが成り立つ:
\(\ell\parallel m\), \(m\parallel n\) ならば \(\ell\parallel n\)
三垂線の定理:
1 \(OA\perp \alpha,OB\perp \ell \) ならば \(AB \perp \ell\)
2 \(OA\perp \alpha,AB\perp \ell \) ならば \(OB \perp \ell\)
3 \(OA\perp l,AB\perp \ell \) ならば \(OA \perp \alpha\)
多面体
オイラーの多面体定理:
頂点の数\(v\),辺の数\(e\),面の数\(f\)とすると
\(v-e+f=2\)
多面体の面積->
第3章 整数の性質
語句まとめ:整数,約数,倍数
倍数判定法:
2の倍数 \(\cdots\) 一の位が0,2,4,6,8のいずれかである
5の倍数 \(\cdots\) 一の位が0,5のいずれかである
3の倍数 \(\cdots\) 各位の数の和が3の倍数である
9の倍数 \(\cdots\) 各位の数の和が9の倍数である
語句まとめ:素数,合成数,因数,素因数,素因数分解
自然数\(N\)の素因数分解が\(N=p^aq^br^c\cdots\)となるとき,\(N\)の整数の約数の個数は:
\((a+1)(b+1)(c+1)\cdots\)
語句まとめ:公約数,最大公約数,公倍数,最小公倍数,互いに素
\(a,b,c\)は整数で,\(a,b\)は互いに素であるとする
1 \(ac\)が\(b\)の倍数であるとき,\(c\)は\(b\)の倍数である
2 \(a\)の倍数であり,\(b\)の倍数でもある整数は,\(ab\)の倍数である。
最大公約数・最小公倍数の性質:
2つの自然数\(a,b\)の最大公約数を\(g\),最小公倍数を\(l\)とする。\(a=ga’\),\(b=gb’\)であるとすると,次のことが成り立つ
\(a’,b’\)は互いに素,\(l=ga’b’\),\(ab=gl\)
整数の割り算:
整数\(a\)と整数\(b\)について
\(a=bq+r\),\(0\leq r<b\)
となる整数\(q,r\)は1通りに定まる
商,余り->
連続する整数の積の性質:
連続する2つの整数の積は2の倍数
連蔵する3つの整数の積は6の倍数
自然数の積と素因数の個数->
和,差,積の余り:
\(m\)を正の整数とし,2つの整数\(a,b\)を\(m\)で割ったあまりを,それぞれ\(r,r’\)とすると,
1 \(a+b\)を\(m\)で割ったあまりは,\(r+r’\)を\(m\)で割った余りに等しい
2 \(a-b\)を\(m\)で割ったあまりは,\(r-r’\)を\(m\)で割った余りに等しい
3 \(ab\)を\(m\)で割ったあまりは,\(rr’\)を\(m\)で割った余りに等しい
法,合同:
\(a\)を\(m\)で割ったあまりと,\(b\)を\(m\)で割ったあまりが等しいとき,\(a\)と\(b\)は\(m\)を法として合同であるという
合同式:\(a\equiv b (mod m)\)
合同式について:
\(a\equiv c \pmod{m}\),\(b\equiv d \pmod{m} \)のとき
1 \(a+b\equiv c+d \pmod{m}\) 2 \(a-b\equiv c-d \pmod{m}\)
3 \(ab\equiv cd \pmod{m}\) 4 \(a^k\equiv c^k \pmod{m}\)
ユークリッドの互除法->
\(a=bq+r\):
自然数\(a,b\)について,\(a\)を\(b\)で割ったときのあまりを\(r\)とすると,\(a\)と
\(b\)の最大公約数は,\(b\)と\(r\)の最大公約数に等しい
互除法の活用:
2つの整数\(a\),\(b\)が互いに素であるとき,整数\(c\)について \(ax+by=c\)を満たす整数\(x,y\)が存在する。
\(a,b,c\)は整数の定数で,\(a\neq 0\),\(b\neq 0\)とする。\(x\),\(y\)の1次方程式:
\(ax+by=c\)
を成立させる整数\(x\),\(y\)の組を,この方程式の整数解という。この方程式の整数解を求めることを1次不定方程式を解くという。
\(ax+by=0\)の整数解:
2つの整数\(a,b\)が互いに素であるとき,方程式\(ax+by=0\)の全ての整数解は,次のように表される。
\(x=bk\) ,\(y=-ak\) (\(k\)は整数)
\(ax+by=1\)の整数解:
1 方程式\(ax+by=1\)の整数解を1つ求める
2 \(ax+by=0\)に帰着させて,整数解を全て求める
\(ax+by=c\)の整数解:
1 方程式\(ax+by=1\)の整数解を1つ求める
2 両辺に\(c\)を掛けて,\(a(cx)+b(cy)=c\)にする
3 \(ax+by=0\)に帰着させて,整数解を全て求める
整数の性質の活用->
語句まとめ:有限小数,無限小数,循環小数
有限小数で表される分数:
\(\frac{m}{n}\)は有限小数で表される\(\Longleftrightarrow\)\(n\)の素因数は2,5だけからなる
\(n\)進法->
底の変換->
数学Ⅱ
第1章 式と証明
3次式の展開と因数分解:
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\),\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ba^2-b^3\)
展開の公式:
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\),\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
因数分解の公式:
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\),\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
二項定理:
\((a+b)^n={}_n\mathrm{C}_0a^n+{}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b+{}_n\mathrm{C}_2a^{n-2}b^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r+\cdots+{}_n\mathrm{C}_nb^n \)
二項定理の応用:
\((1+x)^n=+{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_1x+{}_n\mathrm{C}_2x^2+{}_n\mathrm{C}_nx^n\)
\((a+b+c)^n\)の展開式:
\((a+b+c)^n\)の展開式における\(a^pb^qc^r\)の項の係数は
\(\frac{n!}{p!q!r!}\) ただし \(p+q+r=n\)
語句まとめ:整式
\(A=BQ+R\):
\(A\),\(B\)が整式とすると,\(A\)を\(B\)で割った商は\(Q\)となり,余りは\(R\)となる。
とくに,
\(A=BQ\)のとき:
つまり,\(R=0\)のときは\(A\)は\(B\)で割り切れるという
分数式の約分:
\(\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}\) (ただし \(C \neq 0 \))
分数式の四則演算:
\(\frac{A}{B}\times\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}\)
分数式の加法・減法:
\(\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}\)
語句まとめ:恒等式
恒等式の性質:
\(ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’\)が\(x\)についての恒等式
\(\Longleftrightarrow\) \(a=a’\),\(b=b’\),\(c=c’\)
\(ax^2+bx+c=0\)が\(x\)についての恒等式
\(\Longleftrightarrow\) \(a=b=c=0\)
代入による恒等式の係数決定->
恒等式に関する証明->
\(A=B\)の証明方法:
1 \(A\)か\(B\)の一方を変形して,他方を導く
2 \(A\)と\(B\)の両方を変形して,同じ式を導く
3 \(A-B\)を変形して,0になることを示す
条件付きの等式の証明->
条件が比例式の等式の証明->
不等式の証明->
実数の大小関係:
\(a>b\), \(b>c\) \(\Rightarrow\) \((a>c)\)
\(a>b\) \(\Rightarrow\) \(a+c>b+c,a-c>b-c\)
\(a>b\), \(c>0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)
\(a>b\), \(c<0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)
2数の大小関係と差:
\(a>b\) \(\Longleftrightarrow\) \(a-b>0\)
\(a<b\) \(\Longleftrightarrow\) \(a-b<0\)
実数の平方の性質:
実数\(a\)について \(a^2 \geq 0\)
等号が成り立つのは,\(a=0\)のとき
実数\(a,b\)について \(a^2+b^2 \geq 0\)
