あなたは，データの中心に興味がありますか？どうも，ユキです。今日は，平均の種類を4つ紹介します。
相加平均
この相加平均は，相加平均とも呼ばれ，皆さんのよく知っている平均です。
\(x_1~x_n\)の\(n\)個のデータがあるとき，相加平均を\(\overline{x}\)とすると，\(\overline{x}\)は，
$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}$$
で表されます。
\(x_1\)から\(x_n\)まで書くのが面倒だという人は，
$$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\tag{1}$$
と書いてください。なお，\(\sum\)(シグマ)は総和を意味する記号です。
例：テストの点数の平均
| 国語 | 英語 | 数学 | 合計点 | 平均点 | |
| 得点 | 98 | 102 | 160 | 360 | 120 |
試験の成績が以上であるときは，相加平均で表される平均は，120点になります。
加重平均
次に，このような問題を考えましょう。
例：得点に重要度が加わった場合の平均
| 国語 | 英語 | 数学 | 合計点 | 平均点 | |
| 得点 | 98 | 102 | 160 | 360 | 120 |
| 重要度 | 2 | 3 | 4 | ?? | ?? |
データによって，個数や重要度が異なる場合に，相加平均を使ってしまうと，正しく分析が出来ません。ということで，加重平均を導入します。加重平均は，ウェイトを含んだ相加平均と考えていただいて結構です。
\(n\)個のデータ\(x_1~x_n\)にウェイト\(w_1~w_n\)がそれぞれかかる場合，加重平均
\(\overline{x}^w\)は，
$$\overline{x}^w=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}$$
\(\sum\)(シグマ)を使って書くと，
$$\overline{x}^w=\frac{\sum_{i=1}^{n}w_ix_i}{\sum_{i=1}^{n}w_i}$$
のように計算できます。
では，先ほどの例題を実際に計算しましょう。
例：得点に重要度が加わった場合
| 国語 | 英語 | 数学 | 合計点 | 平均点 | |
| 得点 | 98 | 102 | 160 | 360 | 120 |
| 重要度 | 2 | 3 | 4 | 1142 | 126.89 |
加重平均は，物体の重心の座標を求めるときに用いられます。
また，統計力学という，物理の学問にも頻繁に登場します。
そもそも，得点に重要度とかあるの？
試験の点数に重要度が生じてくるのは，高校入試，大学入試の得点配分です。例えば，私が通っていた高校の入試の得点配分は，5教科の内，数学と理科の点数は1.5倍されて，合否判定が行われていたそうです。
相乗平均
例えば，平均の利子率\(r\)を計算したいとき，あなたはどのように計算しますか？
ある年に，\(C_0\)円の元本を調達して資産運用を始めました。\(i\)年目の利子率を\(r_i\)とすると，\(C_0\)円は，\(n\)年後に\(C_n\)円になりました。このとき，\(C_n\)は次のように表されます。
\(C_n=C_0(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)\cdots(1+r_n)\)
となります。
ここで，この期間の平均利子率を\(r\)とすると，\(C_n\)は次のように表されるはずです。
\(C_n=C_0(1+r)(1+r)(1+r)\cdots(1+r)=C_0(1+r)^{n}\)
これらの2つの式は左辺が等しいので，
\((1+r)^{n}=(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)\cdots(1+r_n)\)
となります。また，両辺を\(\frac{1}{n}\)乗すると，
\(1+r=[(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)\cdots(1+r_n)]^{\frac{1}{n}}\)
となって，\(r\)を計算することが出来るようになります。
因みに，このように\(\frac{1}{n}\)乗して，平均を出すことを相乗(幾何)平均といい，式で書くと，
$$\overline{x}^G=(x_1x_2x_3\cdots x_n)^{\frac{1}{n}}$$
と書きます。因みに，平均利子率との対応関係は，\(\overline{x}^G \Rightarrow 1+r\)，
\(1+r_i \Rightarrow x_i\)のようになっています。
また，例によって，\(x_1~x_n\)まで書くのが面倒だという人は，
$$\overline{x}^G=(\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\frac{1}{n}}$$
と書けます。ここで，\(\prod\)は積を表す記号で，総乗と呼ばれることが多いです。
調和平均
最初の\(d\)mを\(x_1\)[m/s]，残りの\(d\)mを\(x_2\)[m/s]で走るとき，平均の速さは何[m/s]になるでしょうか？
平均の速さは，道のり÷距離でしたね。
道のりは，\(2d\)m，距離は，\(\frac{d}{x_1}+\frac{d}{x_2}\)なので，平均の速さ\(\overline{x}^H\)は，
$$\overline{x}^H=\frac{2d}{\frac{d}{x_1}+\frac{d}{x_2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})}$$
となります。
調和平均も，加重平均や平均と同様に一般に相加平均と等しくありません。例えば，前半を6m/s，後半を3m/sで走った場合，相加平均では，
\(\frac{1}{2}(6+3)=4.5\)m/s
となりますが，調和平均では，
\(\frac{1}{\frac{1}{2}(\frac{1}{6}+\frac{1}{3})}=4\)m/s
となります。
相加平均・相乗平均・調和平均・加重平均：まとめ
相加平均\(\overline{x}\)
$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$
相乗平均\(\overline{x}^G\)
$$\overline{x}^G=(\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\frac{1}{n}}$$
加重平均\(\overline{x}^w\)
$$\overline{x}^w=\frac{\sum_{i=1}^{n}{w_ix_i}}{w_i}$$
調和平均\(\overline{x}^H\)
$$\overline{x}^H=\frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}$$
最後に
資産運用で使えそうなのは，加重平均と相乗平均ですね。相乗平均の考え方を使ったものに現在価値という考え方や，正味現在価値という考え方もあります。現在価値は，将来の価値を現在の価値に換算しようという考え方で，投資をやっている人にはなじみがある言葉？ですよね？平均という概念はお金にまで及んでいると言いたかっただけです。間違っていたらすみません。