等号が成り立つのは,\(a=b=0\)のとき
相加平均:
\(\frac{a+b}{2}\)を\(a\)と\(b\)の相加平均という
相乗平均:
\(a>0\),\(b>0\)のとき,\(\sqrt{ab}\)を\(a\)と\(b\)の相乗平均という
相加平均と相乗平均の大小関係:
\(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\)
等号成立は,\(a=b\)のときである
第2章 複素数と方程式
複素数の相等:
\(a+bi=c+di\) \(\Longleftrightarrow\) \(a=c\)かつ\(b=d\)
とくに\(a+bi=0\) \(\Longleftrightarrow\) \(a=0\) かつ \(b=0\)
語句まとめ:共役な複素数
負の数の平方根:
\(a>0\) \(-a\)の平方根は\(\pm \sqrt{-a}=\pm \sqrt{a}i\)である
2次方程式の解の公式:
\(ax^2+bx+c=0\)の解は \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
2次方程式の解の種類の判別:
\(ax^2+bx+c=0\)の判別式を\(D\)とすると,
\(D>0\) \(\Longleftrightarrow\) 異なる2つの実数解
\(D=0\) \(\Longleftrightarrow\) 重解
\(D<0\) \(\Longleftrightarrow\) 異なる2つの虚数解
解と係数の関係:
\(ax^2+bx+c=0\)の2つの解を\(\alpha\),\(\beta\)とすると
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\),\(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)
\(ax^2+bx+c=0\)が2つの解\(\alpha\),\(\beta\)を持つとき
\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\)
\(\alpha\),\(\beta\)を解とする2次方程式
\(\alpha\),\(\beta\)を解とする2次方程式の1つは
\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
2次方程式の実数解の符号:
1 \(ax^2+bx+c=0\)の2つの解\(\alpha\),\(\beta\)と判別式\(D\)について
2 \(\alpha\),\(\beta\)は異なる2つの正の解\(\Longleftrightarrow\)
\(D>0\)で,\(\alpha+\beta > 0\)かつ\(\alpha\beta>0\)
3 \(\alpha\),\(\beta\)は異なる2つの負の解\(\Longleftrightarrow\) \(D>0\)で,
\(\alpha+\beta > 0\)かつ\(\alpha\beta>0\)
\(\alpha\),\(\beta\)は符号の異なる解\(\Longleftrightarrow\) \(\alpha\beta<0\)
剰余の定理と因数定理:
\(P(x)=(x-k)Q(x)+R\)
\(x=k\)のとき,\(P(k)=R\)
剰余の定理:
整式\(P(x)\)を\((x-k)\)で割ったあまりは,\(P(k)\)に等しい
因数定理:
整式\(P(x)\)が\(x-k\)で割り切れる \(\Longleftrightarrow\) \(P(k)=0\)
組立除法->
高次方程式->
第3章 図形と方程式
語句まとめ:内分,外分,象限
線分の内分点・外分点:
線分\(m:n\)を内分する点をP,外分する点Q
Pの座標\(\frac{na+mb}{m+n}\),外分点Qの座標は\(\frac{-na+mb}{m-n}\)
線分ABの中点の座標は\(\frac{a+b}{2}\)
<補足>内分点の座標で\(n\)を\(-n\)に置き換えたものが,外分点の座標
2点間の距離:
2点A(\(x_1,y_1)\),B(\(x_2,y_2\))間の距離ABは
$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
原点OとA(\(x_1,y_1)\)の距離OAは
$$OA=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$$
内分点,外分点の座標:
2点A(\(x_1,y_1\)),B(\(x_2,y_2\))を結ぶ線分ABを,\(m:n\)に内分する点をP,外分する点Qとする
Pの座標 \(( \frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n})\)
Qの座標 \(( \frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\frac{-ny_1+my_2}{m-n})\)
線分ABの中点の座標 \((\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} )\)
重心の座標:
3点A(\(x_1,y_1\)),B(\(x_2,y_2\)),C(\(x_3,y_3\))を頂点とする
\(\triangle\)ABCの重心の座標
\(( \frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3} )\)
直線の方程式(1):
点(\(x_1,y_1\))を通り,傾きが\(m\)の直線の方程式
\(y-y_1=m(x-x_1)\)
直線の方程式(2):
異なる2点(\(x_1,y_1\)),(\(x_2,y_2\))を通る直線の方程式
\(x_1\neq x_2 y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)
\(x_1=x_2 x=x_1\)
2直線の平行,垂直:
2直線\(y=m_1x+k_1\),\(y=m_2x+k_2\)について
\(m_1=m_2\) \(\Longleftrightarrow\) 2直線が平行
\(m_1m_2=-1\) \(\Longleftrightarrow\) 2直線が垂直
点(\(x_1,y_1\))を通り,直線\(ax+by+c=0\)に平行な直線,垂直な直線:
平行 \(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\)
垂直 \(b(x-x_1)-a(y-y_1)=0\)
直線に対して対称な点:
点と直線の距離:
$$d=\frac{| ax_1+by_1+c |}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
円の方程式:
点(\(a,b\))を中心とする半径\(r\)の円の方程式
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
\(x^2+y^2+lx+my+n=0\)の表す図形->
円と直線:
\(D\)の符号\(D>0\) \(D=0\) \(D<0\)
\(ax^2+bx+c=0\)の実数解 異なる2つの実数解 重解(1つの解) なし
円と直線の位置関係 異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない
共有点の個数 2個 1個 0個
\(d\)と\(r\)の大小:
\(d<r\) \(d=r\) \(d>r\)
円と直線の位置関係 異なる2点で交わる 接する 共有点を持たない
円上の点における接線の方程式:
円\(x^2+y^2=r^2\)上の点P(\(x_1,y_1\))における接線の方程式
$$x_1x+y_1y=r^2$$
2つの円の位置関係->
2つの円の共有点の座標->
2つの円の交点を通る図形->
軌跡を求める手順:
1 点P(\(x,y\))として,Pの条件を\(x,y\)の式で表す
2 逆に,1で求めた図形上のすべての点Pが,与えられた条件を満たすことを確かめる
線分の中点の軌跡:
Q(\(s,t\)),P(\(x,y\))とする。Qの満たす条件を表す\(s,t\)の式と,QとPの座標の関係式から,\(x,y\)の方程式を導く。
直線と領域:
直線\(\ell\):\(y=mx+k\)
1 \(y>mx+k\)の表す領域は,直線\(l\)の上側の部分
2 \(y<mx+k\)の表す領域は,直線\(l\)の下側の部分
円と領域:
1 \(x^2+y^2<r^2\)の表す領域は,円\(x^2+y^2=r^2\)の内部
2 \(x^2+y^2>r^2\)の表す領域は,円\(x^2+y^2=r^2\)の外部
連立不等式の表す領域->
領域の最大・最小->
領域を利用した証明->
\(p\)ならば\(q\) \(\Longleftrightarrow\) \(P\subset Q\)
放物線を境界線とする領域:
曲線\(F\):\(y=ax^2+bx+c\)
\(y>ax^2+bx+c\)の表す領域は,曲線\(F\)の上側の部分
\(y<ax^2+bx+c\)の表す領域は,曲線\(F\)の下側の部分
第4章 三角関数
語句まとめ:動径,始線
動径の表す角:
動径OPと始線OXのなす角の1つを\(\alpha\)とすると,動径OPの表す角は\(\alpha+360^\circ \times n\)。\(n\)は整数
語句まとめ:弧度法,度数法
弧度法と扇形:
半径\(r\),中心核\(\theta\)(ラジアン)の扇形の弧の長さ\(l\),面積\(S\)は
\(l=r\theta\), \(S=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(\theta\)の三角関数:
\(sin \theta=\frac{y}{r}\),\(cos \theta=\frac{x}{r}\),\(tan \theta=\frac{y}{x}\)
\(\theta\)の正弦,余弦,正接という
語句まとめ:単位円
三角関数の相互関係:
\(tan \theta=\frac{sin \theta}{cos \theta}\) ,\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)
\(1+tan^2\theta=\frac{1}{cos^2\theta}\)
三角関数のグラフ:
\(sin \theta\)の性質:
\(sin \theta\)の値は,P(\(x,y\))の\(y\)座標に等しい
\(y=sin\theta\)のグラフは原点に対して対称
周期は2\(\pi\)
\(cos \theta\)の性質:
\(sin \theta\)の値は,P(\(x,y\))の\(x\)座標に等しい
\(y=sin\theta\)のグラフは\(y\)軸に対して対称
周期は2\(\pi\)
\(tan\theta)の性質:
\(tan \theta\)の値は,T(\(1,m\))の\(y\)座標に等しい
\(tan (\theta+\pi)=tan \theta\)が成立
グラフは原点に対して対称
周期は\(\pi\)
三角関数で成り立つ等式:
\(sin (\theta+2n\pi)=sin \theta\)
\(cos (\theta+2n\pi)=cos \theta\)
\(tan (\theta+n\pi)=tan \theta\)
三角関数のグラフの対称性:
\(sin (-\theta)=-sin \theta\)
\(cos (-\theta)=sin \theta\)
\(tan (-\theta)=-tan \theta\)
\(sin (\theta+\pi)=-sin \theta\)
\(cos (\theta+\pi)=-cos \theta\)
\(tan (\theta+\pi)=tan \theta\)
\(sin (\theta+\frac{\pi}{2})=cos \theta\)
\(cos (\theta+\frac{\pi}{2})=-sin \theta\)
\(tan (\theta+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{tan \theta}\)
三角関数を含む方程式->
三角関数を含む不等式->
三角関数を含む関数の最大値,最小値->
正弦,余弦の加法定理:
\(sin(\alpha+\beta)=sin \alpha cos \beta+cos \alpha sin \beta\)
\(sin(\alpha-\beta)=sin \alpha cos \beta-cos \alpha sin \beta\)
\(cos(\alpha+\beta)=cos \alpha cos \beta-sin \alpha sin \beta\)
\(cos(\alpha-\beta)=cos \alpha cos \beta+sin \alpha sin \beta\)
正接の加法定理:
\(tan(\alpha+\beta)=\frac{tan \alpha+tan \beta}{1-tan \alpha tan \beta}\)
\(tan(\alpha-\beta)=\frac{tan \alpha-tan \beta}{1+tan \alpha tan \beta}\)
正弦,余弦の2倍角の公式:
\(sin 2\alpha=2sin \alpha cos \alpha\)
\(cos 2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha\)
\(cos 2\alpha=1-2sin^2\alpha\)
\(cos 2\alpha=2cos^2\alpha-1\)
正弦,余弦の半角の公式:
\(sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos\alpha}{2}\),\(cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+cos\
alpha}{2})
正接の2倍角,半角の公式:
\(tan 2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}\),\(tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos \alpha}{1+cos \alpha}\)
三角関数の合成:
\(a sin \theta+b sin \theta=\sqrt{a^2+b^2} sin(\theta+\alpha)\)
ただし,\(cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
正弦,余弦の積を和や差に変形する4つの公式:
\(sin\alpha cos \beta=\frac{1}{2}{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}\)
\(cos\alpha sin \beta=\frac{1}{2}{sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)}\)
\(cos\alpha cos \beta=\frac{1}{2}{cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}\)
\(sin\alpha sin \beta=\frac{1}{2}{cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)}\)
正弦,余弦の和や差を積に変形する4つの公式:
上の4つの公式において,\(\alpha+\beta=A\),\(\alpha-\beta=B\)とおくと,
\(sin A+sin B=2sin \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})
\(sin A-sin B=2cos \frac{A+B}{2}sin \frac{A-B}{2})
\(cos A+cos B=2cos \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})
\(cos A-cos B=-2sin \frac{A+B}{2}cos \frac{A-B}{2})
第5章 指数関数
累乗(1)
\(a^0=1,a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) \(a^{-1}=\frac{1}{a}\)
累乗(2):
\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\),\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\),\(a^{-r}
=\frac{1}{a^r}\)
指数法則(指数が有理数):
\(r\),\(s\)は有理数
\(a^r\times a^s=a^{r+s}\) \(\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\)
\((a^r)^s=a^{rs}\) \((ab)^r=a^rb^r\)
語句まとめ:指数関数,増加関数,減少関数
指数関数\(y=a^x\)の特徴:
定義域:実数全体,値域:正の数全体
\(a>1\)のとき,増加関数
\(r<s \Longleftrightarrow a^r<a^s\)
\(0<a<1\)のとき,減少関数
\(r<s \Longleftrightarrow a^r>a^s\)
指数関数を含む方程式,不等式->
語句まとめ:底,対数,真数
指数と対数:
\(M>0\)とすると
\(M=a^p \Longleftrightarrow log_aM=p\)
\(log_aa^p=p\),\(a^{log_ap}=p\)
対数の性質(1):
\(log_a1=0\),\(log_aa=1\)
対数の性質(2):
\(M>0,N>0\)で\(k\)は実数
\(log_aMN=log_aM+log_aN\) \(log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN\)
\(log_aM^k=klog_aM\)
底の変換公式:
\(a,b,c\)は正の数,\(a\neq 1\),\(b\neq 1\),\(c\neq 1\)とするとき
\(log_ab=\frac{log_cb}{logca}\) とくに\(log_ab=\frac{1}{log_ba}\)
対数関数\(y=log_ax\)の特徴:
定義域は正の数全体,値域は実数全体
\(a>1\)のとき,増加関数。すなわち
\(0<p<q \Longleftrightarrow log_ap<log_aq\)
\(0<a<1\)のとき,減少関数。すなわち
\(0<p<q \Longleftrightarrow log_ap>log_aq\)
対数関数を含む方程式,不等式->
対数を含む関数の最大値,最小値-?
常用対数->
桁数と常用対数の値の関係:
自然数\(N\)が\(m\)桁のかずであるとは,\(N\)が
\(10^{m-1} \leq N<10^m \)
を満たす。常用対数をとると,
\(m-1\leq log_{10}N<m\)
第6章 微分法と積分法
語句まとめ:平均変化率,極限値,微分係数
極限値:
関数\(f(x)\)において,\(x\)が\(a\)に近づくとき,\(f(x)\)の値が定数\(a\)に近づくならば,\(\alpha\)を\(f(x)\)の極限値という。このことを次のように書く。
\(\lim_{x \to a} f(x)=\alpha\)
\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数:
\(f’(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)^f(a)}{h}\)
接戦の傾きと微分係数:
関数\(y=f(x)\)のグラフ上の点\(A(a,f(a))\)における接線の傾きは,関数\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数\(f’(a)\)に等しい
導関数\(f’(x)\):
$$f’(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
関数\(x^n\)の導関数:
\((x^n)’=nx^{n-1}\)
\((c)’=0\)
定数倍,和の導関数:
\(k\)は定数
\(y=kf(x)+lg(x)\)を微分
\(y’=kf’(x)+lg’(x)\) \(k,l\)は定数
接線の方程式:
関数\(y=f(x)\)のグラフの点(\(a,f(a))\)における接線の方程式
\(y-f(a)=f’(a)(x-a)\)
\(f(x)\)の増減と\(f’(x)\)の符号:
\(f’(x)>0\)となる\(x\)の値の範囲では増加\(f’(x)<0\)となる\(f(x)<0\)となる\(x\)の値の範囲では減少
語句まとめ:増減表,極大,極大値, 極小, 極小値,極値
\(f(x)\)が極値をとるための十分条件:
\(f(x)\)が\(x=a\)で極地をとるならば,\(f’(a)=0\)である
<補足>逆は成り立たない
関数の最大・最小->
方程式への応用->
不等式への応用->
語句まとめ:原始関数,積分定数,不定積分
\(f(x)\)の不定積分:
\(F’(x)=f(x)\)のとき
\(\int f(x)dx=F(x)+C\) ただし,\(C\)は積分定数
\(x^n\)の不定積分:
\(\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)
定数倍,和の不定積分:
\(F’(x)=f(x),G’(x)=g(x)\)のとき
\(\int kf(x)+lg(x)dx=kF(x)+lG(x)+C\) \(k\),\(l\)は定数
定積分:
\(F’(x)=f(x)\)のとき
\(\int_{a}^{b}f(x)dx=[ F(x) ]_a^b=F(b)-F(a)\)
関数の定数倍,和の定積分:
\(\int_{a}^{b}kf(x)+lg(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx+l\int_{a}^{b} g(x)dx \)
定積分の性質:
1 \(\int_{a}^{a}f(x)=0\)
2 \(\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx\)
3 \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)
\(a\)を定数とするとき,
4 \(\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)
定積分と図形の面積:
\(a\leq x\leq b\)の範囲で\(f(x)\geq g(x)\)のとき,\(y=f(x)\)のグラフと\(x\)軸および2直線\(x=a,x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(S=\int_{a}^{b}{f(x)-g(x)}dx\)
曲線と接線で囲まれた図形の面積->
語句まとめ:切り取る線分の長さ
放物線\(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\)と\(x\)軸で囲まれた部分の面積:
\(S=\int_{\alpha}^{\beta}-a(x-\alpha)(x-\beta)dx=\frac{a(\beta-\alpha)^3}{6}\)
数学B
第1章 平面上のベクトル
語句まとめ:大きさ,向き
逆ベクトル:
\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}\)のとき,
\(-\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{AB}\)
ベクトルの加法:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
ベクトルの加法の性質:
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\) 交換法則
\(( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )+ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\) 結合法則
零ベクトルの性質:
\(\overrightarrow{a}(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}\),
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\)
ベクトルの減法:
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\)
\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\),
ベクトルの実数倍,和の性質:
\(k(\overrightarrow{la})+(kl)\overrightarrow{a}\)
\((k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}\)
\(k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)
ベクトルの平行条件:
\(\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}\) \(\Longleftrightarrow\)\(\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}\)となる実数\(k\)がある
単位ベクトル:
\(\overrightarrow{a}\)と平行な単位ベクトルは
\(\frac{\overrightarrow{a}}{| \overrightarrow{a} |}\)と\(-\frac{\overrightarrow{a}}{| \overrightarrow{a} |}\)
\(\overrightarrow{a}\)の大きさ:
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\)のとき
\(| \overrightarrow{a} |=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)
実数倍,和の成分表示:
\(k(a_1,a_2)+g(b_1,b_2)=(ka_1+gb_1,ka_2+gb_2)\)
2点A(\(a_1,a_2\)),B(\(b_1,b_2\))について:
\(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)\), \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+
(b_2-a_2)^2}\)
ベクトルの内積:
\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\theta\)
ただし,\(\theta\)は\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)のなす角
ベクトルの垂直と内積:
\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\) \(\Longleftrightarrow\)\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=0\)
内積と成分:
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\)のとき
\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
ベクトルのなす角の余弦:
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\),\(\overrightarrow{a}=(b_1,b_2)\)のなす角を\(\theta\)とする。
\(cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)
ベクトルの垂直条件:
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\)
\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b} \Longleftrightarrow\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=0\)
内積の性質:
\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2\)
\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}・\overrightarrow{a}\)
\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})・\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}・\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}・\overrightarrow{c}\)
\(\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}・\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}・\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}・\overrightarrow{c}\)
\(\overrightarrow{ka}・\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}・\overrightarrow{kb}=k(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b})\) ただし,\(k\)は実数
内分点・外分点の位置ベクトル:
2点\(A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})\)に対して,線分ABを\(m,n\)に内分する点,\(m:n\)に内分する点の位置ベクトルは,
内分 \(\cdots \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\)
外分 \(\cdots \frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\)
中点 \(\cdots \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\)
3点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\)),C(\(\overrightarrow{c}\))を頂点とする\(\triangle\)ABCの重心Gの位置ベクトル\(\overrightarrow{g}\):
\(\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\)
三角形の中線:
三角形の重心は,3点の中線が交わる線で,各中線を2:1に内分する
1直線上にある点:
点Cが直線AB上にある \(\Longleftrightarrow\) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\) となる実数\(k\)がある
点A(\(x_1,y_1\))を通り,\(\overrightarrow{d}=(l,m)\)に平行な直線の方程式:
\(m(x-x_1)-l(y-y_1)=0\)
異なる2点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\))を通る直線ABのベクトル方程式:
\(\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}, s+t=1\)
法線ベクトル:
点A(\(x_1,y_1\))を通り,\(\overrightarrow{n}=(a,b)\)に垂直な直線の方程式は
\(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\)
ベクトル \(\overrightarrow{a,b}\) は,直線 \(ax+by+c=0\) に垂直である
第2章 空間ベクトル
語句まとめ:\(xy\)平面,\(yz\)平面,\(zx\)平面
原点Oと点P(\(a,b,c\))の距離は:
\(OP=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
ベクトルの大きさ:
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\)の大きさは \(|\overrightarrow{a}|=
\sqrt{a_{1}^{2}a_{2}^{2}a_{3}^{2}}\)
和,実数倍の成分表示:
\( k(a_1,a_2,a_3)+g(b_1,b_2,b_3)= (ka_1+gb_1,ka_2+gb_2,ka_3+gb_3)\)
ただし,\(k,g\)は実数
2点A,Bとベクトル\(\overrightarrow{AB}\):
2点A(\(a_1,a_2,a_3\)),B(\(b_1,b_2,b_3\))について
\(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)\)
\(|\overrightarrow{AB}|\sqrt{(b_1-a_1)^2(b_2-a_2)^2(b_3-a_3)^2}\)
ベクトルの内積:
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\),\(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\)のなす角\(\theta\)とするとき
\(\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)
\(cos\theta =\frac{\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)
ベクトルの垂直条件:
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\),\(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\)のとき
\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b} \Longleftrightarrow \overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=0\)
位置ベクトル:
2点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\))
に対して \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)
2点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\))に対して,線分ABを\(m:n\)に内分する点,\(m:n\)に外分する点の位置ベクトル
内分 \(\cdots\) \(\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\)
外分 \(\cdots\) \(\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\)
中点 \(\cdots\) \(\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\)
3点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\)),C(\(\overrightarrow{c}\))を頂点とする\(\triangle\)ABCの重心Gの位置ベクトル\(\overrightarrow{g}\):
\(\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\)
1直線上にある点->
同じ平面上にある点->
内積の利用->
同じ平面上にある点:
一直線上にない3点A(\(\overrightarrow{a}\)),B(\(\overrightarrow{b}\)),C\(\overrightarrow{c}\)と点P(\(\overrightarrow{p}\))について
点Pが3点A,B,Cの定める平面ABC上にある
\(\Longleftrightarrow\) \(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}\), \(s+t+u=1\)となる実数\(s,t,c\)がある
2点間の距離と内分点・外分点の座標:
2点A\((a_1,a_2,a_3)\),B\((b_1,b_2,b_3)\)について
A,B間の距離:
\(AB=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\)
線分ABを\(m:n\)に内分する点の座標:
\((\frac{n\overrightarrow{a_1}+m\overrightarrow{b_1}}{m+n},\frac{n\overrightarrow{a_2}+m\overrightarrow{b_2}}{m+n},\frac{n\overrightarrow{a_3}+m\overrightarrow{b_3}}{m+n})\)
線分ABを\(m:n\)に外分する点の座標:
\((\frac{-n\overrightarrow{a_1}+m\overrightarrow{b_1}}{m-n},\frac{-n\overrightarrow{a_2}+m\overrightarrow{b_2}}{m-n},\frac{-n\overrightarrow{a_3}+m\overrightarrow{b_3}}{m-n})\)
座標平面に平行な平面の方程式:
点A(\(a\),0,0)を通り,\(yz\)平面に平行な平面の方程式は \(x=a\)
点B(0,\(b\),0)を通り,\(zx\)平面に平行な平面の方程式は \(y=b\)
点C(0,0,\(c\))を通り,\(zy\)平面に平行な平面の方程式は \(z=c\)
球面の方程式:
点(\(a,b,c\))を中心とする半径\(r\)の球面の方程式は\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)
とくに,原点を中心とする半径\(r\)の球面の方程式は\(x^2+y^2+z^2=r^2\)
平面の方程式:
点A(\(x_1,y_1,z_1\))を通り,ベクトル\(\overrightarrow{n}=(a,b,c)\)に垂直な平面\(\alpha\)上の点をP(\(x,y,z\))とすると,平面\(\alpha\)の方程式
\(a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\)
第3章 数列
語句まとめ:初項,一般項,公差,項数,末項
等差数列の一般項:
初項\(a\),公差\(d\)の等差数列\({a_n}\)の一般項は
\(a_n=a+(n-1)d\)
等差数列の性質:
\(a_{n+1}=a_n+d\) すなわち \(a_{n+1}-a_n=d\)
等差数列の和:
等差数列の初項から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とする
初項\(a\),第\(n\)項\(l\)のとき \(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\)
初項\(a\),公差\(d\)のとき \(S_n=\frac{1}{2}n{2a+(n-1)d}\)
等差数列の和の最大->
語句まとめ:等比数列,公比
等比数列の一般項:
初項\(a\),公比\(r\)の等比数列{\(a_n\)}の一般項
\(a_n=ar^{n-1}\)
等比数列の和:
初項\(a\),公比\(r\)の等比数列の初項から第\(n\)項までの和\(S_n\)は
\(r\neq 1\)のとき \(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r} または S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\)
\(r=1\)のとき \(S_n=na\)
複利計算->
いろいろな数列->
和の記号:
初項から第\(n\)項¥までの和を,第\(k\)項\(a_k\)と和の記号\(\sum\)を用いて
\(\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1a_2a_3+\cdots+a_n\)
自然数に関する和の公式:
\(\sum_{k=1}^{n}1=n\),\(\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\),
\(\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\),\(\sum_{k=1}^{n}k^3={ \frac{1}{2}n(n+1) }^2\)
和の記号の性質:
\(\sum_{k=1}^{n}(pa_k+qb_k)= p\sum_{k=1}^{n}a_k+q\sum_{k=1}^{n}b_k\)
ただし,\(p,q\)は\(k\)に無関係な定数
階差数列と一般項:
数列{\(a_n\)}の階差数列を{\(b_n\)}とすると
\(n\geq 2\)のとき \(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\)
数列の和と一般項:
数列{\(a_n\)}と初項\(a_1\)から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると
\(a_1=S_1\)
\(n\geq 2\)のとき \(a_n=S_n-S_{n-1}\)
いろいろな数列の和->
部分分数分解->
数学的帰納法->
等差数列と等比数列の漸化式:
等差数列{\(a_n\)}の漸化式は \(a_{n+1}=a_n+d\)
等比数列{\(a_n\)}の漸化式は \(a_{n+1}=ra_n\)
階差数列と一般項:
数列{\(a_n\)}の階差数列を{\(b_n\)}とすると
\(n\geq 2\)のとき \(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\)
\(a_{n+1}=pa_n+q\)を満たす数列の階差数列->
隣接3項間の漸化式->
数学的帰納法の原理:
等式の証明->
不等式の証明->
整数の性質の証明->
第4章 確率分布と統計的な推測
語句まとめ:期待値,平均
確率の総和:
確率変数\(X\)のとりうる値\(x_k\)が起こる確率を\(p_k\)とすると\(p_1\)から\(p_n)までの総和は
$$\sum_{k=1}^{n} p_k=p_1+p_2+\cdots+p_n=1$$
確率変数の期待値(平均):
確率変数\(X\)の期待値\(E(X)\)は
\(E(X)=\sum_{k=1}^{n} x_kp_k=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\)
確率変数\(X^2\)の期待値\(E(X^2)\):
\(E(X^2)=\sum_{k=1}^{n}x_k^2p_k \)
確率変数の分散\(V(X)\):
確率変数\(X\)の期待値を\(m\)とするとき,分散\(V\)は,確率変数\((X-m)^2\)の期待値で定義され,
$$V(X)=E((X-m)^2)=\sum_{k=1}^{n}(x_k-m)^2p_k=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+\cdots+(x_n-m)^2p_n$$
\(aX+b\)の期待値\(E(aX+b)\):
\(X\)を確率変数,\(a,b\)を定数とすると,
$$E(aX+b)=aE(X)+b$$
分散と期待値の関係:
確率変数\(X\)について \(V(X)=E(X^2)-{ E(X) }^2\)
標準偏差:
\(\sigma=\sqrt{V(X)}\)
\(aX+b\)の分散:
\(X\)を確率変数,\(a\),\(b\)を定数とするとき
\(V(aX+b)=a^2V(X)\), \(\sigma(aX+b)=| a |\sigma(X)\)
2つの確率変数の和の期待値:
\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
\(aX+bY\)の期待値:
\(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)
独立な2つの確率変数の積の期待値:
2つの確率変数\(X,Y\)が互いに独立であるとき
\(E(XY)=E(X)E(Y)\)
独立な2つの確率変数の和の分散:
2つの確率変数\(X,Y\)が互いに独立であるとき
\(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)
3つ以上の確率変数の独立:
\(E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z)\)
\(V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z)\)
語句まとめ:二項分布,正規分布,連続型確率変数
1回の試行で事象\(A\)が起こる確率を\(p\)とする。この試行を\(n\)回行う反復試行において,\(A\)がちょうど\(r\)回起こる確率は
$${}_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}$$
二項分布に従う確率変数の期待値と分散:
確率変数\(X\)が二項分布\(B(n,p)\)に従うとき
\(E(X)=np\), \(V(X)=np(1-p)\), \(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\)
確率密度関数\(f(x)\)の性質:
常に\(f(x)\geq 0\)で \(P(a \leq X \leq)=\int_a^b f(x)dx\)
\(X\)のとる範囲が\(\alpha \leq X \leq \beta\)のとき\(\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=1\)
正規分布の確率密度関数\(f(x)\):
確率変数\(X\)が正規分布\(N(m,\sigma^2)\)に従うとき
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\)
正規分布の期待値,標準偏差:
確率変数\(X\)が正規分布\(N(m,\sigma^2)\)に従うとき
\(E(X)=m,\sigma(X)=\sigma\)
標準正規分布の確率密度関数\(f(z)\):
確率変数\(X\)が正規分布\(N(0,1)\)に従うとき,
\(f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\)
正規分布と標準正規分布:
確率変数\(X\)が正規分布\(N(m,\sigma^2)\)に従うとき
$$Z=\frac{X-m}{\sigma}$$
二項分布の正規分布による近似:
二項分布\(B(n,p)\)に従う確率変数\(X\)は,\(n\)が大きいとき,近似的に正規分布\(N(np,np(1-p))\)に従う
連続型確率変数\(f(x)\)の期待値と分散
連続型確率変数\(f(x)\)の期待値\(m=E(X)\)と標準偏差\(\sigma\)
連続型変数\(X\)がとり得る値の範囲が\(\alpha\leq X \leq \beta\)のとき,
$$m=E(X)=\int_{\alpha}^{\beta}xf(x) dx$$
$$V(X)=\int_{\alpha}^{\beta}(x-m)^2 f(x)dx$$
語句まとめ:母集団,標本,無作為抽出,無作為標本,復元抽出,非復元抽出,母平均,母分散,母比率,標本平均,標本分散,標本比率,
標本平均の期待値と標準偏差:
母平均\(m\),母分散\(\sigma^2\)の母集団から大きさ\(n\)の無作為標本を抽出するとき,その標本平均\(\overline{X}\)の期待値\(E(\overline{X})\)と分散\(S(\overline{X})\)は
\(E(\overline{X})=m, S(\overline{X}=\frac{\sigma^2}{n})\)
標本平均の分布:
母平均\(m\),母分散\(\sigma^2\)の母集団から抽出された大きさ\(n\)の無作為標本について,標本平均\(\overline{X}\)は,\(n\)が大きいとき,近似的に正規分布
\(N(m,\frac{\sigma^2}{n})\)に従うと見なすことがある
標本比率の分布:
特性Aの母比率\(p\)の母集団から抽出された大きさ\(n\)の無作為標本について,標本比率\(R\)は,\(n\)が大きいとき,近似的に正規分布\(N(p,\frac{p(1-p)}{n})\)に従うと見なすことがある
大数の法則:
母平均\(m\)の集団から大きさ\(n\)の無作為標本を抽出するとき,\(n\)が大きくなるに従って,その標本平均\(\overline{X}\)はほとんど確実に母平均\(m\)に近づく
母平均の推定:
母分散を\(\sigma^2\)とする。標本の大きさ\(n\)が大きいとき,母平均\(m\)に対する信頼度95%の信頼区間は
$$[ \overline{X}-1.96・\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+1.96・\frac{sigma}{\sqrt{n}}]$$
母比率の推定:
標本の大きさ\(n\)が大きいとき,標本比率を\(p\)とすると,母比率\(\hat{p}\)に対する信頼度95%の信頼区間は
$$[ p-1.96・\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},p+1.96・\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} ]$$
数学Ⅲ
第1章 複素数平面
語句まとめ:複素数平面,共役複素数
複素数の絶対値:
複素数\(a+bi\)の絶対値は \(| a+bi |=\sqrt{a^2+b^2}\)
共役複素数の性質:
\(\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\),\(\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}\)
複素数\(z\)とその共役複素数について:
\(z+\overline{z}\)は実数 \(z\overline{z}=| z |^2\)
語句まとめ:極形式,偏角,
複素数の積の絶対値と偏角:
\(| \alpha\beta |=|\alpha||\beta|\) \(\arg \alpha\beta=\arg \alpha+\arg \beta\)
原点を中心とする回転->
ド・モアブルの定理:
\((cos\theta+sin\theta)^n=cos n\theta+i sin n\theta\)
複素数の\(n\)乗根->
1の\(n\)乗根:
1の\(n\)乗根は,次の式から得られる\(n\)個の複素数
\(z_k=cos\frac{2k\pi}{n}+i sin\frac{2k\pi}{n} k=0,1,2\cdots,n-1\)
方程式の表す図形:
円:
点A(¥(\alpha\))を中心とする半径\(r\)の円上の点をP(\(z\))とすると,
\(| z-\alpha |=r\)
垂直二等分線:
2点A(\(\alpha\)),B(\(\beta\))を結ぶ線分ABの垂直二等分線上の点をP(\(z\))とすると,
\(|z-\alpha|=|z-\beta|\)
図形への応用->
2次曲線->
第2章 式と曲線
語句まとめ:放物線,焦点,準線
\(x\)軸が軸となる放物線の
標準形:\(y^2=4px (p\neq 0)\)
焦点は点\((p,0)\),準線は直線\(x=-p\)
頂点は原点O
曲線は\(x\)軸に関して対称
\(y\)軸が軸となる放物線の
標準形:\(x^2=4py (p\neq 0)\)
焦点は点\((0,p)\),準線は直線\(y=-p\)
頂点は原点O
曲線は\(y\)軸に関して対称
語句まとめ:長軸,短軸,頂点
焦点が\(x\)軸上にある楕円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\)の
焦点は 2点(\(\sqrt{a^2-b^2},0\)),(\(-\sqrt{a^2-b^2},0\))
楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は \(2a\)
長軸の長さは \(2a\),短軸の長さは \(2b\)
曲線は\(x\)軸,\(y\)軸,原点Oに関して対称
焦点が\(y\)軸上にある楕円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (b>a>0)\)の
焦点は 2点(\(0,\sqrt{b^2-a^2}\)),(\(0,-\sqrt{b^2-a^2}\))
楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は \(2a\)
長軸の長さは \(2a\),短軸の長さは \(2b\)
曲線は\(x\)軸,\(y\)軸,原点Oに関して対称
円の縮小と拡大->
点の軌跡が楕円になる場合->
双曲線->
焦点が\(x\)軸上にある双曲円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\) (\(a>0,b>0)\))の
頂点は 2点(\(a,0)\)),(\(-a,0\)
焦点は 2点(\(\sqrt{a^2+b^2},0\)),(\(-\sqrt{a^2+b^2},0\))
双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差は \(2a\)
漸近線は 2直線\(y=\frac{b}{a}x,y=-\frac{b}{a}x\)
曲線は\(x\)軸,\(y\)軸,原点Oに関して対称
焦点が\(y\)軸上にある双曲円の標準形\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\) (\(a>0,b>0)\))の
頂点は 2点(\(0,b\),(\(0,-b\)
焦点は 2点(\(0,\sqrt{a^2+b^2}\)),(\(0,-\sqrt{a^2+b^2}\))
双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差は \(2b\)
漸近線は 2直線\(y=\frac{b}{a}x,y=-\frac{b}{a}x\)
曲線は\(x\)軸,\(y\)軸,原点Oに関して対称
2次曲線の平行移動:
曲線\(F(x,y)=0\)を,\(x\)軸方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動すると,移動後の曲線の方程式は
\(F(x-p,y-q)=0\)
\(ax^2+by^2+cx+dy+e=0\)の表す図形->
2次曲線と直線->
2次曲線の接線の方程式:
1 放物線\(y^2=4px\)上の点P(\(x_1,y_1\))における接線の方程式は
\(y_1y=2p(x+x_1)\)
2 楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上の点P(\(x_1,y_1\))における接線の方程式は
\(\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1\)
3 双曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1\)上の点P(\(x_1,y_1\))における接線の方程式は
\(\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1\)
媒介変数表示と極座標:
語句まとめ:媒介変数表示,媒介変数(パラメータ)
円\(x^2+y^2=a^2\)の媒介変数表示:
\(x=a cos\theta,y=a sin\theta\)
楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)の媒介変数表示:
\(x=a cos\theta,y=b sin\theta\)
サイクロイドの媒介変数表示:
\(x=a(\theta- sin\theta),y=a(1-cos\theta)\)
媒介変数表示される曲線の平行移動:
\(x=f(t)\),\(g=f(t)\)で表される曲線を,\(x\)軸方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動すると,
\(x=f(t)+p\),\(y=g(t)+q\)
語句まとめ:直交座標,極座標,極,偏角,極方程式
直交座標と極座標の対応関係:
点Pの直交座標(\(x,y\)),極座標(\(r,\theta\))とすると,
\(x=rcos\theta,y=rsin\theta\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2} r\neq 0のとき\)
\(cos\theta=\frac{x}{r},sin\theta=\frac{y}{r}\)
直交座標の\(x,y\)の方程式と極方程式->
2次曲線の極方程式->
第3章 関数
分数関数\(\frac{k}{x-p}+q\):
グラフは,\(y=\frac{k}{x}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動した曲線で,漸近線は2直線\(x=p,y=q\)
定義域は\(x\neq p\),値域は\(y \neq q\)
無理関数\(y=\sqrt{a(x-p)}\):
グラフは,\(y=ax\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)岳へ行こう移動した曲線
定義域は\(x-p\geq 0\)を満たす実数\(x\)の値全体,値域は\(y\geqq 0)
語句まとめ:逆関数
\(f(x)\)の逆関数\(g(x)\)の求め方:
1 \(y=f(x)\)を\(x\)について解き,\(x=g(y)\)の形にする。
2 \(x\)と\(y\)を入れ替えて,\(y=g(x)\)とする
3 逆関数\(g(x)\)の定義域は,元の関数\(f(x)\)の値域と同じ
逆関数の性質:
関数\(f(x)\)が逆関数\(f^{-1}(x)\)をもつとき
\(b=f(a) \Longleftrightarrow a=f^{-1}(b)\)
関数\(y=f(x)\)のグラフとその逆関数\(y=f^{-1}(x)\)のグラフは,直線\(y=x\)に関して対称
第4章 極限
数列の収束・発散:
収束 値\(\alpha\)に収束 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=\alpha \cdots\)極限は \(\alpha\)
発散 正の無限大に発散 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty \cdots\)極限は \(\infty\)
負の無限大に発散 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty \cdots\)極限は \(\infty\)
振動 \(\cdots\) 極限は ない
数列の極限の性質(1):
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha\), \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\beta\)とする
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}ka_n+gb_n=k\alpha+gb\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=\alpha\beta\)
全ての\(n\)について\(a_n\leq b_n\) ならば \(\alpha \leq \beta\)
全ての\(n\)について \(a_n\leq c_n\leq b_n\) かつ \(\alpha =\beta\) ならば
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n=\alpha\)
数列\(r^n\)の極限:
\(r>1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\infty\) 発散
\(r=1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=1\) 収束
\(| r |<1\)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=0\) 収束
\(r\leq -1\)のとき 振動する \(\cdots\) 極限はない
数列{\(r^n\)}が収束するための必要十分条件:
\(-1< r\leq 1\)
無限級数の和\(S\)の定義:
無限級数\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\cdots\)の部分和\(S_n\)から作られる無限数列{\(S_n\)}が\(S\)に収束するとき,この無限級数の和は\(S\)
無限級数の性質:
\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n=S\),\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n=T\)のとき
\(\sum_{n=1}^{\infty}ka_n+gb_n=kS+gT\)
関数の極限:
\(\lim_{x \to a}f(x)=\alpha\),\(\lim_{x \to a}g(x)=\beta\)とする
\(\lim_{x \to a}kf(x)+lg(x)=k\alpha+g\beta\)
\(\lim_{x \to a}f(x)g(x)=\alpha\beta\)
片側からの極限:
\(\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)= \displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=\alpha \Longleftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=\alpha \)
\(x \rightarrow \infty,x\rightarrow -\infty\)のときの極限->
指数関数,対数関数の極限->
関数の極限の性質(2):
\(\lim_{x \to a}f(x)=\alpha\),\(\lim_{x \to a}g(x)=\beta\)とする
\(x=a\)の近くで常に \(f(x)\leq g(x)\) ならば \(\alpha \leq \beta\)
\(x=a\)の近くで常に \(f(x)\leq h(x)\leq g(x)\) ならば \(\alpha \leq \beta\)
\(\displaystyle \lim_{x \to a}h(x)=\alpha\)
\(\frac{sin x}{x}\)の極限
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1\)
関数の連続性:
極限値\(\lim_{x \to a}f(x)\)が存在し,かつ\(\lim_{x \to a}f(x)=f(a)\)が成り立つとき,\(f(x)\)は\(x=a\)で連続であるという
関数\(f(x),g(x)\)がともに\(x=a\)で連続ならば,次の関数はいずれも\(x=a\)で連続である
\(kf(x)+lg(x)\),\(\frac{f(x)}{g(x)}\)
\(g(x) \neq 0\)
語句まとめ:区間,開区間,閉区間,ガウス記号
中間値の定理:
\(f(x)\)が閉区間[\(a,b\)]で連続で,\(f(a)\neq f(b)\)ならば,\(f(a)\)と\(f(b)\)の間の任意の値\(k\)に対して
\(f(x)=k\),\(a<c<b\)
を満たす実数\(c\)が少なくとも1つある
\(f(x)\)が閉区間[\(a,b\)]で連続で,\(f(a)\)と\(f(b)\)の符号が異なれば,方程式\(f(x)=0\)は\(a<x<b\)の範囲に少なくとも1つの実数解を持つ。
微分係数:
\(f(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
微分可能と連続:
\(f(x)\)が\(x=a\)で微分可能ならば,\(x=a\)で連続
※逆は不成立
\(f(x)\)の導関数:
\(\frac{d(f(x))}{dx}=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
導関数の公式:
\(f(x),g(x)\)がともに微分可能であるとき
\({ kf(x)+lg(x) }’=kf’(x)+lg’(x)\)
\({f(x)g(x)}’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)\)
\(x^n\)の導関数:
\(n\)が自然数のとき \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
商の導関数:
\(f(x),g(x)\)がともに微分可能であるとき
\(\frac{d}{dx}\frac{1}{g(x)}=-\frac{\frac{d}{dx}g(x)}{{ g(x) }^2}\)
\({\frac{f(x)}{g(x)}}’=\frac{f’(x)g(x)-f(x)g’(x) }{ { g(x) }^2 }\)
合成関数の微分法:
\(y=f(u)\)が\(u\)の関数として微分可能,\(u=g(x)\)が\(x\)の関数として微分可能であるとする。このとき,合成関数\(y=f(g(x))\)は\(x\)の関数として微分可能で
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}・\frac{du}{dx}\)
逆関数の微分法:
\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\)
三角関数の導関数:
\(\frac{d}{dx}( sin x )=cos x\),\(\frac{d}{dx}( cos x )=-sin x\),
\(\frac{d}{dx}( tan x )=\frac{1}{cos^2 x}\)
対数関数の導関数:
\(\frac{d}{dx}(log_a x)=\frac{1}{xlog a}\) \(\frac{d}{dx}(log x)=\frac{1}{x}\)
絶対値を含む対数関数の導関数:
\(\frac{d}{dx}(log_a|x|)=\frac{1}{xlog a}\) \(\frac{d}{dx}(log |x|)=\frac{1}{x}\)
指数関数の導関数:
\(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\) \(\frac{d}{dx}(a^x)=a^xlog a\)
第\(n\)次導関数->
媒介変数表示と導関数:
\(x=f(t),y=g(t)\)のとき
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$
導関数の応用:
接線の方程式:
\(y=f(x)\)上の点\(a,f(a)\)における接線の方程式は
\(y-f(a)=f’(a)(x-a)\)
法線の方程式:
\(y=f(x)\)上の点\(a,f(a)\)における接線の方程式は
\(f’(a)\neq 0\)のとき \(y-f(a)=-\frac{1}{f’(a)}(x-a)\)
平均値の定理:
\(f(x)\)が区間[\(a,b\)]で連続で,区間(\(a,b)\)で微分可能ならば,\(\frac{f(b)-f(c)}{b-a}=f’(c)\),\(a<c<b\)を満たす実数\(c\)が存在
語句まとめ:極大,極小,極大値,極小値,変曲点
極値をとるための必要条件:
\(f(x)\)が\(x=a\)で微分可能であるとき
\(f(x)\)が\(x=a\)で極値をとるならば \(f’(a)=0\)
\(f’(x)\)の符号と曲線\(y=f(x)\)の凹凸:
\(f(x)\)が第2次導関数\(f’’(x)\)をもつとき
\(f’’(x)>0\)である区間では,曲線\(y=f(x)\)は下に凸
\(f’’(x)<0\)である区間では,曲線\(y=f(x)\)は上に凸
第2次導関数と極値:
\(f’(a)=0\)かつ\(f’’(x)>0\)ならば,\(f(a)\)は極小値
\(f’(a)=0\)かつ\(f’’(x)<0\)ならば,\(f(a)\)は極大値
不等式の証明->
方程式の実数解の個数->
速度と加速度の定義:
数直線上を運動する点Pの時刻\(t\)における座標\(x\)が\(x=f(t)\)で表されるとき,時刻tにおけるPの速度\(v\),加速度\(\alpha\)は
\(v=\frac{dx}{dt}\), \(\alpha=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2}{dx^2}x\)
速度と加速度の公式:
座標平面上を運動する点P(\(x,y\))の時刻\(t\)における\(x\)座標,\(y\)座標が\(t\)の関数であるとき,時刻\(t\)におけるPの速度\(\vec{v}\),速さ\(| \vec{v} |\),加速度\(\vec{\alpha}\),加速度の大きさ\(| \vec{\alpha} |\)は
\(\vec{v}=( \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt} )\),\(| \vec{v} |=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\) \(\vec{\alpha}=( \frac{d^2}{dt^2}x,\frac{d^2}{d^t}y )\),\(| \vec{\alpha} |=\sqrt{(\frac{d^2}{dt^2}x)^2+(\frac{d^2}{dt^2}y)^2}\)
1次近似式(\(x=a\)周りのテイラー展開):
\(h \approx 0\)のとき \(f(a+h)\approx f(a)+f’(a)h\)
1次近似式(\(x=0\)周りのテイラー展開,マクローリン展開):
\(x \approx 0\)のとき \(f(x) \approx f(0)+f’(0)x\)
不定積分:
\(f(x)\)の不定積分
\(F’(x)=f(x)\)のとき
\(\int f(x)dx =F(x)+C\) ただし,\(C\)は積分定数
\(x^a\)の不定積分:
\(\int x^a dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\) ただし,\(\alpha \neq -1\)
\(\int \frac{1}{x}=log | x |+C\)
定数倍,和の不定積分:
\(\int kf(x)+lg(x)=k\int f(x)+l\int g(x) \)
三角関数,指数関数の不定積分:
\(\int sin xdx=-cos x+C\), \(\int cos xdx=sin x+C\), \(\int \frac{1}{cos^2 x} dx=tanx+C\), \(\int \frac{1}{sin^2 x} dx=-\frac{1}{tanx}+C\), \(\int e^x dx=e^x+C\), \(\int a^x dx=\frac{a^x}{log a}+C\)
置換積分法:
\(\int f(x)dx=\int f(g(t))\frac{d}{dt}g(t) dt\) ただし,\(x=g(t)\)
\(\int f(g(x))\frac{d}{dx}g(x)dx=\int f(u)du\) ただし,\(g(u)=u\)
\(\int \frac{\frac{d}{dx}g(x)}{g(x)}dx=log| g(x) |+C\)
部分積分法:
\(\int f(x)\frac{d}{dx}g(x)dx=f(x)g(x)-\int \frac{d}{dx}f(x)g(x)dx\)
分数関数の不定積分->
三角関数に関する不定積分->
定積分:
ある区間で連続な関数\(f(x)\)の原始関数の1つを\(F(x)\)とし,\(a,b\)をその区間に含まれる任意の値とするとき
\(\int_{a}^{b}f(x)dx =[ F(x) ]_a^b=F(b)-F(a)\)
定積分の性質:
\(\int_a^b kf(x)+lg(x)=k\int_a^b f(x)dx +l\int_a^b g(x)dx\)
\(\int_a^af(x)dx=0\)
\(\int_b^a f(x)dx=-\int_a^bf(x)dx\)
\(\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx\)
定積分の置換積分法:
\(x=g(t)\)とおくとき,\(a=g(\alpha),b=g(\beta)\)ならば
\(\int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\frac{d}{dt}g(t) dt\)
偶関数,奇関数と定積分:
偶関数\(f(x)\)について \(\int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx\)
偶関数\(f(x)\)について \(\int_{-a}^a f(x)dx=0\)
定積分の部分積分法:
\(\int_a^b f(x)\frac{d}{dx}g(x)dx=[ f(x)g(x) ]_a^b-\int_a^b \frac{d}{dx}f(x)g(x)dx\)
定積分と導関数:
\(a\)が定数のとき \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt=f(x)\)
区分求積法と定積分
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)dx\)
ただし,\(\Delta x=\frac{b-a}{n},x_k=a+k\Delta x\)
定積分と不等式:
区間[\(a,b\)]で連続な関数\(f(x),g(x)\)について
\(f(x)\geq g(x)\) ならば \(\int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx\)
等号は,常に\(f(x)=g(x)\)のときに成り立つ
積分法の応用:
区間[\(a,b\)]で常に\(f(x)\geq 0\)とき,曲線\(y=f(x)\)と\(x\)軸および2直線\(x=a\),\(x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(S=\int_a^b f(x) dx\)
逆に,区間[\(a,b\)]で常に\(f(x)\geq 0\)とき,
\(S=\int_a^b { -f(x) } dx\)
2曲線間の面積:
1 区間[\(a,b\)]で常に\(f(x)\geq g(x)\)とき,2つの曲線\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)および2直線\(x=a\),\(x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(S=\int_a^b { f(x)-g(x) } dx\)
2 区間[\(c\leq y \leq d\)]で常に\(g(y)\geq 0\)とき,2つの曲線\(x=g(y)\)と\(y\)軸および2直線\(y=c\),\(y=d\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(S=\int_c^d g(y) dy\)
いろいろな式で表される曲線と面積->
断面積\(S(x)\)と立体の体積\(V\):
\(V=\int_a^bS(x)dx\) ただし,\(a<b\)
\(x\)軸の周りの回転体の体積:
\(V=\pi\int_a^b{ f(x) }^2 dx=\pi \int_a^b y^2 dx\) ただし,\(a<b\)
\(y\)軸の周りの回転体の体積:
\(V=\pi\int_a^b{ f(x) }^2 dx=\pi \int_a^b y^2 dx\) ただし,\(a<b\)
座標平面上を運動する点と道のり:
座標平面上を運動する点P(\(x,y\))の時刻\(t\)における\(x\)座標,\(y\)座標が\(t\)の関数で表せるとき,時刻\(t_1\)から\(t_2\)までにPが通過する道のり\(s\)は
\(s=\int_{t_1}^{t_2}| \vec{v} |dt=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt\)
媒介変数表示された曲線の長さ:
曲線\(x=f(t)\),\(y=g(t)\) \(a\leq t \leq b\)の長さ\(L\)は
\(L=\int_a^b\sqrt{ ( \frac{dx}{dt} )^2+ ( \frac{dy}{dt} )^2} dt\)
曲線\(y=f(x)\)の長さ:
曲線\(y=f(x) (a\leq x \leq b)\)の長さ\(L\)は
\(L=\int_a^b \sqrt{1+ ( \frac{dy}{dx} )^2} dx\)
[affi id=17]
最後に
こんな公式あるんですね(-_-;)
受験や試験など頑張ってください!!